人教版高中数学必修二同步学习讲义空间几何体的表面积与体积（第1课时）含答案

第一章空间几何体

§1.3空间几何体的表面积与体积

J

第1课时柱体、锥体、台体的表面积

【学习目标】1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法2

了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式，能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算

和解决有关实际问题.

H问题导学

知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积

思考1正方体与长方体的展开图如图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积

有何关系？

⑵

答案相等.

思考2棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等?

答案是.

梳理

图形表面积

多

多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是

面

展开图的面积

体

知识点二圆柱、圆锥、圆台的表面积

思考1圆柱O。'及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？

答案S恻=2兀〃,

Sa=2nr(r+Z).

思考2圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？

--。

答案底面周长是2口，利用扇形面积公式得

S恻=/X2r

S»=7ir2+nr/=7ir(r+Z)-

思考3圆台。0'及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？

答案如图，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周

长,

如图‘M弋,解得

尸犀不

S扇环=5大扇形—S小扇形

=3(尤+/)X2兀R—%.2兀r

=7i[(R-r)x+Rl]=7t(r+R)l,

所以S圆台侧=兀(一+尺)/，

S圆台表=兀(必+W+R/+R2).

梳理

图形表面积公式

底面积：S底=2兀-

侧面积：S侧=2兀力

表面积：5=2兀厂(>+/)

底面积：S底=兀户

侧面积：S侧=兀〃

表面积：S=Tir(r+D

上底面面积：S上底=兀r'2

下底面面积：S下底=兀/

侧面积：S侧=兀S'/+「/)

表面积：S=兀(r'？+於+r，/+〃)

2题型探究

类型一棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积

例1(1)如图所示，在斜三棱柱ABC-AiBiCi中，NBAC=90。，AB=AC^a,ZAAiB^

ZAAiCi=60°,/26。1=90。.侧棱长为6,则其侧面积为()

4Bi

小

A3^3,+2

Ar^-abB.2ab

C.(A/3~\~y/2)abD.冯4

答案C

解析斜棱柱的侧面积等于各个侧面面积之和，斜棱柱的每个侧面都是平行四边形.由题意

知斜三棱柱的底面是等腰直角三角形.；AB=AC=a,.•.BC=45a

VZAAiBi=ZAAiCi=60°,AB=AC=a,AAi=b,

**,SoACGAi=SoA53[A]=〃"sin60°=^TZ4

又・・,N5SG=90。，・・・侧面55cle为矩形，

•,S矩形叫GC—也ab,

故选C.

(2)已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边

长为6,高和下底面边长都是12,求它的侧面积.

解如图，E、昂分别是8C、SG的中点，0、。1分别是下、上底面正方形的中心，则。1。

为正四棱台的高，则。。=12.连接0£、0i£i,

则0E=%B=/x12=6,OiEi=-jAiBi=3.

过Ei作EiHLOE,垂足为“，

则EiH=OiO=12,OH=OiEi=3,

HE=OE—OiEi=6-3=3.

在RtAEiHE中，EI£2=EIH2+HE2=122+32=153,

所以EiE=3g.

所以S«=4x1x(B1Ci+BC)X£i£

=2X(6+12)X3亚=108V17.

引申探究

本例(2)中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求出棱台的侧面积吗？

解如图，将正四棱台的侧棱延长交于一点尸.

取B1G、BC的中点耳、E,则EEi的延长线必过尸点.5、。分别是正方形AiBiGA与正

方形ABC。的中心.由正棱锥的定义，CG的延长线过P点，

且有OiEi=^A\B\=3,OE=^AB=6,

则mi若有P。声=O荏iEi=不3

即PCj所以0=12.

在RtzXPOiEi中，PE?=PO彳+0i珞=122+32=153,

在RtZ\POE中，P£2=PO2+OE2=242+62=612,

所以EiE=PE—PEi=6y[Ti—3y[Ii=3y[B.

所以S创=4XTX(8C+8ICI)XEIE

=2X(12+6)X3^17=108717.

反思与感悟棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长

等构成的直角三角形(或梯形)求解.

跟踪训练1已知正三棱锥V—ABC的正视图、俯视图如图所示，其中侬=4,AC=2小,

求该三棱锥的表面积.

俯视图

解由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示,

且独=VB=VC=4,AB=BC=AC=2小,

取BC的中点。，连接VD,则VD±BC,

所以VD=\jVB2-BD2=\l42~(y[3y=ypL3,

则SAVBC=3vD-BC=3xy[Hx2\l^=y^,

SAABC=9(2小产X坐=34,

所以三棱锥V-ABC的表面积为

35AVBC+5AA5C-3-\/39+3^/3=3(^/39H—\/3).

类型二圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积

例2(1)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等.若圆柱的底面半径为r,圆柱的侧面积

为S,则圆锥的侧面积为.

姣安WJ.+W

u木2

解析设圆柱的高为/2,则2兀泌=S,・・・/z=说.

设圆锥的母线为/,・,./=炉”=4户+善.

・,•圆锥的侧面积为兀力=兀小，户+41.="兀2'

(2)圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180。，那么

圆台的表面积是.(结果中保留兀)

答案11007rcm2

解析如图所示，设圆台的上底面周长为c,

因为扇环的圆心角是180。，故C=7TSA=2TIX10,

所以SA=20,同理可得SB=40,

所以A8=SB-SA=20,

所以S表面积=S«+S±+5T

=兀⑦+ri)-AB+兀3+兀虞

=兀(10+20)X20+兀XIO?+兀X202=11007r(cm2).

故圆台的表面积为1100兀cm?.

反思与感悟解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下

底面圆的周长是展开图的弧长.

跟踪训练2(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是

()

答案A

解析设圆柱的母线长为/,兀r,r==,

271

/22兀+1

则圆柱的表面积为2兀7+/2=2危+/2=3^匕侧面积为/2,

...圆柱的表面积与侧面积的比是：

Z71271

故选A.

(2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()

A.4倍B.3倍C.巾倍D.2倍

答案D

解析设圆锥底面半径为r,由题意知母线长/=2r,则S创=〃X2r=2兀户,

类型三简单组合体的表面积

例3如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A.20兀B.247tC.28兀D.32兀

答案C

解析由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4兀，圆锥的母线长/=寸（2小y+22

=4,所以圆锥的侧面积为S锥侧=；X4兀X4=8兀，圆柱的侧面积S柱侧=4兀义4=16兀，所以组

合体的表面积S=8兀+16n+4兀=28兀，故选C.

反思与感悟求组合体的表面积，首先弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应

怎样求面积，然后根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.

跟踪训练3某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是cm2.

CK口

正视图侧视图

俯视图

答案7+也

解析其直观图如图.

由直观图可知，该几何体为一个正方体和一个三棱柱的组合体,

.•.其表面积S=6X（lXl）+2x1xiXl+lX^2=7+V2.

3当堂训练

1.圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是s,则它的侧面积是（）

s

A-B.兀SC.271sD.4兀S

71

答案B

解析：圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S,

，圆柱的母线长为小，底面圆的直径为小，

圆柱的侧面积S=K义小X小=TlS.

故选B.

2.如图，已知ABC。一AiSGDi为正方体，则正四面体。一A1BG的表面积与正方体的表面

积之比是（）

A.坐B兴C.小D.^/2

答案B

解析设正方体的棱长为1,则正方体的表面积为6,正四面体£>—的棱长为也，表面

积为4x1xV2sin60。义也=2小，.•.正四面体。一A山G的表面积与正方体的表面积之比是

当,故选B.

3.圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4,母线长为10,则圆台的侧面积为（）

A.100兀B.817tC.169兀D.14%

答案A

解析.••圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4,母线长为10,设圆台上底面的半径为

r,则下底面半径和高分别为4r和4r,由100=（4厂）2+（4厂一厂产,得厂=2,故圆台的侧面积等

于兀（r+4r）X/=7t（2+8）X10=100兀，故选A.

4.表面积为3兀的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为.

答案2

解析设圆锥的母线为/,圆锥底面半径为广，则&P+兀，=3%，nl=2nr,：.r=\,即圆锥的

底面直径为2.

5.直角三角形的两条直角边长分别为15和20,以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转

体的表面积.

解设此直角三角形为ABC,AC=20,BC^15,ACLBC,贝|AB=25.

A

过C作COLAB于点O,直角三角形绕AB所在直线旋转生成的旋转体，它的上部是圆锥(1),

它的下部是圆锥(2),两圆锥底面圆相同，其半径是OC,且OC=当”=12,圆锥(1)的侧

面积51=^X12X20=240^,圆锥(2)的侧面积$2=兀义12X15=180兀旋转体的表面积应为两

个圆锥侧面积之和，即S=51+8=420兀

L规律与方法

1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.

2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中

求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.

3.S圆柱表=2兀厂(厂+/);5圆锥表=兀厂(r+/);S圆台表=兀(户+“+R/+R2).

课时作业

一、选择题

1.如图所示，圆锥的底面半径为1,高为小，则圆锥的表面积为()

A.7iB.2兀

C.3兀D.4兀

答案c

解析设圆锥的母线长为/,则/=小不1=2,...圆锥的表面积为5=兀义1乂(1+2)=3兀

2.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32兀，则母线长为()

A.2B.2吸C.4D.8

答案C

解析圆台的轴截面如图所示，

R

由题意知，/=T（r+R）,

S圆台侧=兀（r+7?>/=兀.2/1=32兀,

3.正四棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为（）

A.6cm2cm2cm2D.3y15cm2

答案D

解析二•四棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,

上底边到上底中心的距离是3cm,下底边到下底中心的距离是1cm,

那么梯形的高，就是斜高为小+储尸杀加）,

一个梯形的面积就是；（1+2）义坐=乎（cn?）,

棱台的侧面积5=3小（cn?）.

故选D.

4.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,

侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为（）

A.80B.24g+88

C.24^2+40D.118

答案B

解析根据题意，可得该几何体是底面是边长分别为6和8的矩形且侧棱长均相等的四棱锥,

高为5。=4,如图所示，

因此，等腰三角形SAB的高SE=《西/5=尸针=5,

等腰三角形SCB的高SF=ys4+0产42+4?=4啦,

/.SASAB=SASCD=；义ABXSE=20,

SASCB=SASAD=]XCBXSF=12-^2,

:矩形4BC£＞的面积为6X8=48,

•,♦该几何体的表面积为S*=S^SAB+S^SCD+SASCB+S^SAD+SABCD=2X20+2X12A/2+48=

24^2+88.

故选B.

5.一个直角三角形的直角边分别为3与4,以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积

为（）

A.15兀B.20兀C.12兀D.15兀或20兀

答案D

解析以直角三角形的直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥，有以下两种情况：

根据圆锥的侧面积计算公式S侧面积=71rxI母线长.

①以直角边3为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S=4兀X5=20兀；

②以直角边4为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S=3兀X5=15兀.

故选D.

6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A.372B.360C.292D.280

答案B

解析由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体.

;下面长方体的表面积为8X10X2+2X8X2+10X2X2=232,上面长方体的表面积为

8X6X2+2X8X2+2X6X2=152,

又•..长方体表面积重叠一部分，

,几何体的表面积为232+152—2X6X2=360.

7.如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9兀，则该几何体的正视图中实数«

的值为（）

正看图ft!谕图

俯视图

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析设几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥，其表面积为S=2nXlXa+

7CX1X^/（V3）2+l2+7iXl2=27Cfl+37i=97t,：.a=3.

二、填空题

8.若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是

答案1:2

解析设该圆锥体的底面半径为广，母线长为/,根据题意得2无厂=应，所以/=2厂，

所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是

nr2$尸=户:^(2r)2=l:2.

故答案为1：2.

9.一个几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4,腰长为4的

等腰梯形，则该几何体的侧面积是

俯视图

答案12兀

解析由三视图知该几何体是一个圆台，其上、下底面的半径分别为2,1,母线长为4,则该

几何体的侧面积5=71（2X4+1X4）=12兀.

10.如图所示，一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面引垂线，垂足是底面中心的四棱

锥）的正方形底面的边长为4cm,高与斜高的夹角为30。，则正四棱锥的表面积为—cm2.

答案48

解析•.•该四棱锥的侧面是底边长为4cm的全等的等腰三角形，，要求侧面积，只需求等腰

三角形底边上的高即可，可构造直角三角形求解.如题图所示，正四棱锥的高、斜高、底面

边心距组成RtAPOE.

V0£=2cm,ZOPE=3Q°,

OE2

斜高PE=­in30；=Y=4(cm).

2

AS»««=4-1-BC-PE=4X1X4X4=32(cm2),

•"S表=S例+S底=32+4X4=48(cmI).

11.如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔,

则打孔后的几何体的表面积为.

答案96+6兀

解析由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的

表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S=6X42+4X2TT—2?tXI2

=96+6TI.

三、解答题

12.如图所示是某几何体的三视图，它的正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形.(长

度单位：cm)

(1)该几何体是什么图形?

(2)画出该几何体的直观图(坐标轴如图所示)，并求它的表面积.(只需作出图形，不要求写作法)

解(1)由三视图可知该几何体是三棱柱.

(2)直