陕西省某中学2024-2025学年上学期九年级期中考试数学卷（含答案）

2024-2025学年度第一学期期中考试

九年级数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题

意的）

1.下列函数中，夕是x的二次函数的是（）

A.y=6x2+1B.y=6x+]C.y=—D.y=-^-+l

xx

2.如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经

历代演变而成七巧板.下列由七巧板拼成的表情图中，是轴对称图形的为（）

3.2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成

功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面尺处的雷达测得点A到点A的距离为。千米，仰

角为夕，则此时火箭距海平面的高度/£为（）

na

A.asin，千米B.------千米C.acos，千米D.-------千米

sin。cos。

4.如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点。

表示的数是（）

试卷第1页，共6页

0P10

5.如图，△48C与ADEF位似，点。为位似中心，且ADEF的面积是△4BC面积的9倍，

则OC:OF=()

ocF

A.1:2B.1:3C.1:4D.1:9

6.若正比例函数＞=机］(他*0),＞随x的增大而减小，则二次函数y=加/+〃?的图象大致

是()

人引

~X

C1

7^|v

7.如图，四边形/BCD是菱形，CD=10,BD=16,AELBC于点E,则NE的长是()

A

C

试卷第2页，共6页

A.—B.6C.—D.12

55

8.已知二次函数歹=/—4x（-3«x<6）,当x=6时，函数取得最大值；当x=2时，函数

取得最小值，则方的取值范围是（）

A.O<Z<1B.0</<5C.1<^<5D.r>1

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.若线段〃、b、。、d是成比例线段，且。=1cm,b=2cm,c=4cm,则4=.

10.已知二次函数y=/+i的图象上有三点3（2,%）,C（-3,%）,则%，%,力

的大小关系为.

11.宽与长的比是好匚的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图,

2

把黄金矩形ABCD沿对角线/C翻折，点8落在点9处，4"交CD于点£,若=2,则0

JDC

的值为.

4

12.如图，在平面直角坐标系中，四边形N0C3为菱形，sinZAOC=~,且点/落在反比

10k

例函数歹=1上，点8落在反比例函数〉=*0）上，则左=.

13.如图，正方形中，43=2,点尸为直线4D上的动点，连接AP、CP,Q为PC

上一动点，连接8。，使NBQC=NCBP,在点P运动过程中，8。的最小值为.

试卷第3页，共6页

三、解答题（共12小题，计81分.解答要写出过程）

14.计算：一/+2cos30。一

15.解方程：x（2x+l）=8x-3

17.尺规作图，如图所小，在RtZ\/8C中，Z.C=90°,AC=2也,BC=V5,请用尺规在48

边上求作一点。，使得CD=2BD（不写作法，保留作图痕迹）

18.如图，在平行四边形/BCD中,E为8c边上的一点，连接交于点尸,4E=AB=15,

BE=2EC,求EF的长.

19.物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成.某学习小组在课外活动中制作了

A,B,C,。四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他完全相同，现放置于暗箱中摇

匀.

A.铁钉生锈B.滴水成冰C.矿石粉碎D.牛奶变质

（1）小物从四张卡片中随机抽取一张，抽中8卡片的概率是

（2）小化从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小化抽取两张卡片内容均为

化学变化的概率.

试卷第4页，共6页

20.已知关于x的一元二次方程尤2-(加-2)x+28=0.

(1)求证：无论优为何值，该方程总有两个实数根；

⑵当RtZX/BC的斜边c=2jf。，且两直角边。和6恰好是该方程的两个根，求用的值.

21.图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”.某直升飞机于空中/处探测到西安电

视塔，此时飞行高度/2=980m,如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角/E4C=37。，看

塔底。的俯角/&1。=45。，求西安电视塔的高度CD.(参考数据：sin37°=0.60,

cos37°=0.80,tan37°=0.75)

EA

B

图①图②

22.如图，直线y=履与双曲线了=-2交于a8两点，已知N点坐标为(4,3).

9

(2)将直线y=kx向上平移m(m>0)个单位长度，与双曲线>=-二在第二象限的图象交于点C,

X

与X轴交于点E,与夕轴交于点尸，若PE=PC,求加的值.

23.某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器.若购买甲种

滑动变阻器用了1600元，购买乙种用了2700元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的

1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元.

(1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；

(2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购

买多少个甲种滑动变阻器？

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24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线£：了=办2_2"-3”(.>0)与；(：轴交于4,B

两点(点/在点8的左侧)，其顶点为C,。是抛物线第四象限上一点.

(1)求线段的长；

3

(2)当。=1时，若的面积是△4BC的面积的W倍，求/BAD.

25.(1)如图1,正方形N8C。和正方形其中，G,尸三点共线，延长8G交CD

于E,连接若CE=2,DE=6,贝!Jtan/DBE=；

(2)在(1)的条件下，如图1,求当的值；

AH

(3)如图2,正方形A8CZ)和正方形88G/，P是中点，连接CP,尸恰在CP上，连接

DG、AG,若/B=3,当NG最小时，求正方形厂的边长.

试卷第6页，共6页

1.A

【分析】本题考查二次函数的定义，根据定义：形如y=a/+6x+c(aw0)的关系式叫二次

函数直接判断即可得到答案.

【详解】解：由题意可得，

AJ=6X2+1是二次函数，符合题意，

Bj=6x+1不是二次函数，不符合题意，

Cj=9不是二次函数，不符合题意，

X

D.y=?+1不是二次函数，不符合题意，

故选：A.

2.C

【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形

沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.

【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合

的图形，所以不是轴对称图形；

选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图

形；

故选：C.

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠

后可重合.

3.A

【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函

数的定义即可求解

ATAT

【详解】解：由题意得：sine=r=—

ARa

..AL=asind千米

故选：A

4.C

Y1

【分析】设尸点表示的数为X，则根据平行线分线段成比例可得解分式方程

10-x3-1

再进行检验，符合题意即可解答.

答案第1页，共19页

【详解】解：设P点表示的数为X,则根据平行线分线段成比例可得：

X_1

10-X3^T

解得x=g，

经检验，x=g是分式方程的解且符合实际意义，

即9点表示的数为

故选：C.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例和分式方程，解题的关键是根据平行线分线段成比例

列出分式方程.

5.B

【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方和位

似图形的性质得至I]-=:，AOAC^AODF,则大;=:，再根据相似三角形的性质列

\DF)9DF3

出比例式求解即可.

【详解】解：与AZ)所位似，点。为位似中心，且SEF的面积是△ABC面积的9

倍，

//—1=-,AOACsAODF

yDF)9

AC\

=一，

DF3

又AOACSAODF,

OC:OF=AC:DF=1:3,

故选；B.

6.D

【分析】本题考查了二次函数的性质、正比例函数的性质等知识，由〉=〃?x(机*0),y随x

的增大而减小，推出心<0,可知二次函数y=加/+〃?的图象的开口向下，一与》轴交于负半

轴上，由此即可判断，解题的关键是熟练掌握正比例函数以及二次函数的性质.

【详解】解：y=mx(m^Q),V随x的增大而减小，

m<0,

答案第2页，共19页

.,.二次函数y=加/+机的图象的开口向下，与y轴交于负半轴上，

故选：D.

7.C

【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得OC,进而得出/C=12,

进而根据等面积法，即可求解.

【详解】解：,••四边形45。是菱形，CD=10,BD=16,

.-.DO=-BD=8,AC1BD,BC=CD=10,AC=2CO,

2

在中，CO=NDC2-DC>2=6,

.-.AC=2OC=n,

•.,菱形ABCD的面积为；ACxBD=BCxAE,

故选：C.

8.C

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识.熟练掌握二次函数的

图象与性质是解题的关键.

由y=x2-4x=（x-2『-4,可知图象开口向上，对称轴为直线x=2,顶点坐标为（2,-4）,

当x=6时，尸12,即（6,12）关于对称轴对称的点坐标为（-2,12）,由当x=6时，函数取得

最大值；当x=2时，函数取得最小值，可得-24/-342,计算求解，然后作答即可.

【详解】解：；/=/-4工=（%-2）2-4,

・•・图象开口向上，对称轴为直线x=2,顶点坐标为（2,-4）,

当x=6时，）=12,

.•.（6,12）关于对称轴对称的点坐标为（-2,12）,

•••当x=6时，函数取得最大值；当x=2时，函数取得最小值，

**.—24t—3«2,

解得，1</<5,

故选：C.

答案第3页，共19页

9.8cm##8厘米

【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义可得出b=c：d,据此代值

计算即可.

【详解】解：••,线段。、b、c、d是成比例线段，

a：b=c：d,即1:2=4：d,

■■■d=8cm,

故答案为：8cm.

10.必＜%＜%

【分析】本题考查了二次函数的增减性.当二次项系数。＞0时，在对称轴的左边，》随x

的增大而减小，在对称轴的右边，＞随x的增大而增大；。＜。时，在对称轴的左边，?随x

的增大而增大，在对称轴的右边，＞随x的增大而减小.

由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为》轴，图象开口向上，A、&两点在对称轴右边,

y随X的增大而增大，故必＜%;A、B、C三点中，C点离对称轴最远，故力最大.

【详解】解：由二次函数了=/+i可知，对称轴为y轴，开口向上，

可知，/(1,必)，5(2,%)两点在对称轴右边，

了随x的增大而增大，由i＜2得必〈力，

A、8、。三点中，C点离对称轴最远，故力最大.

故答案为：必＜%＜%.

11.-##0.5

2

【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识

点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键.设宽，根据比例表示长，证明

△4DE咨在RM4DE中，利用勾股定理即可求得结果.

【详解】解：设宽为x,

・•・宽与长的比是叵立

2

x小+1

•••长为：

2

由折叠的性质可知，AD=BC=B'C=x,

答案第4页，共19页

在△/£>£和ACB'E中,

ZED=NAEB'

<ZD=ZB',

AD=B'C

；.AADE冬ACB'E(AAS),

AE=CE,

■■AE+DE=DC=^^x,

2

设。E=y,

在RM/DE中,

变形得：上=1,

x2

DE_T

,•拓—'，

故答案为:;.

12.32

【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点48作x轴的垂线，垂

足分别为D、E,然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得4(3,4),0A=5,再求得点

8(8,4),利用待定系数法求解即可.

【详解】解：过点42作x轴的垂线，垂足分别为。、E,如图,

5

4。_4

AO~5f

设ZD=4Q,则40=5%

答案第5页，共19页

-OD=YIOA2-AD2=3a，

.•.点4（3Q,4Q）,

,・•点4在反比例函数歹=一上,

,,,3a,4〃—12,

a=1（负值已舍），

则点/（3,4）,

*'*AD=4,OD—3,

•••OA=YIOD2+AD2=5，

•••四边形NOCB为菱形，

AB=OA=5,AB//CO,

・••点8（8,4）,

•・•点B落在反比例函数了=£（左wO）上，

.,«=4x8=32,

故答案为：32.

13.V5-l##-l+V5

【分析】连接。0,取8中点E,连接。E,BE,根据正方形的性质和勾股定理可求出

BE=5证明ABCQSAPC3,可得出能=累，等量代换得出累=黑，证明

JrDJr

△CDQsKPD,得出"。。="尸。=90。，则点0在以CD为直径的圆上运动，故当夙。、E

三点共线，且0在线段BE上时，8。最小，最小值为BE-E。，即可求解.

【详解】解：连接。。，取CD中点E,连接BE,

NBQC=NCBP,ZBCQ=ZPCB,

...ABCQS^PCB,

答案第6页，共19页

BCCQ

,,正一而，

・・•正方形力BCD中，AB=2,

：.BC=AD=AB=2,ND=/BCD=90。,

CDCQ

,•拓一而，

又ZDCQ=/PCD,

・•・ACDQ^^CPD,

.-.ZCQD=ZCDP=90°,

・••点。在以CD为直径的圆上运动，

・••当8、0、E三点共线，且0在线段BE上时，8。最小，最小值为E0,

•也为CD中点，

:.CE=；CD=1=QE,

vZBCD=90°,BC=2,

•­BE=ylBC2+CE2=V5，

:,BE-EQ=M-\,

即5。的最小值为君-1,

故答案为：V5-1.

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的概念等知识，

明确题意，添加合适辅助线，确定点。在以C。为直径的圆上运动是解题的关键.

3

14.——

2

【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值、绝对值化简及零次幕运算,

先将二次根式化简，代入特殊角的三角函数值、化简绝对值及零次幕，然后计算加减法即可，

熟练掌握运算法则是解题关键.

【详解】解：-V12+2cos30o-|V3-2|+2-1

万1

=-2V3+2x-(2-V3)+-

22

=-2A/3+V3-2+V3+-

2

答案第7页，共19页

_3

--2,

1。

15.再=5，%2=3

【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】解：去括号，得：2X2+X=8X-3

移项，得：2X2+X-8X+3=0

合并同类项，得：2X2-7X+3=0

所以(2x-l)(x+3)=0

所以2x7=0或x-3=0

所以再=：,无2=3.

,x+2

16.——

%+3

【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算.原式括号中两项通分并利用同分母分式的减

法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可.

x+3

【详解】解:

x2+4%+4

2xx+2x+3

(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)_(x+2)2

x-2(x+2)2

(x+2)(x-2)x+3

_x+2

x+3

17.见解析

【分析】此题考查相似三角形的性质和判定，尺规作一个角等于已知角，解题的关键是掌握

以上知识点.

作NCBD=/A,根据题意证明出A/CBSACD8,得到江="=茎=2,进而推出

BCBDJ5

CD=2BD.

【详解】解：如图所示，点。即为所求.

答案第8页，共19页

c

-ZACB=90°,

・•・//+/5=90。

・・・/CBD+/B=90。

・•・ZCDB=90°=Z.ACB

又•・•ZCBD=ZA

MACBS八CDB

ACBC

,•布一茄’

ACCD2A/5

=N

,,=I——乙

BCBD

■.CD=2BD.

18.6

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练

掌握三角形相似的判定，证明aBE尸厂.

RF2

根据四边形/BCD为平行四边形，得出8。=/。，AD//BC,由5£=2EC可求出京;=彳,

AD3

EFBE2

证明尸，得出==结合/£=15即可求解.

AFAD3

【详解】解：•••四边形458为平行四边形，

BC=AD,AD//BC,

•・•BE=2EC,

BEBE_BE2

AD~BC~BE+CE~39

•・•AD//BC,

•••△BEFSADAF,

EFBE_2

"AF~AD~3f

•・•AE=AF+EF=15,

答案第9页，共19页

:.EF=-^—AE=6.

2+3

19.⑴：

1

⑵%

【分析】本题考查简单的概率计算，列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式和正确的列

出表格或画出树状图是解题关键.

(1)直接利用概率公式计算即可；

(2)根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出抽取两张卡片内容

均为化学变化的结果，最后根据概率公式计算即可.

【详解】(1)解：小物从四张卡片中随机抽取一张，抽中c卡片的概率是3.

故答案为：；；

(2)解：根据题意可列表格如下，

ABcD

A(48)(4C)(a。)

B(B,A)(B©(BQ)

C(")S)(c,0)

D(。，㈤(")(“)

根据表格可知共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种,

・•・抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为弓2=：1.

126

20.⑴见解析

⑵加=10

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，解题的关键是

掌握相关知识.

(1)根据A20即可证明无论加取什么实数值，该方程总有两个的实数根；

(2)根据勾股定理及根与系数的关系列出关于机的方程，解出加即可得出答案.

答案第10页，共19页

【详解】(1)解：•.・关于X的一元二次方程/-("7-2b+2加-8=0,

A=[-(m-2)]2-4xl-(2m-8)

=m2-4机+4-8机+32

=m2—12m+36

=(加一6)一，

，无论m为何值，(zw-6)2>0,

A>0,

...无论心为何值，该方程总有两个实数根；

(2)解:：。和6恰好是方程加-2)x+2加-8=0的两个根，

:.a+b=m-2,ab=2m-8,

・・・△45C是直角三角形，斜边为c=2而，

222

a+b=c,

.•.(a+bj-lab=c2,

・•・(加一2『一2(2加—8)=40,

整理，得加2—8加-20=0,

解得加i=10,m2=-2,

又:加=一2时，〃+6=—2—2=—4<0,不符合题意舍去，

加=10.

21.西安电视塔的高度C。约为245m.

【分析】本题考查了解直角三角形的应用.先解RtAG/。得到

AG=———=OG=980m,再解RtZkG/C,CG=AG-tanAEAC=980x0.75=735m,

tanZEAD

即可求解CD.

【详解】解：延长。C交/E于点G,由题意得AB=DG=980m,ZDGA=90°,

答案第11页，共19页

在RSG/。中，AEAD=45°,

...AG=———=DG=980m

tanZEAD

在RtZ\G/C中，NE4C=37。，

CG=AG-tanZEAC=980x0.75=735m,

：.CD=DG-CG=980-735=245m,

答：西安电视塔的高度C。约为245m.

22.(1)。=一3,k=-\

(2)m=|V2

【分析】(D直接把点/的坐标代入反比例函数解析式，求出。，然后利用待定系数法即可

求得k的值；

(2)根据直线v=-尤向上平移加个单位长度，可得直线CD解析式为了=-工+加，根据三角

形全等的判定和性质即可得到结论.

【详解】(1)解：.・•点/在反比例函数图象上，

9

-**3=—,解得a=-3,

a

将Z(-3,3)代入y=kx,得3=-34,

ZFCP=ZOEP,ZCFP=ZEOP,

答案第12页，共19页

•：PE=PC,

.•.△C即四△EOP（AAS）,

:.CF=OE,OP=PF,

,・,直线＞=-x向上平移m个单位长度得到y=~x+m9

令1=0,得＞=加,令V=0,得工=根,

「.£（加,0）,P（0,m）,

CF=OE=m,OP=PF=m,

9

・•・双曲线》=——过点C,

x

-m・2m=-9,

解得〃?=:也或一:血（舍去），

22

3

tn——.

2

【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角

形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确

表示点C的坐标是解题的关键.

23.（1）甲种滑动变阻器的单价是24元，乙种滑动变阻器的单价是30元；

（2）该校最少购买167个甲种滑动变阻器.

【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；

（1）设甲种滑动变阻器的单价是x元，则乙种滑动变阻器的单价是（x+6）元，乙种书的单

价是V元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1600元，购买乙种用了2700元，购买的乙种滑

动变阻器的数量是甲种的L5倍”，可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；

（2）设购买甲种滑动变阻器加个，则购买乙种滑动变阻器（100-加）个，利用总价=单价x

数量，结合总费用不超过5000元，可得出关于加的一元一次不等式，解之取其中的最小整

数值，即可得出结论.

【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价是x元，则乙种滑动变阻器的单价是（x+6）元,

根据题意得:幽“x幽

x+6x

答案第13页，共19页

解得：x=24.

经检验，x=24是所列方程的根，且符合题意.

.•.x+6=24+6=30(元)

答：甲种滑动变阻器的单价是24元，乙种滑动变阻器的单价是30元；

(2)解:设购买甲种滑动变阻器个，则购买乙种滑动变阻器(100-机)个.

根据题意得：24m+30(100-m)<5000.

500

解得：m>—.

■■-m为整数，

-.m的最小值为167,

答：该校最少购买167个甲种滑动变阻器.

24.(1)4

(2)/8/。=45。

【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，等腰三角形的性质等知识,

解题的关键是：

(1)先求出/、3的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可；

(2)先求出顶点C的坐标，然后根据三角形面积公式和已知可求出点。的纵坐标，进而求

出点。的坐标，过。作于E,得DE=AE=3,然后根据等边对等角和三角形内角

和定理求解即可.

【详解】(1)解：令>=。，则ax2-2ax-3a=0,

解得占=-1,x2=3,

.•.4(TO),8(3,0),

J5=3-(-l)=4；

(2)解：当a=l时，j=x2-2x-3=(x-1)2-4,

•,・顶点C的坐标为(1,-4),

,,,3,

"Z^ABD的面积是t\ABC的面积的—倍，

答案第14页，共19页

二|力|=3,

■-D是抛物线第四象限上一点，

•1•丹=-3，

把％=-3代入y=(x-l)2-4,得一3=(x-l『-4,

解得玉=2,X2=Q(舍去),

过。作NE_L于E,

:.DE=3,AE=3,

DE=AE,

180。一/AED

ZDAE=ZADE=45°

2

即ZBAD=45°.

33

25.(1)—；(2)y[2;(3)—

【分析】(1)过£作瓦11,助于根据正方形的性质和勾股定理可求/CDS=45。，

BD=8亚,判断△〃出是等腰直角三角形，则可求DA/=EW=3近，然后根据正切的定义

求解即可；

(2)根据正方形的性质，余角的定义可得出N43H=®G=45。-®",空=竺=?，

ADBG2

然后证明即可求解；

(3)连接/〃、连接BG,,同(2)可证A/BHSAQBG,得出NB4H=NBDG,证明

AABH知CBF,得出NB4H=NBCF=NBDG,则可判断点G在定直线。G上运动，故当

/GLOG时，/G最小，设直线。G与43相交于过M作儿于N,根据正切定

答案第15页，共19页

义可得tan4BCF=tanNBDG,即黑=g=±,设九W=x,贝”DN=2x,判断ABNM是等腰

DNBC2

直角三角形，得出BN=MN=x,则可求的V=8N=后，BM=2,AM=\,DM=回,

根据等面积法求出G