高考数学专项复习：立体几何动点与外接球归类（解析版）

专题6-1立体几何动点与外接球归类

目录

题型01四大基础模型：三线垂直型.................................................................1

题型02四大基础模型：对棱相等型................................................................4

题型03四大基础模型：直棱柱型...................................................................6

题型04四大基础模型：双线交心型...............................................................10

题型05垂面型外接球............................................................................13

题型06二面角型外接球..........................................................................17

题型07四棱锥型外接球.........................................................................21

题型08圆锥形外接球............................................................................24

题型09棱台型外接球............................................................................28

题型10圆台型外接球............................................................................32

题型11内切球型...............................................................................35

题型12最值型外接球...........................................................................41

题型13翻折型外接球...........................................................................44

题型14外接球计算截面.........................................................................47

高考练场.......................................................................................51

热点题型归纳N

题型01四大基础模型：三线垂直型

【解题攻略】

正方体的棱长为。，球的半径为R,则:

①若球为正方体的外接球，则2尺=小°；

②若球为正方体的内切球，则2R=a；

③球与正方体的各棱相切，则2R=也a

长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则外接球直径=长方体对角线，即：不再

【典例1-1】在三棱锥P-ABC中，点A在平面中的投影是MC的垂心，若一ABC是等腰直角三角形

且AB=AC=1,PC=^3,则三棱锥尸-ABC的外接球表面积为

【答案】4万

【分析】

设.PBC的垂心为H,由AH,平面尸CB可证明PCLAB,AC1BP,APL3C,结合AB,AC推导出AB,

AP,AC两两互相垂直，则外接球半径R满足(2R)2=AP2+A32+AC，求出AP代入求解即可得出答案.

【详解】

解：设.P3C的垂心为连接BH,CH,AH,则A"JL平面P3C,如图所示：

由垂心知，BH±PC,CH±PB,又BHAH=H,则尸CL平面AB”,又平面AB”，

所以尸C_LAB,

又AB1.AC,尸CcAC=C,所以AB,平面PAC,又PAu平面PAC,得

同理AC_LPA,则”=Jpc?-3=及,

所以AB,AP,AC两两互相垂直，设三棱锥尸-ABC的外接球半径为R,

贝|J(2R)2=AP2+AB2+AC：,所以4々=4，球的表面积为=4》.故答案为：4万.

【典例1-2】.在正三棱锥尸-ABC中，PALPB,P到平面A8C的距离为2,则该三棱锥外接球的表面积为

A.367cB.16兀C.------D.47r

3

【答案】A

【解析】因为B4_LPB,由正三棱锥的性质知，PA,PB,PC两两垂直且相等.设PA=PB=PC=a,则

AB=BC=CA=y/2a-

得;xgx/XQ=；xgx（夜sin60°x2,

根据％怔=匕一PBC，

解得a=2G.

设三棱锥P-ABC外接球的半径为A,则2尺=苗2+正+尸。2=屈=6,所以H=3.

故所求外接球的表面积为36%.

故选：A.

[变式1-1](2022上•江西萍乡•高三统考)三棱锥A-BCD中，AO，平面BCD,DCYBD,2AD=BD=DC=2,

则该三棱锥的外接球表面积为()

3兀9兀_"

A.—B.—C.9兀D.36兀

22

【答案】c

【「析】由题可知，可将三棱锥补成长方体，求长方体的外接球的表面积即可.

【详解】由平面BCD,DCVBD,知三棱锥A-8CO可补形为以AD,DC,8。为三条棱的长方体，

如图所示，

A

三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为凡

KlJ（27?）2=AD2+£>C2+BD2=l+4+4=9,所以该三棱锥的外接球表面积为S=47tR2=9兀.故选：C.

【变式1-2］.（2020下•四川绵阳•高三统考）在边长为4的正方形ABC。中，E,尸分别为48,BC的中点.

将△AED,△CED,△3EF分别沿£>E,DF,E尸折起，使A,C,B三点重合于A,则三棱锥A-EKD

的外接球表面积为（）

A.3万B.6TIC.12〃D.24〃

【答案】D

【分析】三棱锥A'-互力中，4。,4及4尸两两垂直，以它们为相邻棱把三棱锥A-EED中补成一个长方

体，长方体的外接球就是三棱锥A-EKD的外接球，由此易得球半径，得面积.

【详解】由题意三棱锥A-EED中，A'R4'£A尸两两垂直，以它们为相邻棱把三棱锥A-EH）中补成一

个长方体，如图，则长方体的外接球就是三棱锥A-ETO的外接球，

AE=AF=2,AO=4,则外接球半径为R=-y/A'E2+A'F2+A'D2=-722+22+42=底,

22

表面积为S=4兀R，=4乃/（痣）？=24万.

【变式1-3］（2018上•四川成都•高三成都外国语学校阶段练习）已知正方形ABC。的边长为4,E,尸分别

是8C,CD的中点，沿AE,EF,AE折成一个三棱锥P-AEF（使8,C,。重合于尸），三棱锥P-AEP的外

接球表面积为（）

A.6nB.12万C.24万D.48%

［答案］C

【分析】由题意画出图形，把三棱锥P-AEF补形为长方体，求出长方体的对角线长，得到三棱锥外接球的

半径，代入球的表面积公式求解.

【详解】解:如图，

BC

由题意可得，三棱锥尸-A跖的三条侧棱B4,PE,尸尸两两互相垂直,

且刈=4,PE=PF=2,

把三棱锥补形为长方体，则长方体的体对角线长为“2+2?+2?=2"，

则三棱锥PAEB的外接球的半径为几，

外接球的表面积为4万x（指）=24万.

故选C.

题型02四大基础模型：对棱相等型

【解题攻略】

则该三棱锥的外接球表面积是（）

A.50兀B.100KC.150KD.200兀

【答案】A

【2•析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，然后求出球表

面积即可.__

【详解】因为SA=3C=5,SB=AC="I,SC=AB=扃,

所以可以将三棱锥5-ABC如图放置于一个长方体中，如图所示:

a2+Z?2=41

设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,贝ij有。2+片=25,整理得02+加+°2=50,

b2+c2=34

则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径,

所以有a2+b2+c2=50=（2R）2=>R=~~~

所以所求的球体表面积为：S=4nR2=4xnx--=50兀.故选：A.

、2）

【典例1-2］（2019下•江苏苏州•高三江苏省苏州实验中学校考阶段练习）在三棱锥尸-ABC中，PA,PB、

PC两两重直，AB=5AC=y/10,=则该三棱锥外接球表面积为.

【答案】14万

【分析】三棱锥尸-ABC的三条侧棱以、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接

球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积.

【详解】三棱锥尸-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接

球.

设PA=a,PB=b,PC=c,长方体的对角线长为/,

a2+b2=5,

+c1=\Q,/.i—J/+廿+/=,

b2+c2=13

，球的直径是JU,球的半径为半，

二球的表面积4万x（浮）2=14".故答案为：14%.

【变式1-1]如图，在三棱锥P-ABC中，PA=BC=0PB=AC=2,PC=AB=亚,则三棱锥P-ABC

外接球的体积为（）

A.母兀B.#）兀C.屈兀D.6zr

【答案】C

【分析】将三棱锥尸-ABC放到长方体中，设长方体的长、宽、高分别为c,求出。涉,c即得三棱锥P-ABC

外接球的半径，即得解._

【详解】解：由题意，PA=BC=>/3,PB=AC=2,PC=AB=5将三棱锥尸-ABC放到长方体中，可

得长方体的三条对角线分别为6,2,5设长方体的长、宽、高分别为。力,c,

则Ja?+62=百，y]a2+C2=2>de。+及=布,解得。=1，b-y/2>c=拒.

所以三棱锥P-ABC外接球的半径区」xyla2+b2+c2=".

22

4r-

••・三棱锥外接球的体积丫=1乃&=依.故选：c

【变式1-2】在三棱锥尸一ABC中，PA=BC^4,PB=AC=5,PC=AB=®，则三棱锥尸―ABC的外

接球的表面积为（）

A.26兀B.12兀C.8兀D.24兀

【答案】A_

【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4,5,而的长方体，求出其体对角线长即可求解作答.

【详解】三棱锥尸―ABC中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=y/u,

构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,5,而，则长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的

直径，如图，

2222

设长方体的棱长分别为兀，y，z,则/+,2=]6,y+z=25fx+z=11,则Y+V+z?=26,

因此三棱锥P-ABC外接球的直径为V26，

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为4兀.（孚＞=26兀.

故选：A

【变式1-3】在三棱锥尸一ABC中，E4=BC=5,PB=CA=屈,PC=BA=2&则三棱锥尸一ABC的外

接球的表面积为（）

A.12兀B.8兀C.24兀D.29兀

[答案]口

【2•析】将棱锥补全为长方体，由长方体外接球直径与棱长关系求直径，进而求其表面积.

【详解】三棱锥P—ABC中，PA=BC=S,PB=CA=屈,PC=AB=2y[5,

构造长方体使得面对角线分别为5,2非，屈,则长方体体对角线长等于三棱锥外接球直径2R,如图所

不，

则储+/+°2=29,即4H2=29,外接球表面积47rH2=29兀.

故选：D

题型03四大基础模型：直棱柱型

【解题攻略】

存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r,满

足正弦定理）

1.模板图形原理

【典例1-1]（2022上•河南•高三校联考专题练习）已知三棱锥S-ABC中，SB，平面A3C,若S5=4,=2,

2

BC=5,cosZABC=-,则三棱锥S-ABC的外接球表面积为（）

A.397rB.45〃C.43万D.417r

【答案】D

【分析】由已知利用余弦定理求得AC,可得ABIAC,由S3,平面ABC,可知三棱锥可以补形为长方体,

此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球，即可求得外接球的表面积.

【详解】如图，在ASC中，由余弦定理，AC2=AB2+BC2-2ABBC-cosZABC,

2

BPAC2=4+25-2X2X5X-=21,贝UAB?+AC2=BC?,i^ABLAC,

又而平面ABC,将三棱锥S-ABC置于一个长方体中，可知三棱锥S-ABC的外接球半径

22

则外接球表面积S=4兀R2=4171,

【典例1-2].（2022下,四川成都•高三成都七中校考开学考试）在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为等腰

梯形，底面A3CD.若尸3=AB=CD=AD=1,BC=2,则这个四棱锥的外接球表面积为（）

A.3兀B.4兀C.5兀D.6兀

【答案】C

【分析】先求得四棱锥的外接球的半径，再去求外接球表面积即可解决.

【详解】取BC中点E,连接EA、ED,取PC中点”，连接£〃、BH,

等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=1,BC=2,

则有AD〃班，AD=BE,则四边形AD£B为平行四边形，

则DE=AB=1,又CE=CD=1,则ACDE为等边三角形，

则ZDCE=NABE=60,贝岫ABE为等边三角形

则EB=E4=即=EC=1,故点E为等腰梯形ABCD的外接圆圆心，

[2PBC中，PH=CH,BE=CE,则PB〃〃E,”E=工PB=1

22

又尸3_L底面A5CD,则HE_L底面ABC。，HP=HB=HC

又HA=y/HE2+EA2=VHE2+EB2=HB>HD=^HE2+ED1=\JHE2+EB2=HB即

HP=HB=HC=HA=HD,

故点H为四棱锥尸-ABCD的外接球球心，

球半径〃B="ffi2+EB2=,则四棱锥尸一ABCD外接球表面积为4彳半］=5无故选：C

_,JT

【变式1-1］（2023•河南开封•统考三模）在三棱锥尸-ABC中，PA=AB,PAL平面ABC,ZABC^-,

AB+BC=6,则三棱锥尸-ABC外接球体积的最小值为（）

A.8A/6TTB.16A/6TTC.24岳itD.32"兀

【答案】A

【分析】将三棱锥P-ABC可以补成长方体，从而得到PC为三棱锥P-ABC的外接球的直径，要想体积最

小，则尸C最小即可，设AB=x,表达出|PC|=j3（x_2y+24,从而得到|尸。*“=2灰，进而求出外接球

体积的最小值.

【详解】根据题意三棱锥尸-ABC可以补成分别以BC,AB,PA为长、宽、高的长方体，其中PC为长方体的

对角线，

则三棱锥P-ABC的外接球球心即为PC的中点，要使三棱锥P-ABC的外接球的体积最小，则PC最小.

1K\

设AB=x,则*x,BC=6-x,|PC\=^AB-+PA2+BC2=^3（x-2）2+24,

所以当尤=2时，|PC11nto=2而，则有三棱锥P-ABC的外接球的球半径最小为",

41-

所以嗑故选：A

【变式1-2］（2023•河北邯郸•统考三模）三棱锥S-ABC中，SA_L平面ABC,AB1BC,SA=AB=BC.ji

点A分别作AELS3,AFLSC交S&SC于点E、F,记三棱锥S-R正的外接球表面积为1,三棱锥

S

S-ABC的外接球表面积为邑，则（）

【答案】B

【分析】取S4的中点。一SC的中点Q，连。或，O/,O2A,O2B,证明。2是三棱锥S-ABC的外接球

的球心，SC为该球的直径；。1是三棱锥S-血的外接球的球心，SA为该球的直径，设&4=AB=3C=。,

求出SC,根据球的表面积公式可求出结果.

【详解】取的中点的中点牡，连。也，

S4SC01F,O2A,O2B,

因为SA_L平面ABC,A3,3C,ACu平面ABC,所以SAIBC,S4±AC,

因为AS人3C,SAr>AB=A,SA,ABu平面SAB,所以3C1平面SAB,

因为S3u平面SAB,所以3CJ_S3,

在直角三角形SAC中，。2是斜边sc的中点，所以o/=as=ac,

在直角三角形SBC中，。2是斜边sc的中点，所以o/=as=ac,

所以。2是三棱锥S-ABC的外接球的球心，SC为该球的直径.

因为北，53,a是斜边斜的中点，所以QE=QA=aS,

因为AFLSC,。1是斜边&4的中点，所以op=aa=qs,

所以。I是三棱锥的外接球的球心，以为该球的直径.设&4=钻=3。=。，则

SC=V&42+AB2+BC2=43a，

qa27i

则S[=4兀•(一^-)2=a27i,S=4K-(----)2=4兀-=3/兀，所以手

2223a27i

选：B.

【变式1・3】（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学统考二模）如图，四棱锥P-ABCD中，平面ABCQ,

底面ABCD为边长为4的正方形，PA=5,则该四棱锥的外接球表面积为（）

C.75KD.57兀

【答案】D

【分析】首先确定底面ABCD外接圆半径小则所求外接球半径为R=，代入球的表面积公式

即可求得结果.

【详解】:四边形AB8为边长为4的正方形，四边形"8的夕卜:圆半径/fR=2夜,

又24,平面ABC。，PA=5,四棱锥尸一ABCD的外接球半径R=73Al=不8+务誓,

，四棱锥P-ABCD的外接球表面积5=4兀々=57兀.故选：D.

题型04四大基础模型：双线交心型

【解题攻略】

解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为：

1、寻找一个或两个面的外接圆圆心

2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心;

3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积.

如果表面有等边三角形或者直角三角形：两垂线交心法

1、包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形）

2、等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心;

（2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；

【典例1-1】（2023下•四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥尸-ABCD的体积是

364，底面ABCD是正方形，是等边三角形，平面平面则四棱锥P-ABCZ）外接球

表面积为（）

A.89兀B.88TIC.84TID.81兀

［答案］C

析】过P点作于E,则尸E为四棱锥的高，据此求出正方形棱长.再根据几何关系找出外接球球

心，根据勾股定理求出外接球半径即可.

设正方形ABCD的边长为2x,在等边三角形R4B中，过尸点作PEL居于E,

由于平面PAB_L平面ABCD,PE_L平面ABCD.

由于是等边二角形，则=

二%"8=g•Ss.PE=；X（2x）2X届=366，解得X=3.

设四棱锥外接球的半径为R，为正方形ABC。中心，。2为等边三角形以8中心,

。为四棱锥P-ABCD外接球球心，则易知OOg为矩形，

则00,=EQ=LA£>=X=3,PO,=-PE=--3^3=2-j3,

233

R=OP=yjoOl+POf=V9+12=V21,；.外接球表面积S=4TTX（e）2=84Tl.故选：C.

【典例1-2】（2022•河南•校联考模拟预测）在三棱锥尸-ABC中，平面ABC人平面P8C,ABC和.PBC都

是边长为26的等边三角形，若〃为三棱锥尸-ABC外接球上的动点，则点M到平面ABC距离的最大值

为（）

A.76->/2B.V6+V2

C.75-1D.75+1

【答案】D

【分析】设BC中点为T,ABC的外心为。-PBC的外心为口，过点。作平面A3C的垂线，过点02作

平面P3C的垂线，两条垂线的交点。，则点。即为三棱锥尸-ABC外接球的球心，求出三棱锥尸-ABC外

接球的半径，假设球心到平面ABC的距离得答案.

【详解】解：设8C中点为T,ABC的外心为.PBC的外心为仪，过点。作平面ABC的垂线，过点

。2作平面P3C的垂线，两条垂线的交点0,则点。即为三棱锥P-ABC外接球的球心，

因为ABC和「.PBC都是边长为2石的正三角形，可得PT=AT=3,

因为平面尸3c4平面ABC,ATLBC,ATu平面ABC,平面「3Cc平面ASC=8C,

所以AT_L平面尸3C,又PTu平面尸3C,所以AT_LPT,

所以四边形是边长为的正方形，

XTO1=TO2=|AT=I,OO,TO21

所以外接球半径R=OP=Joo；+o?p2=Vl+22=旧,所以M到平面ABC的距离dWR+OQ=石+1,

即点M到平面ABC距离的最大值为岔+1.故选：D.

［变式1-11（2021上•贵州•高三统考）在三棱锥S-ABC中，ZSBA=ZSCA=90°,底面ABC是等边三角形，

三棱锥S-ABC的体积为g,则三棱锥5-ABC的外接球表面积的最小值是（）

A.124B.24万C.6万D.10〃

【答案】A

【分析】分别设出三棱锥的底面边长和高，利用体积为3，则可得出其关系式.再利用三棱锥的底面边长和

高表示出三棱锥S-ABC的外接球半径，即可利用基本不等式得出其半径的最小值，即可求出其表面积的最

小值.

【详解】设三棱锥外接球的球心为0,三棱锥底面边长和高分别为“，底面ABC的外接圆半径为厂，则

由题意可知&4是三棱锥S-ABC的外接球的一条直径，则匕，正/力=有，即〃％=12.

O-AoC34

设三棱锥S-ABC的外接球半径为R,球心到底面ABC的距离为d=2.则

心=/+相4/+）

34h4hh4

故三棱锥S-ABC的外接球表面积为4版>12万.

故选：A.

【变式1-2］（2022下•吉林•高三吉林一中校考）在三棱锥中，是边长为2的正三角形，且平

面底面ABC,BC=4,44c=60。，则该三棱锥的外接球表面积为.

【答案】亭

【详解】

如图，。是三棱锥ABC外接球的球心，是，ABC外接圆的圆心，由球的性质可得。。，平面A8C；

又；平面ZMB_L平面A3C,取的中点/，连接DM,

又•一池£＞是边长为2的等边三角形，故。饮工AB且。M=6，又平面D4BC平面ABC=AB,DMu平面

DAB,.1DM，平面ABC,\DM//OOt,连结过。点作ON〃。幽所以四边形是平行四

边形，\MN=OO[,O[M=ON；

Be484

在，ABC中，BC=4,?BAC60°由正弦定理可得2r=.­—^^=方即：O,A=r=-=

sinDBACsin60。3

设三棱锥ABC外接球的半径为R

2

在RJAQO中，AO=R,AOt=故OQ=J霜-3\MN=JR-—

在，AQB中，Aa=8Q=r且M是AB的中点，故。阳，48

在RtNAOiM中，AM=-AB=1,AO,=-j=故O1M=J—-1=\ON=

在Rf£WO中,OD=R,ON=、故DN=QDN+MN=DM

\JR2-y+^2-y=6\卜畀^3-JR2-、两边平方得:R2-£=3-2用Jw与+我_?

68p

F=W所以三棱锥。-ABC外接球的表面积为s=4pR2=4p7—

故答案为：言

【变式1-3］（2021上•江苏南京•高三统考开学考试）在三棱锥尸-ABC中，ABC和.PBC都是边长为2班

的正三角形，24=3应.若M为三棱锥「-48。外接球上的动点，则点M到平面ABC距离的最大值

为.

【答案】V5+1

【分析】设BC中点为T,可证明PT_LAT,设二ASC和二PBC的外心分别为。1和Q,过和。?分别作两

个平面的垂线交于点。即为三棱锥P-A3C外接球的球心，求出外接球的半径R=OP的长，M到平面A3C

的距离dVR+OQ即可求解.

A

【详解】

设2C中点为T,ABC的外心为。-PBC的外心为利,

过点J作面ABC的垂线，过点仪作直线面PBC的垂线，

两条垂线的交点。即为三棱锥P-ABC外接球的球心，

因为ABC和.PBC都是边长为2石的正三角形，可得PT=AT=3,

又PA=3叵,所以AL+PF=”2,所以尸TJ_AT,

又因为ATJ_3C,BCcPT=T,所以AT,面尸8C,

因为ATu平面ABC,所以平面P3C，平面ABC,^.TOt=^AT=1,

所以四边形。。苫。2是边长为1的正方形，所以外接球半径R=OP=《00；+OF=7174=V5,

M到平面ABC的距离dWR+OO]=岔+1,

故答案为：V5+1.

题型05垂面型外接球

【解题攻略】

【典例1-1】（2020下•广东深圳•高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）在三棱锥P-ABC中，

PA=PB=3,BC=4叵,AC=8,AB1BC,平面平面ABC,若球。是三棱锥尸-ABC的外接球,

则球。的半径为.

.A/1130回r765n3四

2222

【答案】A

【解析】取AB中点D,AC中点E,连PD,ED,得E为回ABC外接圆的圆心，且OE团平面然后求出国

PAB的外接圆半径r和球心。到平面的距离等于d,由勾股定理得R="二即可得出答案.

【详解】解：取AB中点D,AC中点E,连PD,ED

因为所以E为团ABC外接圆的圆心

因为OEEIPD,0E不包含于平面P4B,所以OEIB平面上4B

因为平面PAB_L平面ABC,PA=PB=3,得PD_LAB,EDIAB

所以PDL平面ABC,ED,平面R4B。且AB=JAC2-3c2=4逝,PD=1

所以球心0到平面PAB的距离等于d=ED=20

在回R4B中，PA=PB=3,AB=472，所以sin，PA2=；,

PB9

所以团必L8得外接圆半径2r=.-5=9,即r=:

sm/PAB2

由勾股定理可得球。的半径R=J废+产=警故选A.

【典例1-2】（2021•高三课时练习）在边长为2的菱形ABCD中，BD=2道,将菱形ABCD沿对角线AC折

起，使得平面ABC人平面ACD,则所得三棱锥BCD的外接球表面积为（）

8兀147120兀32兀

A.—B.C.D.

3333

【答案】C

【分析】由题意画出图形，由于与，ACD均为边长为2的等边三角形，取AC中点G,连接BG,DG,

则BG_LAC,根据面面垂直的性质可得出3GL平面ACD,再确定。为三棱锥A-BCD的外接球的球心，

结合已知求出三棱锥外接球的半径R=0D,最后根据球的表面积公式求出外接球的表面积.

【详解】解：,在边长为2的菱形A8CD中，BD=2拒,

如图，

由已知可得，ABC与，ACD均为边长为2的等边三角形,

取AC中点G,连接3G,DG,则_BG_LAC,DG=V3=>cosZ.GDA==>AGDA=—=>ZADC=—,

263

平面平面AC。，交线为AC,而BGu平面ABC,则BG,平面ACD,分别取△BCD与的

外心E,F,

过E,尸分别作两面的垂线，相交于0,则。为三棱锥A-BCD的外接球的球心，

由VBC4与，ACD均为等边三角形且边长为2,Pi^OE=OF=-DG=—,DE=DG-GE,

333

：.OD=JOE。+E>=栏y+苧、孚,即三棱锥外接球的半径：R=OD=半，

三棱锥4一38的外接球的表面积为：4万xR2=4万'（亭了二个.故选：C.

【变式1-1］（2023•全国•高三专题练习）如图，已知正方形A3CD的边长为4,若将ABD沿8D翻折到

的位置，使得平面A5D_L平面BCD,分别为A3和8的中点，则直线被四面体A'-BCD的外

接球所截得的线段长为（）

A.75B.2A/5C.用D.2币

【答案】D

【分析】首先取的中点。，连接AO,CO,根据题意得到。为四面体A-BCD外接球的球心，且半径

R=2及,再计算的长度得到跖V=2g,从而得到。到肱V的距离为1,再计算直线被四面体

A-BCD的外接球所截得的线段长即可.

【详解】取3。的中点。，连接AO,CO,如图所示：

因为A0=C0=；5£>,BO="7^=4&，所以。为四面体A—BCD外接球的球

心，且半径R=2jL因为A3=AO,且。为5。中点，所以A'。，3。.平面A3。，平面3co=3。，所以

A'O_L平面BCD

过N作NELBD,过加作连接NO,MO如图所示：

在RT4NEB中,BN=2,ZNBE=45，所以NE=BE=6，同理其尸=阳=夜，所以EB=20.

在中，EM=作用+（用=回,所以在RTZ\NEAf中，MN=｛（®『+（可=26.

又因为QW=ON=；A2=2,所以。到"N的距离=3^^[=/^=1,

所以直线MN被球0截得的线段长=2-JR2-I2=2不（2何-1=2币.故选：D

【变式1-2]（2023上•江苏连云港•高三校考）已知三棱锥P-ABC,。为BC中点，

PB=PC=AB=BC=AC=2,侧面PBC1底面ABC,则过点。的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的

取值范围为（）

5兀7L27c27r_「cI

A.兀，二-B.-~C.——,271D.pl,2TI

L3J123」L3JL」

【答案】A--

【分析】连接尸2,QA,OA,设三棱锥P-ABC外接球的球心为0,设过点Q的平面为a,则当时，

此时所得截面的面积最小，当点。在以。为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性

质即可得解.

【详解】连接尸。，QA,由尸B=PC=AB=BC=AC=2,

可知：ABC和｛PBC是等边三角形,

设三棱锥P-ABC外接球的球心为。，

所以球心。到平面ABC和平面PBC的射影是_ABC和二PBC的中心下，E,

P3C是等边三角形，。为2C中点，

所以PQL3C,又因为侧面P3C1底面ABC,侧面PBCc底面ABC=5C,

所以尸底面A3C,而AQu底面A3C,因此PQL4Q,所以。FQE是矩形，

ABC和P3C是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高//=12_132；=若,

在矩形。尸。石中，OE=FQ=Lh=同.AE=Mz=",连接04,

3333

所以C+EA?=『|=孚,设过点。的平面为a,当OQLa时，

此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，00=刀尸+尸02=心"+[〃：=*=*凤*

因此圆。的半径为：一002=Jg_g=i,所以此时面积为兀42=兀，

当点。在以o为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：兀/空〕=£，

【变式1-3]（2023•全国•高三专题练习）在三棱锥P-ABC中，AC=PA=y/3AB=^BC,平面PAC,平面

ABC,PAIBC,^。为三棱锥P-ABC外接球。上一动点,且点Q到平面PAC的距离的最大值为0+旧，

则球。的体积为（）_

“2871432m

A.---nBn.---------n

33

_56V14-80M

C.--------71D.--------Tl

33

【答案】C

【分析】取AC的中点M,证明BM3平面PAC,从而可得创见平面PAC,可得BMSPA,再证出团平面ABC；

设BC=a,在0ABe中，利用余弦定理求出cosHABC及财8c的大小.设二ABC外接圆的圆心为。1，半径为r,

球。的半径为R,求出长度；连接QA,OA,求出QA长度；在amo中，利用勾股定理求出凡易知

O.O//PA,从而得。。国平面B4C,从而得点。到平面以C的距离等于点。到平面B4c的距离.根据点Q

到平面E4c距离的最大值为应+J五可得a的值，从而求得R,再根据球的体积公式即可求解.

【详解】取AC的中点M,HAB=BC,I3BM1AC,回平面R4C_L平面4BC,平面PAC'平面ABC=AC,

回环平面总C,EIRlu平面朋C,I3BM±PA,I3PA1BC,BMBC=B,回上4_!_平面ABC,

〃2,2_o21

设AC=PA=y/3AB=yJ^BC=y/3a,贝UcosZ.ABC=-----------=—，回AABC=120°,

2xaxa2

设，ABC外接圆的圆心为a，半径为广，球。的半径为凡如图所示，显然8,M,三点共线，且。

平面PAC.

由AC=&,ZABC=120°,得3M=：a,1=岛=a,0QAf--a；连接QA,OA,则QA=a,

22sin12002

由PAL平面ABC,且一ABC外接圆的圆心为可得R=1+0河=J%+a24a.

回OQ_L平面ABC,^OtO//PA,0。回平面出（?，回点。到平面E4C的距离等于点。到平面B4c的距离，

回点0到平面B4C距离的最大值为应+何，EIO1M+R=；a+*。=0+旧，得a=20，

07?=A/14>

题型06二面角型外接球

【解题攻略】

二面角型求外接圆

在空间四边形ABCD中，二面角C—AB—£＞的平面角大小为a,1笈/）的外接圆圆心为Q,AABC的

外接圆圆心为。2，E为两面交线A3的中点

所以/0再。2=a,O[E=m,O2E