甘肃省酒泉市2024-2025学年高二年级上册期中考试 数学试卷（含答案）

2024-2025学年第一学期期中考试试卷

同一^奴子

试卷总分150分考试时间：120分钟

一、单项选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分；请将答案写在答题卡上.）

1.直线x+回+2=°的倾斜角是（）

A.30。B,60。c.⑵。D.150。

【答案】D

【解析】

【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角.

x+岛+2=00『—立x—9

33,

,_V3

tana=----。0

设其倾斜角为则3,又0<a<180,

则a=150。，即倾斜角为150。，

故选：D

2.若/+/+4x—2>一加=°表示圆的方程，则加的取值范围是（）

A.5+8）B,（一3）C.S,一5）D.（一5，+°°）

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解.

因为方程/+「+4》-2y-加=0表示一个圆，所以42+（-2）2+4见>°,

解得加〉一5,

所以加的取值范围是（—5，十°°）.

故选：D

3.记S”为等差数列血｝的前〃项和.若/+%=8,6%=24,则$6=（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的性质得到方程组，求出首项和公差，利用等差数列求和公式求出答案.

由等差数列的性质得=2%+4d=8①,

a3a4=(ai+2d)(%+3d)=24

②,

由①得4=4-2d,代入②得4(4+d)=24,解得d=2,

故a[=4-2d=0

故S6=64+15<7=30

故选：C

4.以椭圆9x2+25/=225的焦点为焦点，离心率e=2的双曲线的标准方程为（）

=1《_片=1

A.412B.124~

C.204D.420~

【答案】A

【解析】

【分析】将椭圆化为标准方程求出焦点（±4°）,根据离心率求出。=2,再根据〃=02一/计算即可求

解.

••・椭圆9丁+25产=225化为标准方程为25+9

隹占为（±4。），

二双曲线的半焦距。=4,

e—=2

离心率a,

:.a=2f

b?=c1—a2=12

22

__y_

・二双曲线的标准方程为412

故选：A.

5,已知集合2=囱1。<5}，8=窗-2<r3},则4即3）=（）

A（-co,-2]U（3,+co）B（-℃,l）o（3,+oo）

C（-8,-2]U（5,+CO）D（一84）U[5,+OO）

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的运算即可求解.

由/c5={x|lWxW3},可得％（ZcB）=（-e,l）u（3,+”），

故选：B

a”=——'——》2）

6.在数列""'中，若q=T,1—,则4024=（）

A.2B.-1C.2D,1

【答案】C

【解析】

【分析】根据递推关系可得数列的周期，从而可求出。24的值.

,an=---（n>2）a_J_

因为q=T,fl，故之2,%=2,%=T,

故{4}为周期数列且周期为3,而2024=674x3+2,故4小一%-'，

故选：C.

7.已知两条直线（：3》—2j+l=0和4：办+2>+1=0相互垂直，则口=（）

4_4

A.2B.3C.3D.3

【答案】C

【解析】

a34

----X-二—11CL——

【分析】根据两直线垂直的斜率表示可得22，解得3.

3

易知4：3x—2y+l=0的斜率为

__a__ax—3

/2：办+2了+1=0的斜率为2,所以22

4

a=­

解得3.

故选：C

22Z±1

8.已知实数'J满足方程—2x=°,则x+1的最大值是（）

34]_

A.4B.3C.0D.2

【答案】B

【解析】

一+1

【分析】x+1表示圆上的点与点（-1'—1）的连线的斜率，数形结合可得解.

c的方程—2x=o可化为（x-iy+j?=i,

它表示圆心°,°）,半径为1的圆，

y+i

X+1表示圆上的点与点尸（―1'—1）的连线的斜率上，

设过圆上点与点P（TT）的直线方程为v+1=%（x+1）,

\2k-l\

/、/、d=i<1

则圆心^+i,

0<k<--

可得3,即最大值为3,

二、多选题（本题包括3小题，每小题6分，少选得2分多选得0分，请将答案写在答题卡

上.共18分）

9.已知直线⑪+了-2+口=°在两坐标轴上的截距相等，则实数a=（）

A.B.-1C.-2D.2

【答案】AD

【解析】

【分析】先考虑直线过原点的情况，再把直线的一般式方程转化为截距式方程，通过横纵截距相等求出实

数。的值.

一2+。=0,即a=2时，直线办+y—2+a=°化为2x+>=°,

它在两坐标轴上的截距都为°,满足题意；

axy1

---------1---------二I

-2+a0,即a/2时，直线ax+y—2+a=0化为2—a2-a,

2—ci个

----=2-a

因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以且Q,解得。=1；综上所述，实数。=2或

6Z—I

故选：AD.

10.下列四个结论中正确的是（）

A.命题“若"c>6c,则口<6”的逆命题为真命题

G

B命题"V”R,3x~-2x-1<°”的否定是“"oR,3%-2x0—I>0„

C.“/〉「，的充要条件是“x>V”

D.“。>6”是“a>b+l”的必要不充分条件

【答案】CD

【解析】

【分析】结合不等式性质即可判断A；根据含有一个量词命题的否定可判断B；根据充要条件以及必要不

充分条件的判断可判断CD.

对于A,命题“若ac>A,则。”的逆命题为“若。则比>♦”,

取c=0,则ac=bc,故逆命题为假命题，A错误；

对于B,根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：

命题“VxeR,3x2-2x-1<0”的否定为：叫e氏3焉-2%-120,B错误；

对于C,若X，〉/,则X",反之，若x>F,则X、〉/,

所以的充要条件是“%>小，，c正确；

对于D,若a>b,则。>6+1不一定成立，如a=l>6=0.5,但a=1<'+1=1.5,

反之，若。>方+1,贝心所以是+的必要不充分条件，正确.

故选：CD

11.已知曲线°：加/+即2=1,下列说法正确的是()

4n

A.若加=">°,则°是圆，其半径为〃

B.若加>0,n=Q,则C是两条直线

C.若"〉机〉0时，则C是椭圆，其焦点在歹轴上

y-士、—%

D.若加〃<°时，则°是双曲线，其渐近线方程为Vm

【答案】AB

【解析】

「.2.2_1

【分析】根据选项条件分别化简曲线C•加X+即=1为圆锥曲线的标准方程，然后逐一分析，即可求

解.

x2+y2=-1---

对于A,加=">°,"〃，则°是圆，半径为”,故A正确;

*+1

对于B,若加>°,"二°时，诟，则°是两条直线，故B正确;

——+—=1

1111c

--->—>0

对于C,若〃,相>°时，mn，则加〃,则C为焦点在'轴的椭圆，故C错误;

y-±J—x

对于D,若加〃<°时，则°是双曲线，渐近线方程为Y,故D错误；

故选：AB.

三、填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分；请将答案写在答题卡上.)

12.直线过点P(l,2),且它的一个方向向量为(2,1),则直线/的一般式方程为.

［答案］x-2y+3=0

【解析】

【分析】先由直线的方向向量求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程，然后化为一般式即可.

因为直线的一个方向向量为(2,1),

所以直线的斜率为2,

因为直线过点P(l,2),

所以直线为2,即％—2歹+3=0,

故答案为：x—2尸3=0

13.正项递增等比数列也｝,前〃项的和为J,若出+%=30，4%=81,则§6=

【答案】364

【解析】

【分析】设每一项都是正数的递增的等比数列包1｝的公比为％4>1,由"2+%=30,%%=。2。4=81,

联立解出％=3，％=27,再利用通项公式与求和公式即可得出答案.

设每一项都是正数的递增的等比数列｛%｝的公比为见9〉1,

,・。2+。4=30，aa=〃2。4=81

•x5,

联立解得%=3,%=27,

.•.3/=27,解得4=3,

...%=%x3=3,解得%=1,

36-1

S6=----=364

则3-1

故答案为：364.

14.已知圆气》2+/=1,圆外(x+3)+(y-a)=16,如果这两个圆有公共点，则实数.取值范

围是.

【答案】卜4,4]

【解析】

【分析】由题意确定两圆的圆心和半径，利用圆与圆的位置关系建立不等式组，解之即可.

由题意知，a(o,o)，4=i,02(—3,初4=4,则一勾=J(—3—+伍―or=V77?,

因为圆。与圆°2有公共点，所以々一4引°。21V2+。，即34行+9V5,

解得-4WaW4,所以实数.取值范围是["，4].

故答案为：卜44]

四、解答题（本题包括5小题，共77分；请将解答过程及答案写在答题卡上）

15.已知无为等差数列｛4｝的前“项和，且％=U，邑=98.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）求Sn的最大值.

【答案】（1）%=-3"+26；

（2）100.

【解析】

【分析】（1）由等差数列的性质及求和公式先求出&,进而求出公差d即可求出通项.

（2）由（1）的信息，判断数列｛4｝的单调性，进而求出最大值.

[小问1]

7（.+%）=7〃-OQ

在等差数列&｝中，由$7=98,得24，解得包=%

而%=U,因此数列｛4｝的公差"=%―%=—3,

所以a”=%+（〃-4）（-3）=14-3（〃-4）=—3n+26

【小问2】

由（1）知，数列｛4｝是递减数列，由％‘°,得-3,

因此数列｛%｝的前8项都为正，从第9项起为负，则数列｛4｝的前8项和最大,

而1=23,%=2,所以

16.已知圆C的圆心为O'）,且该圆被直线&x—y-1=°截得得弦长为J5

（1）求该圆的方程；

（2）求过点N（4—3）的该圆的切线方程

(x-3)2+&-1)2=1

【答案】（1）

（2）x=4或15x+8_y—36=0

【解析】

【分析】（1）利用弦长公式求得半径即可；

（2）分直线的斜率存在和不存在，由圆心到直线的距离等于半径求解.

【小问11

解：圆C的圆心G/）到直线/：xrT=°的距离为:

所以圆的方程为：（龙―3）+。-1）=1；

【小问2】

当直线的斜率不存在时，直线方程为：》=4,

则圆心到直线的距离为"=林-3|=1=r，复合题意.

当直线的斜率存在时，设直线方程为y+3=4（x—4）,即b-y-3-必=0

"3.一；3141_]k---

则圆心到直线的距离Jl+公，解得8,

所以直线的方程为：15x+8y_36=0

综上：该圆的切线方程为：x=4或15x+8v—36=0

17.已知圆f+/+2x=°的圆心厂是抛物线C的焦点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线交抛物线C于48两点，且点,（—2，T）是弦48的中点，求直线的方程.

【答案】⑴/=一4x

（2）21—歹+3=0

【解析】

【分析】（1）由圆心E是抛物线C的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程;

（2）利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程.

[小问1]

圆一+俨+2》=°的方程可化为（x+iy+v

故圆心的坐标为尸（T'°）.

2---—]

设抛物线C的方程为广=—2px（P>°）,所以2,所以夕=2,

所以抛物线0的方程为/=-4x.

【小问2】

<弁=-4%

设，（孙％）,B5,%）,则[式=%2两式相减,

得"一4=-4（否—马），即（必+二）（乂一%）=~4（再_%2）,

_4

所以直线的斜率再一超%

因为点尸（-2厂1）是N8的中点，所以乂+%=_2,所以乂+为

所以直线的方程为了+1=26+2）,即2x-y+3=0.

18.已知数列｛%｝是公比不为的等比数列，％=1,且％4成等差数列.

（1）求数列｛%｝的通项；

（2）若数列加"｝的前〃项和为S",试求'的最大值.

【答案】（1）

(2)1

【解析】

【分析】（1）设等比数列｛4｝的公比为“，用通项代入4刈3,4成等差数列即可解得4值，从而得数列

｛%｝的通项.

（2）由数列｛""｝的通项直接求和即可.

[小问1]

设｛%｝的公比为4,成等差数列，=«1+«2

n-\

又q=1,，2q2=l+q,而#1,一"一万

【小问2】

S,

当〃奇数时,,当且仅当〃=1时等号成立.

综上所述，S”的最大值为1.

二+匚1-

19.已知橘圆°：ab2经过点/（—2，°）,离