利用导数研究双变量问题（原卷版）-2025年高考数学一轮复习

第07讲利用导数研究双变量问题

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................2

第三部分：高频考点一遍过............................................2

高频考点一:分离双参，构造函数....................................2

高频考点二：糅合双参（比值糅合）.................................4

高频考点三：糅合双参（差值糅合）.................................6

高频考点四：变更主元法...........................................7

高频考点五：利用对数平均不等式解决双变量问题....................8

第四部分：新定义题10

第一部分：基础知识

1、导数中求解双变量问题的一般步骤：

（1）先根据已知条件确定出变量再应满足的条件；

（2）将待求的问题转化为关于公三的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：

①通过将所有涉及不，%的式子转化为关于土的式子，将问题转化为关于自变量上（迤亦可）的函数问题；

②通过为，工的乘积关系，用再表示七（用马表示占亦可），将双变量问题替换为用（或Z）的单变量问题；

（3）构造关于土或士的新函数，同时根据已知条件确定出土或占的范围即为新函数定义域，借助新函数

的单调性和值域完成问题的分析求解.

2、破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等

式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果

第二部分：高考真题回顾

1.(2022•浙江•高考真题)设函数/(%)=丁+lnx(x>0).

2x

⑴求了(九)的单调区间；

(2)已知a,beR,曲线y=f(x)上不同的三点(x1,/(x1)),(x2,/(x2)),(x3,/(^3))处的切线都经过点3%.证

明：

(i)若o〉e,则°<匕一/(。)<；(£一11；

..2Q-a112e-〃

<+<-

(ii)若0<ave,玉v/<%，则"+ge2_~-6,.

(注：e=2.71828.是自然对数的底数)

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一:分离双参，构造函数

典型例题

例题1.(23-24高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)已知函数/(x)=21nx-(a+l)x2—2a%+l,6/GR.

⑴当a=1时，求函数/(x)在点(1]⑴)处的切线方程；

⑵若函数/(九)有两个零点花，巧，求实数。的取值范围；

2

⑶在(2)的条件下，证明：%+%〉一7.

a+1

例题2.(22-23高二下•福建龙岩•期中)已知函数/(x)=lnx-。(尤-2)(aeR).

(1)讨论/(X)的单调性；

3

(2)若“X)有两个零点X1,%,(%<%,),证明：玉+3x,>—+2.

a

练透核心考点

1.(22-23高二下•河北邢台•期末)已知函数/(耳=?%2-(a-2)x—2xlnx.

⑴若〃力为增函数,求。；

4

⑵若0<a<2,/'(X)有两个零点七，々，且无i<%，证明：々-无］>--2.

2.(2023•海南海口•模拟预测)已知函数/(x)=xe*.

(1)求了。)的最小值；

⑵设尸(x)=f{x)+a(x+1)"。>0).

(i)证明：尸(无)存在两个零点七，巧；

(ii)证明：/(无)的两个零点为，巧满足玉+%+2<0.

高频考点二：糅合双参（比值糅合）

典型例题

例题1.（23-24高三上•河北沧州•阶段练习）已知函数/（x）=alnx-.

⑴讨论J（x）的单调性;

（2）若存在不相等的实数不，尤2,使得〃占）=〃刍），证明：0<2a<%+%.

例题2.（23-24高三下•甘肃•开学考试）己知函数〃x）=£»+lnx（aeR）.

（1）若在（0,+动上单调递增，求。的取值范围；

⑵若/（无）有2个极值点4%2（芯>工2>°），求证：々（才+考）>2

例题3.（2024•四川•一模）已知函数/（%）=办2+%一1n%一々.

⑴若〃=1,求/（力的最小值；

⑵若/（%）有2个零点看，九2，证明：4（%+%2）2+（七+%2）>2.

练透核心考点

1.(2022•全国•模拟预测)设函数“x)=ln%-tzx(aeR).

①若。=3,求函数的最值；

(2)若函数g(x)=4(x)—x+a有两个不同的极值点，记作占,巧,且不＜々，求证：1叫+2hu：2＞3.

2.(2024高三上,全国•专题练习)已知函数f(x)=a(x-lnx)+x2-2x,其中awR.

⑴当a=-2e时，求“X)的极值；

⑵当。＞。，无］＞七＞0时，证明：/(%)_/(用＜/(々)_/(上；八)天2.

3.(22-23高三下•湖北咸宁•阶段练习)已知函数/(尤)=3x-sin尤-alnx.

jr

(1)当。=0时，VxeCO,-l./W^^,求实数的取值范围;

2

(2)若三%,9e(0,+oo),%使得/(均)=/(w),求证：4XJX2<a.

高频考点三：糅合双参（差值糅合）

典型例题

例题L（23-24高二上•陕西西安•期末）已知函数〃力=（炉+;加+〃户二

⑴若m=n=Q,求/（x）的单调区间；

（2）若租=4+6,n=ab,且“X）有两个极值点，分别为々和马。＜9），求”2一（U）的最小值.

e2-e1

例题2.（23-24高二上•江苏盐城•期末）设函数/（x）=ae*-2x-l,aeR,

⑴讨论函数〃x）的单调性；

⑵若4，巧是函数“X）的两个零点，且求玉+%的最小值.

练透核心考点

1.（23-24高三上•广东深圳•阶段练习）已知函数/（*）=（尤2+2ax+2〃）e\

⑴若。=0,求“X）的单调区间；

⑵若“X）有两个极值点，分别为为和々（占＜/）,求/））-〃尤2）的最小值.

2.(22-23高二下,浙江•阶段练习)已知函数/'(x)=x2+ox+；,g(尤)=liu+x.

(1)求函数g(x)在x=l处的切线方程；

⑵记函数及(x)=/(x)—g(x),且/z(x)的最小值为I'+ln及.

(i)求实数。的值；

(ii)若存在实数孙％1满足〃百户且仁产/,求人-目的最小值.

高频考点四：变更主元法

典型例题

例题:1.(23-24高一上•云南•期末)若不等式V+g—4)x+4-2aN0对任意ae[O川恒成立，贝”的取值范

围为•

例题2.(20-21高二下•黑龙江哈尔滨•阶段练习)已知，(尤)=+-3x+1,若对任意的。w[-1,1],总有f(x)>0,

则x的范围是.

例题3.(2024高三•全国・专题练习)已知二次函数y=ox2+/w+2(a,b为实数)

(1)若函数图象过点(1,1),对VxeR,，>。恒成立，求实数。的取值范围；

⑵若函数图象过点(1,1),对-2,-1].y>0恒成立，求实数x的取值范围；

练透核心考点

1.(23-24高一上•四川成都・开学考试)已知ae[-U],不等式*+(。-4)x+x—2a＞0恒成立，则x的取值

范围_____.

2.(2024高三•全国•专题练习)设函数/(x)是定义在(-8,+到上的增函数.若不等式/(1-融-

对于任意ae[0,1]恒成立，求实数尤的取值范围.

高频考点五：利用对数平均不等式解决双变量问题

典型例题

例题1.(2023高三,全国•专题练习)已知函数/(x)=---lnx+x-a.若/(x)有两个零点占，证明：再马＜1.

例题2.(2023•广东广州•模拟预测)已知函数〃x)=lnx-加.

⑴讨论函数〃尤)的单调性：

(2)若占,三是方程/(x)=0的两不等实根，求证：x；+x；＞2e；

练透核心考点

1.(2023•北京通州・三模)已知函数/(%)=依一@一Inx(a＞0)

⑴已知/(龙)在点(1,/(I))处的切线方程为＞=%T,求实数〃的值；

(2)已知/(%)在定义域上是增函数，求实数〃的取值范围.

⑶已知g(x)=/(x)