吉林省松原市前郭县南部学区2023-2024学年八年级上学期数学期末考试试卷

吉林省松原市前郭县南部学区2023-2024学年八年级上学期数学期末考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四五六总分评分一、选择题（每小题2分，共12分）1．若分式12x−1A．x>12 B．x<12 C．2．下面所给的银行标志图中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．下列运算中，正确的是（）A．a2⋅a=a3 B．(a34．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，数据A．20.1×10C．0.201×105．小华在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为a2A．6 B．−6 C．6或−6 D．186．如图，在△ABC中，点M，点N为AC边上的两点，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM=ND，若∠A=70°，则∠C=（）A．40° B．50° C．60° D．70°二、填空题（每小题3分，共24分）7．计算：(128．若分式x2−9x−3的值为零，则x9．分解因式：3a210．已知一个n边形的内角和是其外角和的5倍，则n=．11．如图所示，∠A=20°，则∠B+∠C+∠D+∠E=°12．如图所示，AA'，BB'表示两根长度相同的木条，若O是AA'，BB'13．如图，在△ABC中，AE=AC，点E在AB的垂直平分线上，AD平分∠EAC．若AC=3，CD=1，则BD=．14．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DA=DC，DE⊥AB于点E，若BC=5，AE=2，DE=3，则四边形ABCD的面积是．三、解答题（每小题5分，共20分）15．解方程：x−316．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，E是AC的中点，DE⊥AC，连接CD．求证：△CDB是等边三角形．17．先化简，再求值：(3x−y)2−(3x+2y)(3x−2y)，其中x=118．已知：P是线段AB的中点，∠1＝∠2，PD＝PC，求证：∠C=∠D四、解答题（每小题7分，共28分）19．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段AB的端点A、B均在格点上，分别按下列要求画图．（1）在图①中画一个△ABC，使△ABC的面积是10；（2）在图②中画一个△ABD，使△ABD是轴对称图形；（3）在图③中画一个△ABE，点E在格点上，且∠E大于90°．20．先化简：(1−121．已知．三角形的底边长为（2x+1）cm，高是（x﹣2）cm，若把底边和高各增加5厘米，那么三角形面积增加了多少？并求出x=3时三角形增加的面积．22．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB∥CD，BC与AD的延长线交于点E．（1）求证：AD=CD；（2）若AE＝BE，∠B＝72°，直接写出图中所有的锐角等腰三角形．五、解答题（每小题8分，共16分）23．某中学为了止学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市场上购买的（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A、B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2400元，则应购买A种菜苗至少多少捆？24．（1）【问题】如图①，在等边△ABC中，点D、E在BC、AC上，若CD=AE，AD、BE交于点O，则∠BOD=度；（2）【探究】如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、CA的延长线上，求∠BOD的度数；（3）【应用】如图③，在△ABC中，∠ABC=66°，点D、E分别在AB、BC的延长线上，若AB=AC=BD=AO，BC=EC，则∠AOD=度．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（1）【教材原题】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为．（2）【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为．（3）【应用】a.根据图②所得的公式，若a+b=10，ab=5，则a2+b.若x满足(11−x)(x−8)=2，求(11−x)2（4）【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE=DE，BE=CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为252，AC=726．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=4，AD⊥BC于点D．点P为边BC上一动点，连接AP，作PQ=AP，使点Q在射线AC上，过点Q作QE⊥BC于点E．（1）AD的长为；（2）当点P在线段BD上时，求证：△APD≌△PQE；（3）若AP将△ABC分成面积比为1：3的两部分，求（4）若△PCQ的一个内角为15°，直接写出∠APQ的大小．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵分式有意义∴2x−1≠0得x≠故答案为：D【分析】根据分式的分母不等于0时分式有意义，得2x−1≠0，即可求得结果.2．【答案】B【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，不符合题意；B.是轴对称图形，符合题意；C.不是轴对称图形，不符合题意；D.不是轴对称图形，不符合题意；故答案为：B

【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。3．【答案】A【解析】【解答】解：A：a2⋅a=a3，计算正确，符合题意；

B：(a3)3=a9≠a4．【答案】D【解析】【解答】解：0.00000201=2.01×10-6，

故答案为：D.5．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可得：a2■ab+9b2=a±3b2，

∴a26．【答案】B【解析】【解答】解：∵BM⊥AC，

∴∠AMB=90°，

∵∠A=70°，

∴∠ABM=90°-∠A=20°，

∵AM=NM，

∴BM是AN的垂直平分线，

∴AB=BN，

∴∠ABM=∠NBM=20°，

∵NM=ND，NM⊥BM，ND⊥BC，

∴BN平分∠MBD，

∴∠NBM=∠NBD=20°，

∴∠C=180°-∠A-∠ABM-∠NBM-∠NBD=50°，

故答案为：B.

【分析】根据题意先求出∠AMB=90°，再求出BM是AN的垂直平分线，最后根据角平分线求解即可。7．【答案】5【解析】【解答】解：(12)−2+2028．【答案】-3【解析】【解答】解：∵分式x2−9x−3的值为零，

∴x2−9x−3=0，

∴x2-9=0且x-3≠0，

解得：x=-3，

9．【答案】3(a+3)(a−3)【解析】【解答】解：3=3(=3(a+3)(a−3)故答案为：3(a+3)(a−3).【分析】首先提取3，然后利用平方差公式进行分解.10．【答案】12【解析】【解答】多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n-2）=360°×5，解得n=12．【分析】利用多边形内角和公式和外交和定理可建立关于n得方程，求出n.11．【答案】200【解析】【解答】如图所示：

根据“8”字模型，可知：∠A+∠1=∠B+∠C

∵∠1=∠2

∴∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠2+∠D+∠E=∠A+180°

∵∠A=20°

∴∠B+∠C+∠D+∠E=200°

【分析】本题考查三角形的内角和定理，“8”字模型，熟悉常用定理和基础模型是解题关键。12．【答案】9【解析】【解答】解：由题意可得：OA=OA'，OB=OB'，∠AOB=∠A'OB'，

∴△AOB≌△A'OB'，

∴A'B'=AB=9cm，

故答案为：9.

【分析】利用SAS证明△AOB≌△A'OB'，再根据全等三角形的性质计算求解即可。13．【答案】4【解析】【解答】解：∵AE=AC，AD平分∠EAC，AC=3，CD=1，

∴ED=CD=1，AE=AC=3，

∵点E在AB的垂直平分线上，

∴BE=AE=3，

∴BD=BE+ED=4，

故答案为：4.

【分析】根据题意先求出ED=CD=1，AE=AC=3，再根据线段垂直平分线的性质求出BE=AE=3，最后计算求解即可。14．【答案】21【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，

∵BD平分∠ABC，DF⊥BC，DE⊥AB，

∴DE=DF=3，∠AED=∠BED=∠BFD=90°，∠DBE=∠DBF，

∴△DBE≌△DBF（AAS），

∴BE=BF，

∵DA=DC，DE=DF，

∴Rt△AED≌Rt△CFD（HL），

∴AE=CF=2，

∴AB=AE+BE=AE+BF=AE+BC+CF=9，

∴S四边形ABCD=S△ABD+15．【答案】解：x−3去分母得：x-3-(4-x)=-1去括号得：x-3-4+x=-1移项得：x+x=-1+3+4合并同类项得：2x=6系数化为1得：x=3将x=3代入最简公分母4-x中，经检验，4-x≠0，故此分式方程的解为x=3.【解析】【分析】利用解分式方程的方法解方程计算求解即可。16．【答案】证明：∵E是AC的中点，DE⊥AC，∴AD=CD，∴∠A=∠DCA，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°=∠ACD+∠BCD，∴∠BCD=∠B，∴CD=BD，∴AD=BD=CD，∴∠A=∠DCA=30°，∴∠CDB=60°，∴△BDC是等边三角形．【解析】【分析】根据线段的中点求出AD=CD，再求出∠BCD=∠B，最后根据等边三角形的判定方法证明求解即可。17．【答案】解：(3x−y)=9=9=5y当x=12，y=1【解析】【分析】根据题意先化简整式，再将x和y的值代入计算求解即可。18．【答案】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CPD=∠2+∠CPD，即∠CPB=∠DPA∵P是线段AB的中点，∴BP=AP，在△APD和△BPC中，BP=AP∠CPB=∠DPA∴△APD≌△BPC，∴∠C=∠D．【解析】【分析】根据题意先求出∠CPB=∠DPA，再根据线段的中点求出BP=AP，最后利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。19．【答案】（1）解：如图，△ABC即为所求；S△ABC（2）解：如图，△ABD即为所求；（3）解：如图，△ABE即为所求；【解析】【分析】（1）根据题意使△ABC的面积是10作三角形即可；

（2）根据使△ABD是轴对称图形作图即可；

（3）根据题意要求作三角形即可。20．【答案】解：(1−==1∵a≠0，a−1≠0，∴a≠0，a≠1，∴当a=2时，原式=1【解析】【分析】先化简分式，再将a=2代入计算求解即可。21．【答案】解：根据题意，面积增加12（2x+1+5）（x﹣2+5）﹣1=12（2x2+6x+6x+18）﹣12（2x=x2+6x+9﹣（x2﹣32=152当x=3时，原式=152×3+10=32.5（cm2【解析】【分析】根据题意可得面积增加12（2x+1+5）（x﹣2+5）﹣12（2x+1）（x﹣2）=22．【答案】（1）证明：∵CD∥AB，∴∠ACD=∠BAC，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴∠ACD=∠DAC，∴AD=CD；（2）解：所有的锐角等腰三角形是△ABE，△ABC，△CDE．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出∠ACD=∠BAC，再根据角平分线求出∠BAC=∠DAC，最后证明求解即可；

（2）根据锐角等腰三角形的特点，结合图形求解即可。23．【答案】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据题意得：300x解得x=20，经检验，x=20是原方程的解，答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；（2）解：设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗(100−m)捆，20m+30(100−m)≤2400，解得：m≥60，∴所花的费用不超过2400元，在菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．答：菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出300x−3001.24．【答案】（1）60（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BCA=∠CAB=60°，∴∠BAE=∠ACD=120°，在△BAE与△ACD中，AB=AC∠BAE=∠ACD∴△BAE≌△ACD(SAS)，∴∠E=∠D，∴∠BOD=∠E+∠EAO=∠CAD+∠D=∠ACB=60°，（3）76【解析】【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴BC=AB，∠BAE=∠ACD=60°，

∵AE=CD，

∴△BAE≌△ACD，

∴∠CBE=∠ACD，

∴∠BOD=∠CBE+∠BCD=∠ACD+∠BCD=∠BCA=60°，

故答案为：60；

（3）∵AB=AC，∠ABC=66°，

∴∠ACB=∠ABC=66°，

∴∠ACE=∠DBC=114°，

∴△ACE≌△△DBC，

∴∠E=∠BCD，

∵∠AOD=∠E+∠OCE，∠OCE=∠BCD，

∴∠AOD=2∠BCD，

∵AC=AO，

∴∠AOD=∠ACO=180°-∠ACD=180°-∠BCD-∠ACB=180°-66°-∠BCD=114°-∠BCD，

∴∠BCD=38°，

∴∠AOD=76°，

故答案为：76.

【分析】（1）根据等边三角形的性质求出BC=AB，∠BAE=∠ACD=60°，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；

（2）根据等边三角形的性质求出AB=AC，∠BCA=∠CAB=60°，再利用SAS证明三角形全等，最后根据全等三角形的性质计算求解即可；

（3）根据等腰三角形的性质求出∠ACB=∠ABC=66°，再求出△ACE≌△△DBC，最后根据全等三角形的性质计算求解即可。25．【答案】（1）(a+b)（2）a（3）解：a.90

b.由题意知，(11−x)+(x−8)=11−x+x−8=3，∴(11−x)2（4）解：种草区域的面积和为12【解析】【解答】解：（1）观察图①，可得：(a+b)2=a2+2ab+b2，

故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；

（2）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为a2+b2=(a+b)2−2ab，

故答案为：a2+b2=(a+b)2−2ab；

（3）a.∵a+b=10，ab=5，

∴a2+b2=a+b2-2ab=100-10=90，

故答案为：90；

（4）∵AC⊥BD，AE=DE，BE=CE，26．【答案】（1）2（2）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵AD⊥BC，∴∠DAC=1∵PA=PQ，∴∠PAQ=∠PQA，∵∠PAQ=∠PAD+∠DAC=∠PAD+45°，∠PQA=∠C+∠QPE=45°+∠QPE，∴∠PAD=∠QPE，∵QE⊥BC，∴∠QED=∠PDA=90°，∴△APD≌△PQE(AAS)．（3）解：分两种情况：①如图1，点P在线段BD上时，∵AP将△ABC分成面积比为1：∴BP：∵BP+PC=BC=4，∴BP=1，PC=3，由（1）可知，BD=CD=12BC=2∴PD=BD−BP=1，AD=PE=2，∴DE=PE−PD=2−1=1；②如图2，点P在线段CD上时，∵AP将△ABC分成面积比为1：∴BP：∵BP+PC=BC=4，∴BP=3，PC=1，同（1）得：BD=CD=12BC=2∴PD=CD−PC=1，AD=PE=2，∴DE=PE+PD=2+1=3；综上所述，DE的长为1或3；（4）∠APQ的度数为60°或