江苏省淮安市2024-2025学年高三年级上册第一次调研测试数学试题

江苏省淮安市2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合M={xl-1vxvl},N={I|炉-2]＞。},则VuN=（）

A.（0,1）B.（-1,0）

C.（2,+oo）D.（-oo,-l）（2,+oo）

2.若复数z满足z=M（i为虚数单位），贝I"的模|z|=（）

A.1B.gC.75D.1

3.已知等差数列{%}的公差为2,且出，的，0成等比数列，贝（）

A.-1B.1C.2D.3

4.已知暴函数〃尤）="27-1）--3的图象与y轴无交点，贝V的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.5知函数f（x）=sin（2x+0）,xeR,则“，（0）=0”是“函数〃力为奇函数”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

6.己知e是单位向量，0满足,+4=3-30,则“在"方向上的投影为（）

A.—B.-C.—D.1

232

7.在外接圆半径为4的VA3C中，ZABC=30°,若符合上述条件的三角形有两个，贝I边

的长可能为（）

A.2B.3C.4D.5

8.已知函数〃耳=工，正数。，6满足/（a）+〃6）=l,则兽会的最大值为（）

二、多选题

9.已知4*,ceR,则下列说法正确的是()

..ab厂।

A.右一>一,c<0,贝UQVZ?

cc

B.若a>0,b>0,则a+,2(/+/)

C.若a>b,ab>0,则—>—

ab

/7+H7h

D.若〃>0,b>0,m>0,贝！J---->—

a+ma

10.在数列｛%｝和也｝中，4=4=1,an+1-an=77+1,-坛=l,neN*,下列说法正

确的有()

,2(n+l)("+2)

A.bn=n-B.a——△----L

n2

〃1

c.36是｛%｝与也｝的公共项D.E7-------<2

t4+i一生+i

11.已知函数〃了)=5^+2忖，()

A.函数/'(x)为单调减函数

B.函数”元)的对称中心为(0,1)

C.若对Vx>0,/(x)>/(—X)+。恒成立，则

D.函数g(x)=2sin，xj+l,xe[-19,0)(0,19]与函数y=的图象所有交点纵坐

标之和为20

三、填空题

9

12.log43+|log2|-2^=.

tan2a

13.已知sina+cosa=/，贝上兀）___-

5tanl«+4I

14.已知函数/（力=8次，将函数y=〃x）图象上各点的横坐标缩短为原来的g,纵坐标

不变，再将所得图象上各点向左平移!■个单位长度，得到y=g（M的图象.设函数

试卷第2页，共4页

/z(x)=g(x)-2/(x),若存在xeR使26/Z(X)-7〃2+8加20成立，则实数加的取值范围

为.

四、解答题

15.设A,B,C,。为平面内的四点,已知4(3,1),5(-2,2),C(-l,4).

⑴若四边形ABCD为平行四边形，求。点的坐标；

(2)若A,C,D三点共线，BDAC=-18，求。点的坐标.

16.设是奇函数，g(x)是偶函数，且/(x)+g(x)=J5sin]x+：j.

⑴求函数“X)，g(x)的解析式；

⑵设=+xe0,|-.当“到=日时，求x的值.

17.在VABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且c—2%+24cosc=0.

⑴求A；

(2)如图，过VABC外一点尸作PBLAB,PCLAC,PB=®,AC=4,求四边形ABPC的

面积.

18.已知数列｛%｝的前几项和为S“，q=1,%=4,%=7,且AS；="(4+]+8).

⑴求数列｛%｝的通项公式；

b

22

⑵若左£N*,当〃=%时，bn=k-当以<〃<ak+l时，―-=2；

%

①求数列｛%｝的前左项和小

②当〃=4+1时，求证：25bn_2-2kal+i>0.

19.已知函数/(X)=d-

⑴讨论函数“X）的单调性；

⑵若/（X）21nx恒成立.

①求实数。的取值范围；

②当a取最大值时，若用+%+$+4=1（4，%，X3,X4为非负实数），求

%/（%）+xif（W）+看/（%）+x"（不）的最小值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CADBADDBABACD

题号11

答案BCD

1.C

【分析】解不等式可得集合N=(-8,0)U(2,+8),再由并集运算可得结果.

【详解】解不等式，一2x>0可得N=0)u(2,+8),

又Af={X|—1<X<1}=(-1,1),可得AfuN=(-w,l)u(2,+8).

故选：C

2.A

【分析】根据模长的运算公式以及性质求解即可.

【详解】由题意可知：闫=峻，吗=1,

12Tlv5

故选：A.

3.D

【分析】根据等比数列性质利用等差数列通项公式计算可得为=-1,代入计算可得结果.

【详解】由〃2，。3，0成等比数列可得而=。2。6，

即(6+4)2=(6+2)(6+10),解得

以彳导2a4—%=2(q+3d)_(q+4d)-q+2d——1+4=3,

故选：D.

4.B

【分析】根据幕函数的定义和图象特点可得出关于实数/的等式与不等式，即可解出/的值.

【详解】因为幕函数"耳=卜27-1卜2,一3的图象与y轴无交点，

172T-1=1

则，解得r=-L

[2t-3<0

故选：B.

5.A

答案第1页，共13页

【分析】结合正弦函数的奇偶性以及充要条件的定义判断即可.

【详解】若/(。)=0,贝！|sine=O,则夕=航，keZ,

所以/(x)=sin(2x+E)=±sin2x,则/(x)为奇函数.

若f(x)为奇函数，则一定有/(O)=O.

则“"0)=。”是“函数”X)为奇函数”的充要条件.

故选：A.

6.D

【分析】根据向量数量积运算公式，求得Z在工方向上的投影，进而可得投影.

2,

【详解】\a+e\=|<7—3e|,-a+2a-e+e=a-6a-e+9e，8a-e=8,

即a-e=l，a在工上投影向量W・e=e,所以“在e方向上的投影为1.

|e「

故选：D.

7.D

【分析】根据给定条件，由三角形有两解的条件，结合正弦定理求出边的范围.

【详解】在VABC中，ZABC=30°,由VABC有两解，得30<C<150,且Cw90,

则;<sinC<l,由VABC外接圆半径为4及正弦定理，得AB=8sinCe(4,8),

所以边AB的长可能为5.

故选：D

8.B

【分析】方法一：根据/(。)+/0)=1可得油=1,再由基本不等式计算可得结果；

方法二：由函数解析式可得/(〃)+/[5]=1,再由单调性可得必=1,利用基本不等式计算

可得结果.

1

【详解】方法一：由=1可得户=1-之=』=4，

')''1+a1+b1+bJ_+i

F

易知〃x)=l在(O,+⑹上单调递增，

答案第2页，共13页

因此可得"=’，即ab=l；

b

（2〃2_*_筋―9b_2a-9b_1

-

又4/+81/-4〃2+8仍2（2〃—94+36-~~36-

7la-yb-\-------

2a—9b

要求（2"-9）。的最大值,只需考虑2a—%>0即可，

4a2+8162

1<—11

362.l（2a-9b）———

因此2a-9b+12,

2a-9bV2a-9b

当且仅当°=3（&+l）6=心二L时,

等号成立;

2'3

故选：B.

方法二：f（a）+f（b）=l,而〃a）+/[£|=l,所以=

而/（力=1-1，在（0,+8）上单调递增，

所以6=',即aZ?=l,

a

2a—9b2a—9b一

因此原式=再获谈=（2-9"+36'要求其最大值,只需考察为-%>°

________________<___

可得原式—2a9bI=~2736~12,

2a-9b

当且仅当〔:W6时,即""工人『时等号成立;

故选：B.

9.AB

【分析】利用作差法可判断A,利用不等式2MV/+62可判断b利用特殊值法可判断C、

D.

【详解】由得幺一2>。，即史会>。，又c<。，则。一6<0,即。<6,故A正确;

CCCCC

^^]2ab<a2+b2,所以2〃。+4+/42（/+/）,即（a+of<2（〃+⑹，

又因为〃>0,b>0,所以〃小2（〃2+〃）,故B正确；

假设。=—1,b=-2f满足a>b,

答案第3页，共13页

此时工=-1,1=-1,不成立，故C错误；

ab2ab

假设a=l,b=l,m=l,满足a>0,b>0,m>0,

,b+m1b1b+m6工井一工心仁鹏、口

止H匕n时----=1,—=1,-------->一不成立，故D车曰厌；

a+maa+ma

故选：AB.

10.ACD

【分析】A：根据等差数列定义求｛西｝的通项公式，则2可求；B：累加法求｛%｝的通项

公式；C：根据通项公式计算并判断；D：采用裂项相消法求和并证明.

【详解】对于A：因为屈二-a=l,〃eN*,所以｛n｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以施=1+(〃-1)*1=〃，所以2="2，故正确；

对于B：因为%-q=2,0,-a2=3「-,a“-a“T=M〃N2,〃eN*),

所以/_"I=2+3++〃，所以%=]+2+3H----\-n----(n>2),

当〃=1时，4=1符合条件，

所以4=当D,故错误；

对于C：令？("+D=36,解得〃=8(负值舍去)，所以%=36,令“2=36,解得〃=6(负值

2

舍去)，所以4=6,

所以g=%,即36是｛凡｝与也｝的公共项，故正确;

]

对于D：因为心

1=2」+」+-+11

所以Z<2,故正确;

I22321-占

Z=1%一4+inn+1

故选：ACD.

11.BCD

【分析】去绝对值分类讨论可得函数解析式，易知/(元)在(0,+8)以及(-力,0)上是分别单

调递减的，即A错误，易知"X)满足〃-x)+/(x)=2,可知B正确，再利用函数单调性

以及不等式恒成立计算可得C正确，画出两函数在同一坐标系下的图象根据周期性计算可

得D正确.

答案第4页，共13页

29

【详解】对于A,易知当%>。时，/(^)=—_■-+2,%<0时=---2,

2+12+1

因此可得/(可在(0,+8)以及(-8,0)上分别为单调递减函数，即A错误；

对于B,易知函数〃x)满足〃-司+〃力=亍\+3=2,因此可得关于(0,1)对

称，即B正确；

对于C,由+即2/(X)>2+〃，

即+£在尤>0时恒成立，易知〃无)=亍*+2>2在(0,+8)上恒成立，

所以可得221+g解得。V2,即C正确；

2

一个周期与“X)有两个交点，5个周期有10个交点，“X)与g(x)在［T9,0)u(0,19］共20

20

个交点，即»=10x2=20,故D正确，

Z=1

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数/⑺以及8(“=2$•葭尤］+1都关于(0,1)成

中心对称，再由函数周期性计算可得结果.

12.-2

【分析】应用对数运算律化简求值即可.

(详解】log43+1-log21-2sg23=log43+log4j-3=log44-3=l-3=-2.

故答案为：-2

13.-4

【分析】利用恒等变换公式以及商数关系进行化简并计算.

答案第5页，共13页

sin2asin2d'cosa-sina)

tan2。cos2asin2a(1-tana)(cosaJ

【详解】因为

(兀、1+tanacos2a(1+tana)(cosa+sina)

tana+—cos2a

[4)l-tanaIcosa)

sin2a(cosa-sina)sin2asin2a_..

—।-=5sm2a

(cos2a-sin2。)(cosa+sina)cosa+sin"

5

214

而(sina+cosa)=l+sin26Z=—,所以sin2i=一《，5sin2a=-4,

故答案为：—4.

14.[-1,9]

【分析】求得函数g(x)的解析式，进而求得九⑺的解析式，利用导数求得h(x)的最大值.

【详解】将函数y=/(£)图象上各点的横坐标缩短为原来的;得到函数/(2x)=cos2x的图

象，

再将所得图象上各点向左平移3个单位长度，得至+=cos2^+^,

所以g(x)=cos2(x+：［=-sin2x,h^x)=-sin2x-2cosx,

可得h0)周期为2兀，/(x)=-2cos2x+2sinx=0,

所以一2(l—2sin2%)+2sin%=0,所以sinx=工或sinx=—l,解得x=‘■或*兀或之兀，

2662

当xjo,2，h'M<o,所以依)在(。,胃单调递减，

当h'M>0,所以八⑺在］,"l'单调递增，

当h'M<0,所以h(久)在%,g「单调递减，

当xeg兀,2兀)，"(%)>0,所以/i(x)在g私单调递增，

/i(O)=-2,，唳兀)=^^，"(2兀)=-2,Mx).*、=乎~,

因为存在xeR使26/z(x)-/+8加20成立，所以9一病+8根20

所以-1W加<9,所以实数机的取值范围为.

故答案为：［-1,9］.

15.(1)D(4,3)

答案第6页，共13页

【分析】(1)设。(x,y),利用=可求。点的坐标；

(2)利用三点共线，可得AD=yL4C，可得。(3-44,1+34),利用数量积可求。点的坐标.

【详解】(1)因为4(3,1),8(—2,2),C(-l,4),所以3c=(1,2),

因为四边形ABC。为平行四边形，所以BC=A£»，

设。(x,y),所以AD=(x-3,y-l),

%—3=1\x=4/、

所以,所以04,3

y-l=2口=3

(2)因为A,C,。三点共线，AC=(-4,3),

所以设AD=AAC=2(^,3)=(-44,32),

又A(3,l),所以0(3—441+32),所以%>=(5—4432—1),

XBD-AC=-4(5-4A)+3(3A-l)=-18^>/l=-

所以喂，|]

16.(1)/(x)=sinx,g(x)=cosx

(2)x=0或％=£

6

【分析】(1)根据条件，利用正、余弦函数的奇偶性，得到〃x)+g(x)=sinx+co&x,

-f(x)+g(x)=-sinx+cosx,联立即可求解；

(2)利用正弦的和角公式、倍角公式及辅助角公式，得到心)」sin，2x+0+走，结合

213)4

条件得到sin,+H，再利用特殊角的三角函数值，即可求解.

答案第7页，共13页

【详解】(1)因为〃x)+g(x)=J5sin(x+：)=sinx+cosx①,

/(“为奇函数，g(%)为偶函数，

/.f(-x)+g(-%)=sin(-x)+cos(-%),即-f(x)+g(x)=-sinx+cosx②,

联立①②，解得〃x)=sinx,g(x)=cosx.

(2)因为/z(x)=sin[x+三]•cosx=gsinxcosx+cos2%

=-sin2x++cos2%)=gsin+jj

4

当Mx)二日时,gsin(2x+m[+^=#nsin[2x+m]=母

兀兀兀,4兀c7171T2兀

0<兀W—,—<2xH—«—,/.2xH—=一回x^—,

2333333

.,.%=0或%=乌.

6

17.(呜

加13班

2

【分析】(1)根据正弦定理及两角和的正弦公式求解；

(2)解法一:连接转，设NC4P=6,由条件求得即tan。，求出CP,AP,AB,由

SABPC=S&ABP+SAACP计算即可；

7T

解法二：延长CP,A8交于点。，则/。=7,求出BQ,CQ,由LBPC=S^ACQ-S^PBQ计

6

算即可.

【详解】(1);c-2〃+267cosc=。，

・••根据正弦定理得sinC-2sinB+2sinAcosC=0,

sinC-2sin(A+C)+2sinAcosC=0,

sinC—2sinAcosC—2cosAsinC+2sinAcosC=0,

sinC=2cosAsinC,

sinC>0,/.cosA=—,

答案第8页，共13页

71

OVAVTI,A=—.

3

(2)解法一：连接"，设NC4P=9,

ApC—____—B_P_________

在RtAGP和RtABP中，一cos6一$也［四一夕］，

46473八⑺

目口----=7-----\=>----=—F=-------------=>tan0=—

即COS。'\71n\COS。虫八\.八2,

sin-——cos。——sin。

UJ22

CP=4x^=2>/3,AP=2币,:.AB=5,

.••四边形MC的面积Swc=Sap+%Ab=gx5x指+；x4x2^=空・

解法二：延长CP,A8交于点。，

:.CQ==4A/3

AC=4,71

tan—

6

，四边形ABPC的面积SABPC=Ss-S&PB0=-x4x4y/3--x3x^=巨8.

ADJCZXACy£\rD^J2"2"2

18.⑴a“=3w-2

⑵①Tk=（女”尸+4②证明见解析

【分析】（1）根据已知条件赋值法列方程组计算求出48,再应用%=S“-S,T，化简得出

答案第9页，共13页

生出=3进而得出火即可；

n

b

（2）①由二=2"得出伉上=屋下再应用错位相减法即可求解；②构造数列

bn-l

q,=25-2"-2-（3"+1>再根据数列单调性即可证明不等式.

A=4+BJA=2

【详解】⑴在向+8）中分别令"=1,2=>5A=2(7+5)="-2

.,.2S“=/(4氢-2),当"22时，25„.j=(n-l)(a„-2),

两式相减得出2alt=nan+x-(n-l)an-2,

."./ra„+1-(n+l)a„=2(n>2),”=1也满足上式

-(n+l)a=2,neN*-=2f————

na

n+1n+1n〃+

a+2〃〃+2*

>n+i=-,HGN

n+1n

为常数列，5=3n%=3〃-2

LnJn

&-=2上

(2)①当〃二3左一2时，b=k当3左一2<孔<3左+1时,

nf%

〃=3及一2时，b”=〃；2砥-I_b3k_2*

怎一2Hi

kk

b3k_x=k-2,bik=k-4

2kk

:.Tk=b3+b6++^=1-4'+2-4++(k-1)-4-'+k-4,

.-.47；=l-42+2-43++("2).举T+("1).举+八4"1,

两式相减得出

A+1

23k,+14(1-4)(1-3^)-4*-4

-37；=4+42+43++4k-k-4k+1------->--k-^+i=^------------------

k1-43

(3%-1>41+4

・口=

9

k

②〃=ak+l=3k+1,bn_2==k-2

252_2-2*1=25k-2k-2k-(3k+=左[25•2*—2•(3k+1)2]

令c“=252-207+1)2,

答案第10页，共13页

n+I22

c„+1-c„=25-2-2・(3〃+4)-25•2"+2・(3〃+1)

=25-2"-6(6n+5)=d„

dn+l-dn=25-I"】一6(6"+11)—25-2"+6(6〃+5)=25・2"-36>0

・•・{4}在〃eN*上单调递增，注意到1W及W2时，dn=cn+l-cn<0,

当"23时，dn=cn+l-cn>0,AC?>。3且。3<。4<%<一

2

cn>c3=0,:0=25"-2-(3^+1)>0

25履2—2ka：+\>0.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造数列结合数列的单调性得出

&=25•2上一2.（3k+1）2>0即可得证.

19.（1）答案见解析

⑵①（-例②

【分析】（1）分。=。,“>。,“<0三种情况讨论再应用导函数正负判断函数单调性；

（2）①把恒成立问题转化为最值问题，应用导数求出函数g。）1nhi=