空间几何体章节复习讲义-2025届高三数学一轮复习

章节复习2-8-1《空间几何体》

（2套8页，答案16）

知识点1：

1、多面体的面积和体积公式（★必背）

名称侧面积（S恻）全面积（S全）体积（V）

棱柱直截面周长X1S底.h=S直截面・h

棱

S侧+2S底

柱

直棱柱chS底上

棱锥各侧面积之和

核(S底41□

S侧+S底

锥正棱锥—ch,

2

棱台各侧面面积之和

桂1________

1S侧+S上底+S下底§h（S上底+S卜底+Js下底-S下底）

台正棱台—(c+d)〃

表中S表小面积，d、c分别表示上、下底面周长，表示图，〃表不斜IWJ,/表不侧棱长。

2、旋转体的面积和体积公式（★必背）

名称圆柱圆锥圆台球

\

R

图形/"、/2叼

加一）登/1

s侧liirl7trl□7i{r\+ri)l

S全2万(/+r)^r(Z+r)7roi+/2)/+7(31+於2)4兀R?□

141

229

V7TF〃(即加r/)—7irhJ兀〃（»1+片厂2+72）—7rH3□

33

表中1、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，n、n分别表示圆台上、下底面半径,

R表示半径。

典型例题1:

1.观察以下几何体的变化，说出他们的名称，通过比较，说出他们的特征.®

（底面是平行四边形）（底面是矩形）（底面是正方形）

2.下列说法正确的是（②）

A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥

B.夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体

C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台

D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线

3.利用斜二测画法得到：以下结论中，正确的是®.（填序号）

①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.

4.正三棱柱ABC—AiBiG中，各边的长度都是2,则该三棱柱的表面积是，体积是；

三棱锥Ai-ABC的体积为,四棱锥A-BCCjBi的体积为④。

5.已知AABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,（1）以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一

周，求所得旋转体的表面积和体积.®（2）若以AB为轴呢？（中下）

6.球的直径伸长为原来的2倍，则球的表面积和体积分别变为原来的几倍？（⑥）

7.圆台的较小底面半径为1,母线长为2,一条母线和底面的一条半径有交点且成60°,则圆台的侧面

积为—，体积为®_o

8.正四棱锥的侧棱长和底面边长都是2,则它的体积是（®）

A.472B,迪C.4V3D也

33

随堂练习1：

1.下列命题中，正确的是（®）

A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形

D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形

2.下列说法正确的是（®）

A.直线绕定直线旋转形成柱面

B.半圆绕定直线旋转形成球体

C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

D.圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的

3.下列结论：

①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；

③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行.

其中正确的有（11）A.①②B.①④C.③④D.①③④

4.直三棱柱ABC—AiBiCi中,AB，AC,AB=1,AC=百，侧棱AA1=2,则该三棱柱的表面积是

体积是;三棱锥Ai-ABC的体积为,四棱锥A-BCCiBi的体积为修。

5.将4X6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是.

6.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的（14）

A.4倍B.3倍C.也倍D.2倍

7.球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（15）

,A.4倍B.8倍C.16倍D.32倍

8.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，冰淇淋会从杯子溢出

吗？请计算说明理由.16

9,正四棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则体积为"，侧面积为

10.已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为求这个正四棱锥的体积。8）.

知识点2：

外接球、内切球涉两两垂直:

长方体（正方体）外接球的直径为该长方体的体对角线。

长方形对角线交点到各顶点距离相等，沿对角线折叠后该点即为外接球球心。

如果不是长方体，但涉及到两两垂直的三条线段，马上构造一个长方体，方便自己想象。

三组对边相等的三棱锥，也可以构造长方体，再分析外接球。

外接球、内切球涉圆锥、圆柱、直棱柱、直棱锥、正棱锥：

求圆柱的外接球半径，可以先作该圆柱的轴截面，轴截面对角线即为外接球的直径。

求圆锥的外接球半径，可以先作其轴截面，其为三角形。该三角形中垂线的交点即为球心。

求直棱柱的外接球，可以先求其外接圆柱体，再利用该圆柱体的轴截面求半径即可。

求直棱椎的外接球，可以先求其外接直棱柱、圆柱，再利用该圆柱体的轴截面求半径即可。

求正棱椎的外接球，可以先求其外接圆锥，再利用该圆锥的轴截面求半径即可。

共顶点的三条棱相等的三棱锥，也可以构造外接圆锥；

外接球---外心法、坐标法找球心：

如果没有出现两两垂直的线段，也不是正棱柱和圆锥，求外接球的时候，可以先找出其中一个三角

形的外心，球心必然在该外心的垂线上。再令球心到两点距离相等，即可求出球心及半径。

也可以建立空间坐标系（以一外心为坐标原点），求出球心坐标。

典型例题2：

1.已知直三棱柱ABC—AiBiCi的6个顶点都在球O的球面上，若AB=LAC=6,AB_LAC,

AAi=4,则球。的表面积为（19）A.5/B.10/C.20%D.迎反

3

2.三棱锥P-ABC中，PAL平面ABC且PA=2,4ABC是边长为后的等边三角形，则该三棱锥外接球的表

4万

面积为（20）A.—B.4乃C.8乃D.20乃

3

3.已知正四棱锥，其底面边长为2,侧棱长为若，则该四棱锥外接球的表面积是21

4.在三棱锥A-BCD中，AABC与4BCD都是边长为6的正三角形，平面ABC,平面BCD,则该三棱

锥的外接球的面积为方.

随堂练习2：

1.在四面体S—ABC中，平面ABC,NA6c=90°,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外

接球的表面积为..

2.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱

柱的高为6,底面周长为3,那么这个球的体积为_24

3.正四棱锥的各棱长都为公，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为—25—.

4.在三棱锥V-ABC中，面VAC1面ABC,VA=AC=2,NVAC=120。，BA1BC则三棱锥V-ABC的外接球

的表面积是为.

知识点3：

内切球:

多用等体积法求内切球半径。

公式：V=—（S：三棱锥表面积；R：内切球半径；V：三棱锥体积；）

3

球截面：

球截面的题型，一般画两个图，形成套路，方便自己分析。

多面体外接球，如果点不是固定的，或者涉及到最值分析，也适用球截面的方法。

最短路径：

把几何体各面摊开，两点之间线段最短，所以，直接连接相关两点即可。

点线之间，垂线段最短，所以，要求点线距离最值，作垂线即可。

典型例题3：

1.正四棱锥O—ABCD的体积为半，底面边长为百，则正四棱锥O—ABCD的内切球的

表面积是".

2.（2022年广东潮州三模J08）已如A,B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且ACJ_BC,AC=

BC=L则三棱锥0-ABC的体积为（28）A.变B.1C.巫D.正

121244

3.过圆锥高的中点的截面且与底面平行把圆锥分成两部分体积之比为（29）

A、1:1B、1:6C、1:7D、1:8

4.（多选改编，2022年广东梅州二模J20）在长方体ABCD-ABCD中，却=|A£>|=1,|A4j=2,动

点尸在体对角线BA上（含端点），|AP|+|PC|的最小值________（3。）

5.（多选改编，2022年福建德化一中J37）如图，AC为圆锥S。底面圆。的直径，点8是圆O上异于A,

C的点，S0=0C=2,若AB=BC,E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为（31）

随堂练习3：

1.正三棱锥的棱长都是6。相，求它的内切球的表面积。仁2）

2.（2022年湖南名校联考J48,填空3）某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，

该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为6指的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的

中心重合），若其中一个截面圆的周长为6万，则该球的半径是33.

3.圆锥的母线长为2cm,过顶点和底面圆心的截面面积为2cmz,则该圆锥的侧面积为（34）

A.y[27lcm2B.2万cm2C.2cm2D.4万cm2

4.在三棱锥S—ABC中，SA=SB=SC=1,ZASB=ZASC=ZBSC=30°,如图，一只蚂蚁从点A出

发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为-35_.

5.（多选改编，2022年湖南怀化一模J57）如下图，边长为2的正方体ABCD-ABCD中，M为CQ上的

动点，N为DDi中点，当AM+MN的和最小时，MC长度为（36）

章节复习2-8-1《空间几何体》配套练习

1.一个棱柱是正四棱柱的条件是(37)

A、底面是正方形，有两个侧面是矩形B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱

2.有下列命题

(1)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

(2)圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

(3)在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

(4)圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.

其中正确的是(38)

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(2)(4)

3.下列结论：

①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；

③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行.

其中正确的有(39)A.①②B.①④C.③④D.①③④

4.三棱锥P—ABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，侧面面积分别是6,4,3,则三棱锥的体积是(如)

A.4B.6C.8D.10

5.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面

是正三角形.如果三棱柱的体积为12百，圆柱的底面直径与母线长

相等，则圆柱的侧面积为(”)

A.12〃B.14〃C.16〃D.18〃

6.三个球的半径之比为1：2：3,那么最大球的体积是其余两个球的体积和的(42)

A、1倍B.2倍C.3倍D.4倍

7.如右图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1：4：4,母线长为10,则圆台的侧面积为(43)

体积为()

8.正三棱锥的底面边长为〃，高为"Q,则三棱锥的侧面积为(44

6

A32R32「2n3A/32

A.—aB.-aC.---aD.—!—a~

4242

9.如图，用一平面去截球所得截面的面积为2;rcm2,已知球心到

该截面的距离为1cm,则该球的体积是45cm3.

10.如图，已知正方形ABCD的边长为4,E、F分别是BC、CD的中点，沿AE、AF、EF把三角形ABE、ADF、

CEF折起，使得B、C、D三点重合为P点,形成一个三棱锥P—AEF,则该三棱锥的外接球体积是被

11.如图，ABCD-A耳GA是边长为1的正方体，S-ABCD是高为1的正四棱锥，若点%。口口在

同一球面上，则该球的表面积为(")o(A):9w(B)—257T(C)—497V(D)—817F

16161616

12.如图：边长为2石的菱形ABCD,Z£)AB=60°,将^ABD沿BD折起到图中相6。的位置，使得二

13.三棱锥A—BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5,求三棱锥的内切球的体积.49

14.过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为I'。)

A.1：2：3B.1：3：5C.1：2：4D.1：3：9

15.直棱柱ABP-ABP中，AB±AP,AP=2,AB=AA1=4,打点器从P点开始到巴点结束绕侧面打一条轨

迹线，则留下的所有轨迹中最短轨迹长度为(51)_

A.6+2^5B.+C,4+2^/5D.V15+^3

16.(多选改编，2022年广东天河J15)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台0Q,

在轴截面ABCD中，AB=Ar)=JBC=2cm,且CD=2AB,一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到

AD的中点，所经过的最短路程为。2)

3答案：略；

②答案：C；［圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，/不正确，圆柱夹

在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故6不正确，通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，

故。不正确.］

®答案：①②；

解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直

观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.

④答案：12+2百，2^3,―,—；

33

⑤答案：36%,16%；,加，当乃；

［分析］应用锥体的侧面积和体积的计算公式求解.

解题流程：

△旋转体是两|底面半便袤］高8。，

求体积

一"个同底圆锥径为8面积AD'

的特征----------------

［解析］如图，在△ABC中，过C作垂足为D

由AC=3,8c=4,AB=5,AC2+BC2=AB2,则ACJ_8C

12I?

所以3cAe=ABC7),所以CD=w，记为r=亍，

那么△ABC以A5为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径〃=茅1?，母线长分别是AC=3,BC

=4,

1284

所以S表面积=^r-(AC+BQ=:^X^-X(3+4)=y^,

V=^7tr(AD+BD)=^7tr--AB=1■兀X(-y)2X5=当加.

［特别提醒］求旋转体的有关问题常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题来解决.对于与

旋转体有关的组合体问题，要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底

面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积.

@答案：4倍，8倍;

7年

®答案：6

3

®答案：B；

®答案：D；

㉚答案：D［两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故/错误.半圆以直径所在直线为轴旋转形

成球体，故6不正确，C不符合棱台的定义，所以应选。.］

11答案：B；［由斜二测画法的规则判断.］

__昱2^/3

12答案：6+373；也,33

36

13答案：兀；

14答案：D；

［解析］由已知得/=2'，生=粤=4=2,故选D.

J底兀厂〃

15答案：B；

1410R

I6［解析］V球=］义铲炉=飞一兀，

V锥=；兀氏2%=兀X42X10xg=^|^7i,

128160

~71<~T71

・\不会溢出.

17答案：—,1275；

3

生上4-\/2

18答案：——；

3

19答案：C；

20答案：C；

21答案：9兀；

22答案：60n；

23答案：8万；

4

24答案：-K；

【解析「••正六边形周长为3,得边长为;，故其主对角线为1,从而球的直径2R=J(6『+12=2

4

.*./?=1；•球的体积V=—71

3

25答案：4兀；

26答案：16兀;

解：如图，设AC中点为M,匕4中点为N,

■■■\SVACX^ABC,BA1BC,.•.过M作面ABC的垂线,

球心。必在该垂线上，连接ON,则。N14U.

在RtAOM力中，AM=1,^OAM=60°,

。4=2,即三棱锥P—28C的外接球的半径为2,

.••三棱锥U-ABC的外接球的表面积S=4TCR2=167r.

故答案为：16兀.

设AC中点为M,U4中点为N,过M作面ABC的垂线，球心。必在该垂线上，连接ON,则。N14U.

可得04=2,即三棱锥U-力BC的外接球的半径为2,即可求出三棱锥的外接球表面积.

本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键，属于

中档题.

27答案：（4—6上；

【解析】正四棱锥O—ABCD的体积丫=J5〃=工'有'6乂丸=述，；./2=£1,；.斜高为

3322

r,贝！J

372

，，正四棱锥O—ABCD的内切球的

2

表面积为4/rr2=（4—J7）乃.

28【答案】A

【解析】

【分析】由题可得AABC为等腰直角三角形，得出△ABC外接圆的半径，则可求得。到平面ABC的距离,

进而求得体积.

【详解】•.•4。，8。,4。=8。=1,.3人5。为等腰直角三角形，二45=行，

则AABC外接圆的半径为42,又球的半径为1,

2

设。到平面ABC的距离为d,

\l2J2

所以/-ABC=；1ABC.d=；xgxlxlx¥=告.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面

距离的勾股关系求解.

29答案：C;

30730

亍，

【分析】当BD]1AP,BDt1CP时，|AP|+|PC|取得最小值，

由B得，此时4=!，则AP=,CP=||>

61663J1663J

所以网=同=粤，

即|AP|+|PC|的最小值为手；

X

312(73+1)；

【解析】

【分析】把棱锥的两个面钻和AABC摊平，利用平面上的性质求S£+EC的最小值判断D.

【详解】=时，把和AABC摊平，如图，

SE+CE的最小值是SC,此时，AB=BC=2j5=S4=S8，AB±BC,ZSBC=150°,

SC=y/SB2+BC2-2SB-BCcosZSBC=J8+8-2x2&x2夜cosl50。=2(6+1)-

32答案：6%；

33【答案】6

【分析】设球心为。，作出过球心的截面图如图所示，然后根据已知条件结合球的性质求解即可

【详解】设球心为。，作出过球心的截面图如图所示，则。4=3石，

由截面圆的周长为6万，得2»xAB=6»,AB=3,

球的半径是VoA2+AB2=J(3A/§)2+3?=6-

故答案为：6

36,:MC=2-6

【分析】将矩形ACG4与矩形CGRD延展为一个平面，利用A、M、N三点共线得知AM+MN最

短，利用平行线分线段成比例定理求得MC,可判断D选项的正误.

将矩形ACGA与矩形延展一个平面，如下图所示:

若4W+MN最短，则A、M、N三点共线,

・5〃叫••将条芸=2一日

••・MC=2—所以，点M不是棱CG的中点，D选项错误.

37答案：C；

38答案：D；

39答案：B；

40答案：A；

41答案：C；

42答案：C；

"［答案］100n,224n；

［解析］圆台的轴截面如图，设上底半径为r,则下底半径为4厂，高为4r.

因为母线长为10,所以在轴截面等腰梯形中，有1。2=（4「）2+（4厂一厂）2.解得r=2.所以S圆台侧=兀（「+4厂＞10

=10071,故选B.

44答案：A；

45答案：4杷兀；

46答案：8a兀；

47答案：D；

【考点】空间几何体表面积计算。

【解析】按如图所示作辅助线，。为球心，设。5=x,则。4=S°=2-x,同时由正方体的性质知

耳5=T,则在氏△。耳5中，OB：=G/J+0片(2-x)2=x2+(—)a