上海市某中学2024-2025学年高二年级上册期中考试数学试卷

上海市川沙中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.正四棱柱的底面边长为2,高为3,则它的体积为

2.如图，已知长方体4BCQ一4AG2的棱长/4=3cm,48=4cm，则点4到棱8c的距

离是cm

3.已知根〃［，"ua，则直线机、〃的位置关系为（填平行、相交、异面）

4.如图，三棱柱48c中，若B==R西=3,则还=------（用瓦石忑表

示）

5.如图，A0/2'是水平放置的△045的斜二测直观图，若OW=3,OB'=4,则△0/8

试卷第11页，共33页

6.已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为—

7.如图，在三棱柱-44G中，尸为44中点，记三棱锥尸-ABC的体积为匕，三棱

柱/8C-44G的体积为匕，则匕=

8.如图，在棱长为1的正方体/BCD一44C■中，点尸在截面却必上，则线段"的最小

9.在正方体48co-4[gCQi各个表面的对角线所在直线中，与直线42异面的直线有"

条，贝L?=___

10.如图为一几何体的展开图，其中/BCD是正方形，SD=PD,CR=CS，4Q=4P,点

S,D,A,Q及P,D,C,R共线，沿图中虚线将它们折叠，使尸，Q,R,S四点重合于

试卷第21页，共33页

点M,在该几何体的侧面和底面中，与平面垂直的平面的个数为

C

Q

11.正四棱锥8co的底面边长为分高为3,E是边8c的中点，尸在正四棱锥的表面

上运动，并且总保持产后工/c，则动点尸的轨迹的周长为

12.如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，

2是“上一点，且/8=5公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从力绕山一周到8的

观光铁路，这条铁路从/出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为公里

二、单选题

13.下列命题是假命题的是（）

A.棱柱的所有侧面都是平行四边形

B.将矩形/8CD绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆柱;

C.正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心；

试卷第31页，共33页

D.将直角三角形/QB绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆锥.

14.设/，加/均为直线，其中加，"在平面a内，“/1a”是“/1m且/

!〃”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

15.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且48//CZ），正方体的六个

面所在的平面与直线CE,即相交的平面个数分别记为加，"，则加+"的值为（）

A.7B.8C.9D.10

16.空间内有三条直线，其中任意两条都不共面但相互垂直，直线/与这三条直线所成角

均为。，则。的值为（）

Carcsin".V6

AB.arcsin—D.arcsin——

-7333

三、解答题

17.如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成.其中

圆柱的高为4米，球的半径一为1米.

试卷第41页，共33页

(2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为20

元，半球形部分每平方米建造费用为30元.求该浮球的建造费用(精确到1元).

18.如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将

其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体，Op02&分别为/8、的中点,

尸为弧的中点，G为弧3c的中点，

(1)求直线GO'2与平面BCDE所成角的大小

(2)求异面直线AF与GO,2所成角的大小

19.如图，三棱锥/BCD中，AB1^BCD,BC1CD.

(D求证：4C_LCD

⑵若三棱锥"一8co的体积为L'八⑦小，有一根彩带经过面,8C与面且彩

6

带的两个端点分别固定在点2和点。处，求彩带长度的最小值.

20.一组空间向量记可二[+[+«；+•••+】，如果存在

试卷第51页，共33页

。小{1,2,3,-・,"}),使得同2瓦一心，那么称或是该向量组的“方向量”.

⑴已知吊=(0,5,4)，Z=(l,0,3)，Z=(5,f,0)，若Z是向量组鼠ZW的''“向量"，求实数f

的取值范围；

(2)四面体PN8C内接于以。为球心，1为半径的球，且3.况+4•赤+5-反=6，

⑴记，=E，3=痂,[=反，向量组成高工中是否存在“〃向量”，若有，指出哪个

是“人向量”并证明；若没有，请说明理由.

(ii)求四面体尸4gc体积的最大值.

21.如图所示，已知三棱柱NBC-44cl的侧棱与底面垂直，AAt=AB=AC=l>

/2_L/C,又是CG的中点，N是3c的中点，动点P在直线上，且满足乖=力4万.

(1)指出直线与平面2G尸的位置关系(不需说明理由)

(2)设直线期与平面尸所成的角为0,求。的取值范围

(3)设平面尸的与平面43C所成的锐二面角的大小为。，求cos。的最大值，并求相应的;I

的值

试卷第61页，共33页

参考答案:

题号13141516

答案DADD

1.12

【分析】由棱柱体积公式直接计算可得.

【详解】由题知，正四棱柱的底面面积为2x2=4'

所以，正四棱柱的体积为4x3=12，

故答案为：12

2.5

【分析】根据长方体的性质，结合线面垂直性质以及点线距离定义，可得答案.

【详解】连结/田，如图：

在长方体ABCD-中,由8CJ_平面ABBtAt>A,Bu平面ABB、4，

所以//J.8C，则点4到棱3C的距离是ZR，

222

在矩形4叫4中，AtB=^AB+AA^=A/3+4=5.

故答案为：5

3.平行或异面

【分析】利用线面平行的定义直接判断即可.

【详解】由〃7//£，得直线加与平面a无公共点，而〃ua

答案第11页，共22页

因此直线加，“没有公共点，所以直线加、〃的位置关系为平行或异面.

故答案为：平行或异面

4'11

b-a-c

【分析】根据空间向量的线性运算求解.

【详解】由题意福=万一直=在一石一西=办一〃一"，

故答案为：b'_'a_'c.

5.12

【分析】根据斜二测画法，将直观图还原可知原三角形为直角三角形，求出两直角边的长

度，即可得出答案.

如图，根据斜二测画法，将直观图还原后，得到的v/03为直角三角形，

且两条直角边。8=。'8'=4，OA=20,A=6'

所以，△04,的面积为S='x4x6=12.

2

故答案为：12.

6.V3

【分析】由题意可知圆锥的母线长为2,根据圆锥侧面展开图的弧长为圆锥的底面圆的周

长，可求得底面圆的半径，进而求得圆锥的高.

答案第21页，共22页

【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为/，高为〃，

有题意知/二2，2兀加，解得尸=1,

所以〃="^7=行

故答案为：

7.-

6

【分析】利用棱锥、棱柱的体积公式求匕、匕，即可得结果.

【详解】令S"BC=S，棱柱的高为人

由题意匕=’x".S=M,V2=Sh,

326

所以匕=L

匕6

故答案为：-

6

8.@

3

【分析】由已知可得/£_L平面，可得尸为NG与截面NQB的垂足时线段/尸最小,

然后利用等积法求解.

【详解】如图，

答案第31页，共22页

连接/C]交截面于P，由CC]_L底面，可得CC]_LAD，

又ACLBD,可得8DJ.平面ZCG，则ZCJ2。，

同理可得/GJL43，得到/C1_L平面4D8，此时线段/P最小，

由棱长为1,可得等边三角形/QB的边长为近，

°_]nV6_V3

SADB=-xV2x=—

：222

•.•〃一加二%4叫.•，/xixlxl=L"x/P，解得在="，

32323

故答案为1.

3

【点睛】本题主要考查点、线、面间的距离的求法，利用了等积法求距离，属于中档题.

9.5

【分析】由异面直线的性质结合图形观察可得.

【详解】观察可得，与直线/q异面的直线有823c，4G，4B,OG，共5条，

所以〃=5・

故答案为：5.

10.3

【分析】根据给定的侧面展开图及信息，还原该几何体，再借助面面垂直的判定即可得解.

【详解】依题意，直线4D_LCD,点S,0e直线4D,点尸,Re直线CD,

答案第41页，共22页

在几何体48co中，D4,£>C,DW■两两垂直，而NOcMO=u平面，

则CD_L平面M4ZT又CZ)u平面48ap因此平面48co1平面M4ZT

又CDu平面MCZT因此平面MCO_L平面脑1ZT

而AB//CD'则N8_L平面K4ZT又48u平面因此平面_L平面M4D，

令平面M4Dc平面由8C//N。，8ctz平面跖1ZT4Du平面M4。，

得3C//平面MID，而BCu平面M5C，于是///3C//4D，同理ND_L平面MCD，

贝U/_L平面MCD，Affl,MCu平面MCD，贝！1/_LMD,/_LMC,NCW是平面MID与平面

MBC的夹角,

而/CMD是锐角，因此平面M4D与平面MBC不垂直，

所以与平面垂直的平面个数为3.

故答案为：3

ILV17+2V2/2V2+V17

【分析】利用正四棱锥的特征及线面垂直的判定计算即可.

【详解】

答案第51页，共22页

C

A

设s在底面的投影为O,由正四棱锥的特征知。亦为NC,8。的交点,

取SC,CD的中点G，，

设由中位线的性质可知£尸//8£），

显然正方形A8CD中£F_L/C，H为OC的中点，

所以G/7//SO，所以G，_L底面48czT

而NCu底面/3Cr>，所以G〃_L/C，

又EFCGH=H,EF、6〃<=平面£尸6，

所以/C_L平面EFG，即动点尸在AEFG的三条边上，

根据正四棱锥S一/88的底面边长为分高为3，

可知G£=GF=LS3=LXJS02+0B2=^，EF=^-BD=2y/2,

2222

所以P的轨迹的周长为小+2血.

故答案为：717+272

答案第61页，共22页

12.9

【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线,

最后解三角形得结果.

【详解】沿母线”将圆锥的侧面展开，如图：

记尸为©8上的任意一点，作垂足为//，连接sp，

因为切的长为.所以等可

由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的H8，

易知的=20-5=15，所以48=北记与7=亚港石手=25，

上坡即尸到山顶S的距离PS越来越小，下坡即尸到山顶s的距离PS越来越大，

...下坡段的铁路，即图中的A*,

,Rt^SA'B-Rt^HSBSB2152

因my为，所以/ffi=*_=V_=9.

A'B25

故答案为：9

13.D

【分析】由棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥的定义逐一判断可得选项.

【详解】解：对于A：由棱柱的定义得棱柱的所有侧面都是平行四边形，故A正确；

对于B：由圆柱的定义得将矩形N8CD绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆柱，故

答案第71页，共22页

B正确；

对于C：由正棱锥的定义得正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心，故C正确;

对于D：将直角三角形NOB绕其斜边旋转一周所形成的几何体不是圆锥，故D不正确，

所以假命题的是D选项，

故选：D.

14.A

【详解】设/，见〃均为直线，其中阳〃在平面a内，“I1a”，则“/1m

且/1反之若“/1m且/1〃"，当m//n时，推不出“/1a”，；.

“I1a”是“/_Lm且/_L””的充分不必要条件，选A.

15.D

【分析】根据直线与平面的位置关系判断.

【详解】由正四面体性质知CE与正方体的六个面都是不平行，因此加=6，

而正四面体中环与8垂直（证明如下），此

因此跖与正方体的左右两个面平行，不相交，但与另外四个面都相交，n=4,

所以加+“=10'

故选：D.

下面证明斯1CD：

取CD中点G，连接EG,FG，因为EC=ED=FC=FD,

所以EG_LCD,FG_LCD，

又EGf]FG=G，EG,尸Gu平面EFG，所以CD平面EFG，

又因为EFu平面E尸G，所以CD_L£7【

答案第81页，共22页

16.D

【分析】将题设三条直线置于正方体内，结合正方体的结构特征确定直线/为体对角线,

进而找到。的对应角，即可求其大小.

【详解】令空间中三条符合题设的直线分别为4用,BC，如下图正方体所示,

又DDJICC\,A\BJIDC，故直线/与。2,2C夹角，即为与C。,DC,8c夹角，

根据正方体的结构特征，易知其中体对角线eq与CG，OC,8c的夹角相等,

若£为8。的中点，连接EG与C4交于E，其中。一8。£为正三棱锥且尸为底面中心，

所以。/_1_面80。］,尸Gu面ADG，则CFJ■尸G，且与eq的夹角为ZFCC1或其补

角，

令正方体棱长为2,则BD=BG=DG=24i,可得bc=2x2亚x<!=亚，

1323

所以sin。=sinZFCCX='故。=arcsin^--

1

CCX33

答案第91页，共22页

故选：D

17.⑴17

m3

（2）880元

【分析】（1）根据圆柱、球的体积计算公式即可求出几何体体积；

（2）根据圆柱、球的表面积计算公式即可求出整个几何体表面积，从而得到建造费用.

【详解】（1）由题意得，“浮球”可看成是由一个圆柱体和一个球体组成，

圆柱体底面半径为1,高为4,故体积为匕=兀1囱=4m3'

球体体积K=—7T7C3=—m,

33

所以“浮球”的体积%=匕+匕=等"1711?.

（2）由题意得，圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积，

Sx=2jirl=8K，故建造费用为8兀x20=160兀兀，

球形部分表面积为=4兀4元=，

故建造费用为47tx30=120兀元，

所以整个“浮球”的建造费用为160兀+120兀=280兀。880元-

18.（1）arctan—

2

arccos-----

10

【分析】（1）根据垂直关系，以及线面角的定义，作出线面角，即可求解；

（2）根据平行关系，转化异面直线所成的角为相交直线所成的角，即可求解.

【详解】（1）由条件可知，平面平面5GC，且平面BCZJEc平面BGC=8C，

答案第101页，共22页

因为点G是弧5c的中点，所以GOZLBC，

所以GO2，平面5cDE，

所以直线GO；与平面BCDE所成角为NGO；Q'

（2）连结GC，CO；，

因为点尸,G分别是弧的中点,

所以N4FB=/GC8=45°，所以4FV/GC，

所以异面直线AF与GO'2所成角为GO；与GC所成角，即NO；GC或其补角，

2222

O'2G=&C=V2+l=5GC=Vl+1=V2'

所以cosNO；GC=§+尸Vio

2xV5xV2IT

所以异面直线AF与G0'2所成角为arccos巫•

10

19.（1）证明见解析.

（2）彩带长度的最小值为

答案第111页，共22页

【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理证明‘co,然后利用线面垂直判定定理证

明CD_L平面4BC，最后利用线面垂直性质定理证明/C_LCD即可，

（2）先利用三棱锥体积计算出/8=i，然后将两个三角形放入同一平面，利用两点间线段

最短得到彩带最短时的情况，然后利用两个三角形的图像和余弦定理计算即可.

【详解】（1）由题可知，平面BCZHCDu平面2c所以

因为BC_LCD,ABnBCuB'BCu平面A8C，/Bu平面ABC，

所以CD_L平面48C，显然NCu平面NBC，

所以HC_LCD；

-x-x|5C|x|CZ)|xU5|=-,18cl=|CD|=1,

（2）由题可知，

326

所以|第=1，

如图，将三角形/go与三角形/CD放在同一平面，

CD

47r

显然48CD=—，

4

所以当彩带长度最小时为图中RD，

DD

答案第121页，共22页

由余弦定理可知，\Bb\=|sc|2+|CD|2-2\BC^CD\cosy=2+V2,

所以此=12+厅

2°・⑴（一oo,一5也）U（5行,+oo）；

⑵⑴存在，［和工；

2

（ii）--

5

【分析】（1）根据题干信息求出及，再代入题干关系得到不等式，解得，的取值范围；

（2）（i）由3.9+4.赤+5・反=0结合向量的运算可得方,赤，且43,C,O在同一平

面内，随之将问题转化为平面向量的问题，再依次分析,，二彳哪个满足“人向量”的定义•

（ii）由（i）可知v/8c过球心0，且面积为定值，所以当OP_L平面/Be时，四面体

PABC体积取得最大值.

【详解】（1）由题意得,/=（6J+5,7”国-1=（1,5,7），

又因为［是向量组TZ,工的“〃向量”，

所以卜邓3一的|,即正+白。正+52+72

Of2250，解得fV-5应或出5及，

故/的取值范围为（_00,一5五）U（5亚,+00）-

（2）（i）由题意得，因为四面体P48C内接于球。，所以面上区目工口，

答案第131页，共22页

因为常+逋+5工=6,所以辐+德=-5工，

两边同时平方得9④2+16区)2+2瓯W=25④2，

因为④2=|.『，④2=区,，④2=国2,

所以可得14=°'即I，％，04108'且4民。,。在同一平面内•

如图所示，

CII

以0为原点，0AoB分别为X,y轴建立平面直角坐标系，

则4(1,0)，8(0,1)，［=(1,0)，^=(0,1),

代入3%+4。2+5%=°得同=(-2,j)，

于是可得初=1漏小区+小«。-岂+(1-3=萼

—————I3~>2T722亚

\a21=1>|S3-a21=|«,+a31=^(l--)+(0--)=-

所以由“〃向量”的定义，--成都是叮向量

(ii)由(i)得，OA^OB^且48,C,O在同一平面内,

答案第141页，共22页

所以VN2C在过球心°的截面上，

又3•况+4.砺+5.反=6，3屈+5灰=-4砺，

-.-334

两边平方可得，OAOC=一一，BPcosZAOC=一一，sin//OC=—,

555

同理4O3+5.0C=-3CM,两边平方可得历=—J

5

43

即cosN5OC=-一，sinZBOC=-,

55

于是S.4BC=S./(»+S“OC+SABOC

=||O4|-1OS|+|Ift4|.|0C|-sinZ^OC+|IOSHOC|-sinZJBOC=1.

所以当OP_L平面48C时，四面体尸/a。体积取得最大值，

止匕时％Bc=；SMB"O门=；xgxl=|.

【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：

(1)找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；

(2)由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言;

(3)将已知条件代入新定义的要素中；

(4)结合数学知识进行解答.

21.(1)JW与平面5G尸共面或小〃平面5Gp

(2)(0,arcsin

⑶如；-2

3

答案第151页，共22页

【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可说明直线"N与平面的位

置关系；

（2）如图，以A为原点，以所在直线为x轴，V轴，z轴建立空间直角坐标系,

由题意得平面48尸的法向量为/=（0,],0）,贝！1

sin。

,利用二次函数的性质求出的范围，继

而即可求出。的取值范围；

（3）根据空间向量的坐标运算表示出二面夹角的余弦值，利用换元法及二次函数的性质求

出最值即可.

【详解】（1）当点尸与81重合时，与平面2。1尸共面，

当点P不与81重合时，

Ai

因为分别