广东省揭阳市揭东区2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省揭阳市揭东区2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得，所以，故选：C.2.已知复数z满足，则（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】由，即，所以．故选：B．3.等差数列的前项和为，且，则（）A.63 B.45 C.49 D.56【答案】A【解析】设公差为，由可得，解得，故．故选：A.4.圆：和圆：的位置关系是（）A.外离 B.相交 C.外切 D.内含【答案】C【解析】变形为，故圆心为，半径为，变形为，故圆心为，半径为，故，由于，故两圆外切.故选：C5.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变史，最多相差一两天．”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，基本事件由（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑），（小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑），（芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）共15个，其中任取两个在同一个月的有3个，所以,故选：C6.如图，三棱锥中，为的中点，点满足，记，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】故选：D7.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，连接，，则四边形为正方形，且平面，由正八面体可知，，则，，所以，表面积，所以，故选：B.8.已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数，令，因为，所以是偶函数，其图象关于y轴对称，且在上递减，在上递增，所以的图象关于对称，且在上递减，在上递增，若使得不等式成立，则，即，解得，所以实数的取值范围是故选：B二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法中，正确的有（）A直线必过定点（2，3）B.直线在y轴上的截距为C.直线的倾斜角为60°D.点（1，3）到直线的距离为1【答案】BCD【解析】对A，直线过的定点坐标满足：，，故定点为，故A错误；对B，在轴上的截距为，故B正确；对C，直线的斜率为，故倾斜角满足，即，故C正确；对D，因为直线垂直于轴，故过作直线的垂线，垂足为，所以点到直线的距离为，故D正确.故选：BCD10.人均国内生产总值是人们了解和把握一个国家或地区的宏观经济运行状况的有效工具，即“人均GDP”，常作为发展经济学中衡量经济发展状况的指标，是最重要的宏观经济指标之一.在国家统计局的官网上可以查询到我国2013年至2022年人均国内生产总值（单位：元）的数据，如图所示，则（）A.2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增B.2013年至2022年人均国内生产总值的极差为42201C.这10年的人均国内生产总值的80%分位数是71828D.这10年的人均国内生产总值的增长量最小的是2020年【答案】ABD【解析】由图可知，2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增，A正确；2013年至2022年人均国内生产总值的极差为85698-43497=42201，B正确；因为10×80%=8，所以这10年的人均国内生产总值的80%分位数是.C不正确；由图中数据分析可知，2020年人均同内生产总值的增长为71828-70078=1750（元），是这10年中增长量最小的，D正确.故选：ABD.11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，点双曲线C右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（）A.若，则S＝B.若，则C.若为锐角三角形，则D.若的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为【答案】ACD【解析】由，得，则焦点三角形的面积公式，将代入可知，故A正确．当S＝4时，，由，可得，故B错误．当时，S＝4，当时，，因为为锐角三角形，所以，故C正确．设，则，由题设知，则，所以，故D正确．故选：ACD12.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（）A直线平面B.三棱锥的体积为定值C.异面直线AP与所成角的取值范围是D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】AB【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，，设，设，即.A：，因为，所以，而平面，所以直线平面，因此本选项结论正确；B：侧面的对角线交点为，所以，，而平面，平面，所以，而平面，所以平面，为定值，因此本选项结论正确；C：，设异面直线AP与所成角为，则有，当时，；当时，，因为，所以，因此，，即，所以，综上所述：，所以本选项结论不正确；D：设平面的法向量为，，所以有，直线与平面所成角的正弦值为：因，所以当时，有最小值，最小值为，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，因此本选项结论不正确，故选：AB三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.数列满足，则其通项公式________【答案】【解析】由题知,数列是以1为首项,3为公比的等比数列,故答案为14.已知，，且，则x的值是________．【答案】2【解析】因为，，且，所以，解得，故答案为：215.求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程___________.【答案】【解析】联立，解得，故交点坐标为，设直线方程为，将代入得，解得，故所求直线方程为.故答案为：16.已知函数（）在区间有且仅有2个零点，则的取值范围为______.【答案】【解析】,令，则在上有两个解，所以，解得故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列是递增的等差数列，，若，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和为.解：（1）数列是递增的等差数列，设公差为，因为，若，，成等比数列，可得，即，且，解得，所以，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，则，所以，即数列的前项和为.18.在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若，，求的面积．解：（1）因为，由正弦定理得，，又，所以，又，所以，故，所以.（2）由余弦定理得，所以，故．19.已知是椭圆的两个焦点，，为上一点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若为上一点，且，求的面积.解：（1）设椭圆的焦距为，因为，可得，所以，则，，由椭圆的定义可得，所以，故椭圆的标准方程为；（2）因为，所以，所以，所以.20.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，且，点分别为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）因为底面，底面，所以，因为为正方形，所以，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为，点为的中点，所以．因为，平面，所以平面，因为平面，所以．同理可得，因为，平面，所以平面．（2）如图，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，设，则各点坐标分别为．由（1）可知是平面的一个法向量，记为，又平面的一个法向量为．所以平面与平面夹角的余弦值等于．21.已知直线：，圆：.（1）若，求直线被圆截得的弦长；（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值及的方程.解：（1）时，直线的方程为，圆心到直线的距离，圆C的半径为，所以直线被圆截得的弦长为.（2）直线：可转化为由得，所以直线过定点，当圆心到直线的距离最大时，弦长最短.此时，因，，所以即，可得故的方程为.22.已知抛物线经过点.（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）设为原点，