中考数学专项复习：整式乘法（知识串讲+11大考点）（解析版）

专题02整式乘法

考点类型

考点1：计算单项式乘单项式

考点7：整式乘法一错看问题

考点2：用科学计数法表示乘法

14.1整式乘法考点9：整式乘法一图形面积问题

考点4：计算多项式乘多项式

考点10：整式乘法一新定义问题

考点5：整式乘法一求字母、代数式的值

考点11：整式乘法一四则混合运算

考点6：整式乘法一化简求值

知识串讲

(-)整式乘法

(1)单项式X单项式

单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数哥分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含

有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

单项式乘法易错点:

单项式乘法概念易错点

系数相乘先确定积的符号，再计算积的绝对值

同底数基相乘底数不变，指数相加。

只在一个单项式含有的字母，连同它的指相乘结果数据遗漏

数作为积的一个因式(出现字母照抄，避免遗漏数据)

(2)单项式义多项式

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加

【单项式乘以多项式注意事项】

①单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。

②单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。(同号相乘得正，异号相乘得负)

③不要出现漏乘现象，运算要有顺序。

(3)多项式X多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.

【多项式乘以多项式注意事项】

多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包

括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。

今考点训练

考点1:计算单项式义单项式

典例1:(2023年陕西省中考数学试卷(A卷))计算：6盯2.(—紧3y3)=()

A.3%4y5B.—3%4y5C.3%3y6D.—3%3y6

【答案】B

【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可.

【详解】解：6xy2•(—|x3y3)

1

=6x(―-)x1+3y2+3

=—3x4y5.

故选：B.

【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

【变式1](2023春・广西贵港•七年级统考期末)计算：(一3%2).(2%尸的结果是()

A.—6x5B.—24x5C.—18%6D.—6x6

【答案】B

【分析】直接根据积的乘方运算和单项式乘以单项式运算法则计算即可得出答案.

【详解】解：(_37).(2%)3

=(—3x2)X8%3

=—24%5.

故选：B.

【点睛】本题考查了积的乘方运算和单项式乘以单项式，熟知运算法则是解题的关键.

【变式2](2023•河北衡水•校联考二模)数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5

个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是()

(1)(—a3)2=(—a2)3(x)

(2)a3—a2=a(x)

(3)a64-dz=a3(x)

(4)3a2—(—a2)—2a2(V)

(5)a4.a2=a8(x)

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】B

【分析】利用同底数幕的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幕的乘法的法则，积的乘方的法则对各

项进行运算即可.

【详解】解：(1)(-a3)2=-(-a2)3,故(1)判断正确；

(2)与一。2不属于同类项，不能合并，故(2)判断正确；

(3)a6H-a2=a4,故(3)判断正确；

(4)3a2—(―a2)=4a2,故(4)判断错误；

(5)a4a2=a6,故(5)判断正确；

则判断正确的有4个.

故选：B.

【点睛】本题主要考查同底数幕的除法，合并同类项，积的乘方，同底数基的乘法，解答的关键是对相应

的运算法则的掌握.

【变式3](2023•陕西西安•西安市庆安初级中学校联考模拟预测)计算：—3k(2x2yf=()

A.24x7y3B.—6x7y3C.—24x6y3D.—24x7y3

【答案】D

【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可.

【详解】解：—3“(2x2y『

=—3%-8久6y3

=—24%7y3,

故选：D.

【点睛】本题考查的是积的乘方及单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别

相乘.

考点2:用科学计数法表示乘法

典例2：（2023春•黑龙江大庆•九年级校考阶段练习）光在真空中的速度约为3xlO8m/s,太阳光照射到地

球上大约需要5X102s.地球距离太阳大约有多远？（）

A.15X1011B.1.5X1011C.15X1016D.1.5X1016

【答案】B

【分析】直接利用有理数的乘法结合科学记数法表示方法得出答案.

【详解】解：由题意可得，地球与太阳的距离大约是：3x108x5x102=1.5x1011（m）.

故选：B

【点睛】此题主要考查了科学记数法以及有理数乘法，正确掌握运算法则是解题关键.

【变式1］（2023春・全国•七年级专题练习）国家速滑馆位于北京奥林匹克公园规划范围内，是北京2022年

冬奥会标志性场馆.主场馆外观大致呈椭圆形，有着一个很好听的名字一一“冰丝带"，其南北长约240米,

东西宽约174米，建筑高度为33.8米，总座席12058席，"冰丝带"以约12000平方米的冰面成为亚洲之

最.建成后将与国家体育场"鸟巢"、国家游泳中心“水立方"共同组成北京这座世界首个“双奥之城"的标志性

建筑群.将12000用科学记数法表示应为（）

A.1.2xl06B.0.12X105C.1.2xl04D.1.2xl03

【答案】C

【分析】用科学记数法表示较大的数即把一个数写成ax10兀的形式，其中1<|a|<10,n是原数的整数位

数减1,用这两个条件逐一对比，排除错误项，选出正确选项.

【详解】科学记数法的形式是ax10”,其中1<|a|<10,n是原数的整数位数减1,对于12000用科学记数

法表示时a=1.2,n=5-l=4,即1.2X103而A选项n=6,故错误；B选项a=0.12,n=5,故错误；C选项

a=1.2,n=4,故正确；D选项n=3,故错误.

故选：C.

【点睛】本题考查较大数（绝对值）用科学记数法表示.科学记数法是把原数写成形如ax10'的形式，其

中的a是一位整数的数，n是整数位数减1,找准a、n是关键.

【变式2】（2023春•浙江,七年级专题练习）2021年5月22日，我国始发的火星车"祝融号"安全到达火星表

面.到目前已经获取约10G3原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球

的时间为21分20秒，已知光速约为3X108米/秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是（）

A.3.84X1011米B.3.84x108米c3.784XIO11米D.3.784X1。8米

【答案】A

【分析】用光速乘时间，计算后再根据科学记数法的形式为“10〃的形式，其中〃为整数解

答.

【详解】解：21分20秒=1280秒，

3X108X1280

=3.84x1011（米），

故选：A.

【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定。与〃值是关键.

【变式3］（2022•湖北随州•统考中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，

将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站.已知中国空间站绕地球运行的速度约为7.7X103m/

s,则中国空间站绕地球运行2xl02s走过的路程（m）用科学记数法可表示为（）

A.15.4X105B.1.54X106C.15.4X106D.1.54X107

【答案】B

【分析】先求出路程，再用科学记数法表示为aX10"的形式.

【详解】解：路程=7.7X103x2x102=15.4X105=1.54x106m.

故选：B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.科学记数法的表示

形式为。义10〃的形式，其中:LW|a|<10,〃为整数.

考点3：计算单项式X多项式

典例3：计算：—5xy（2y+x—8）=—10盯2-5*2丫+口，口表示（）

A.—40xyB.—SxyC.-8D.4Oxy

【答案】D

【分析】运用单项式乘以多项式法则展开，再根据对应项相等，即可求解.

【详解】解：—5xy（2y+%—8）=—10xy2—5x2y+40xy,

=4Oxy,

故选：D.

【点睛】本题考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式法则是解题的关键.

【变式1](2023春•河北石家庄•七年级校考阶段练习)若规定小㊉几=nrn(zn—①，贝ij(a+b)9a=()

A.a2b+ab2B.2a2b—b3C.2ab2—b3D.a^b—ab2

【答案】A

【分析】根据定义新运算的规则，进行计算即可.

【详解】解：由题意，得：(a+b)㊉a=a(a+b)(a+b—a)=ab(a+6)=a2/,+(2炉；

故选A.

【点睛】本题考查定义新运算，单项式乘多项式.理解并掌握规定的新运算法则，是解题的关键.

【变式2](2021秋•广东江门,八年级台山市新宁中学校考期中)对于任意有理数a,b,现有"*"定义一种运

算：a*b=b2—2ab,根据这个定义，代数式(久—y)*y可以化简为()

A.2y2—xyB.3y2+2xyC.y2—2xyD.3y2—2xy

【答案】D

【分析】由题目中给出的运算方法，即可推出原式=必—2y(x—y),通过计算即可推出结果.

【详解】解：•.・a*b=b2-2ab,

••­(%-y)*y=y2-2yo-y)

=y2—2xy+2y2

—3y2—2xy,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了整式的运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律.

【变式3](2023春•河南平顶山•七年级校考阶段练习)己知a+b=m,ab=n,化简(a-2)(6—2)的结果是

()

A.〃+4B.77-4C.z?-2m+4D.n-m-A

【答案】C

【分析】先按照整式乘法法则运算可得ab—2a—2b+4,再加括号可得ab—2(a+b)+4,最后将a+b=m

,ab=n整体代入即可解答.

【详解】解：(a-2)(b-2),

=ab—2a—2b+4,

=ab—2(a+b)+4,

=n-2m+4.

故选C.

【点睛】本题主要考查了代数式求值、整式的乘法等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键.

考点4：计算多项式X多项式

典例4：（2023春•浙江嘉兴•七年级校联考期中）计算（a+3b）（a+2b）的结果是（）

A.a2+5ah+5b2B.a2+5ab4-6b2C.a2+5b2D.a2+6/J2

【答案】B

【分析】利用多项式乘多项式的法则计算即可.

【详解】解：（a+3b）（a+2b）

=原+3ab+2ab+6b2

=a2+5ab+662,

故选：B.

【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键.

nn-22

【变式1]（2023春・安徽淮北•七年级校联考期末）关于％的多项式anx+册_1廿t+an_2x+••・+a2x

+。6+劭，其中九为正整数，若各项系数各不相同且均不为0,我们称这样的多项式为〃亲缘多项式〃.

①（2%-是〃亲缘多项式〃.

2322

②若多项式的炉+a2x+ai%+a。和+b3x+b2x+必+b（）均为，亲缘多项式”，则劭炉+a2x+arx

432

+a0+b4x+b3x+b2x+瓦+瓦也是“亲缘多项式

4432

③多项式（2%—I）=b4x+b3x+b2x+bix+瓦是“亲缘多项式”且3+久+为=41.

④关于％的多项式（aX+8）九，若QHb,ab0,九为正整数，贝！J（a%+力）"为“亲缘多项式

以上说法中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】①将（2x-1）2展开，进行判断即可；②合并同类项后，进行判断即可；③计算出（2久一1）3进

行判断即可；④利用特殊值法进行判断即可.

【详解】解：①•••（2%—1）2=4/—4%+1,各项系数各不相同且均不为0,

・•.（2%—1下是〃亲缘多项式〃，故①正确；

323243

（2）,*,a3%+a2x+a1x+a0+久/+b3x+b2x+b1x+瓦=b4x+（a3+h3）x+（a2+力2）/+

（cii+历）/+a0+b（）,并不能确定各项系数各不相同且均不为0,

•••+劭++匕31++无不是“亲缘多项式”,故②错误；

（3）（2%-I）4=16x4-32/+24/-8x+l,

■■（2x—1）4是“亲缘多项式"，

4432

（2%—I）=b4x+b3x+b2x+bjx+b0,

432432

b4x+b3x+b2x+brx+b0-16x—32x+24x—8x+1,

*1•64+Z?2+b。=16+24+1=41；故③）正确；

④当a=l,b=-1,n=4时：（x—1尸=钮3+6刀2_轨+1,三次项和一次项的系数相同，不是“亲

缘多项式"，故④错误；

综上：正确的有2个；

故选：B.

【点睛】本题考查整式的运算.理解并掌握"亲缘多项式"的定义是解题的关键.

【变式2］（2023春•四川成都•七年级成都实外校考期中）若（久一5）（2%—几）=2比2+根%—15,贝U加、"的

值分别是（）

A.m=—7,几=3B.m=7,n=—3C.m=—7,n=—3D.m=7,n=3

【答案】C

【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而得出关于加，〃的等式求出答案.

【详解】解：,•,（%—5）（2%—n）=2%2+mx-15,

.9.2x2—（10+n）x+5n=2x2+mx—15,

MJ5n=—15

取Izn=—10—n'

解得:，

故选：c.

【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握多项式乘法运算法则是解题关键.

【变式3］（2023春,陕西西安•七年级陕西师大附中校考阶段练习）现有如图所示的卡片若干张，其中/类、

2类为正方形卡片，C类为长方形卡片，若用此三类卡片拼成一个长为2a+云宽为a+26的大长方形，则

需要C类卡片张数为（）

4类

||类］bC类

aba

A.5B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】利用多项式乘法算出大长方形的面积，找出含油项的系数，即可得解.

【详解】解：由题意可得大长方形的面积为：

(2a+b)(a+2b)=2cz2+5ab+2b2,

可见要组成这样一个长方形，需要/类、8类卡片各2张，C类卡片5张，

故选A.

【点睛】本题考查多项式乘法的几何应用，熟练掌握多项式的乘法法则、正方形和长方形的面积求法是解

题关键.

考点5：整式乘法一一求字母、代数式的值

典例5：(2023春,浙江•七年级专题练习)5g(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4,则加一〃等于()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】B

【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则计算求出加，〃的值，然后代入计算即可.

［详解］(-5产+?2f3n那)

=(—5x2)(am+1/?2n-1anbm)

:.-l0am+n+lb2n+m-l=-10^4

(m+n+l=4

*i2n+m—1=4

解得｛々黑

«=1-2=-1,

故选：B.

【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键.

【变式1】(2023春•全国•七年级专题练习)已知边长分别为a、b的长方形的周长为10,面积4,则ab?+a2b

的值为（）

A.10B.20C.40D.80

【答案】B

【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出ab,a+b,进而利用提取公因式法分解因式得出答案.

【详解】解：由边长分别为a、b的长方形的周长为10,面积4,

.则2（a+b）=10,ab=4,则a+b=5,ab2+a2b=ab（b+a）=4x5=20.

故选B.

【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键.

【变式2］（2023春•河北邢台•七年级统考期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，

小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：—7xy（2y—x—3）=-14xy2+7/y口，口的地方被钢笔水弄污了，

你认为口内应填写（）

A.+21xyB.—21xyC.—3D.—lOxy

【答案】A

【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相

加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论.

【详解】解：•.・左边=-7xy（2y—刀一3）,

=—14xy2+7x2y+21xy.

右边=—14xy2+7x2yn,

二口内上应填写+21xy.

故选：A.

【点睛】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，

再把所得的积相加是解答此题的关键.

【变式3］（2023春・广东揭阳•七年级校考阶段练习）若.x7"、2n=刀9/8,则4m—3/1=（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】D

【分析】先根据单项式乘以单项式，确定m,n的值，即可解答.

【详解】［解析•/；产1=x3+m,2n=%9y8,...3+巾=9,

2n=8,.-.m=6,n=4,.-.4771—371=24—12=12,

故选D.

【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，解题的关键是确定m,n的值.

考点6：整式乘法一一化简求值

典例6：(2023春・浙江金华•七年级校考期中)先化简，再求值：

(1)(3%+l)(2x-3)-(6x-5)(x-4),其中％=—2；

(2)(2%—y)(x+y)—2x(—2x+3y)+6x(—x—|y),其中x=l,y—2.

【答案】⑴22x—23；-67

(2)—20xy—y2；—44

【分析】(])根据多项式乘以多项式的运算法则可将原式展开，再合并同类项，最后将x的值代入即可求

解；

(2)根据多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式的运算法则可将原式展开，再合并同类项，最后将x、y

的值代入即可求解.

【详解】(1)解：(3%+1)(2%—3)—(6%—5)(%—4)

=6x2—9%+2%—3—6x2+24%+5%—20

=22x—23,

当％=—2时，原式=—44—23=—67；

(2)解：(2%—y)(%+y)-2%(—2%+3y)+6x(—%—|y)

=2%2+2xy—xy—y2+4x2—6xy—6x2—15xy

=—20xy—y2,

当％=1,y=2时，原式=-20x1x2—22=—44.

【点睛】本题考查整式的混合运算，多项式乘多项式的法则，单项式乘多项式的法则等知识，解题的关键

是掌握乘法运算法则，属于中考常考题型.

【变式1](2023春・广东深圳•七年级校考期中)如图，某小区有一块长为(2。+3b),宽为(3。+2力)的长方

形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为。米，将阴影部分进行绿化.

(1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；

(2)若a=3,b=6,求出此时绿化的总面积S.

【答案】(l)3a2+Hab+6b2

(2)441m2

【分析】(1)利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可；

(2)把相应的值代入(1)中运算即可.

【详解】(1)解：由题意得：

S=(3a+2b)(2a+3b)—a(3a+2b)

=6a2+9ab+4ab+6b2—3a2—2ab

=3a2+llab4-6b2；

(2)当a=3,b=6,

S=3x32+11x3x6+6x62=441.

答：当a=3,b=6时绿化的总面积为441m2.

【点睛】本题主要考查列代数式、整式乘法、求代数式的值，解答的关键是正确表示出绿化面积.

2

【变式2](2023春・浙江杭州•七年级校考阶段练习)已知M=Q2EN=2a+3ab.

(1)当a=—3,b=—2,分别求N的值.

(2)若等=b,求(a+2)(6+2)的值.

【答案】⑴〃的值是—18,N的值是36；

(2)(a+2)(b+2)=4.

【分析】(1)直接将。、6值代入，利用有理数的混合运算法则即可求得N值；

(2)由等=上计算得到ab+2(a+b)=0,化简(a+2)(。+2)得到ab+2(a+b)+4,再整体代入计算即

可求解.

22

【详解】(1)解：=ab,N=2a+3ab,a=—3,b=—2f

.,.M=(—3)2x(—2)=—18,

N=2x(—3)2+3x(—3)x(—2)=18+18=36,

即M的值是一18,N的值是36；

(2)解：・・・M=a2b,N=2a2+3afo,---=b,

a

.-.a2b+2a2+3ab-ab,

整理得ab+2(a+b)=O

.•.(a+2)(b+2)=ab+2(a+b)+4=4.

【点睛】本题考查代数式的求值、有理数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握求代数式的值的方法，

第(2)中能用整体代入法是解答的关键.

【变式3](2023春•黑龙江哈尔滨•六年级统考期末)阅读材料：我们知道，4%-2%+%=(4-2+1)%=3

x,类似地,我们把(a+6)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+l)(a+b)=3

(a+6)."整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛,

尝试应用整体思想解决下列问题：

⑴把(a-b)2看成一个整体，合并2(a-以-6(a-&)2+5(a-Z?)2；

(2)已知久2―2y=-2,求6,一12y-15的值;

(3)已知a—2b=-1,2d—c=5,c—d--10,求(a—c)+(2b—d)—(2b—c)的值.

【答案】⑴(a—6)2

(2)-27

⑶-6

【分析】(1)把(a—6)2提出了进行计算即可得；

(2)6x2-12y-15=6(x2-2y)-15,把/—2y=—2代入进行计算即可得；

(3)(a—c)+(2/?_d)—(26—c)=(a—2b)+(2b—c)+(c—d),把a—2b=-l,2b-c=5,c-d

=—10代入进行计算即可得.

【详解】(1)解：2(a—b)2—6(a—b)2+5(a—b)2=(2—6+5)(a—b)2=(a—6)2.

2

⑵解：6x-12y-15=6(%2_2y)-15,

把比2—2y——2代入得，原式—6x(—2)—15——27.

(3)解：(^a-c)+(2b-d)-(2b-c)=a-c+2b-d-2b+c=(a-26)+(2b-c)+(c-d)

把a—2b=—1,2b—c=5,c—d=—10代入得，

原式=-1+5+(—10)=-6.

【点睛】本题考查了多项式的变形和整体代入的思想，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点.

考点7：整式乘法一一错看问题

典例7：(2023・全国•九年级专题练习)已知：A=2xf5是多项式，在计算B+Z时，小马虎同学把8+A看

成了8・4结果得：/+京，你能帮他计算出正确的B+z的答案吗？(写出计算过程)

【答案】B+A=2%3+x2+2%

【分析】先根据4=2%,8+4的结果是%2+京，求出8=2%3+汽2,再求出8+4的值即可.

【详解】解：•.•/=2%,B+4的结果是/+),

・•・B=2%(%2+1%)=2%3+%2,

••・B+4=2x3+x2+2久.

【点睛】本题主要考查了整式加减运算和单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算.

【变式1](2022秋•陕西渭南•八年级校考阶段练习)在计算(2x+a)(x+b)时，甲错把b看成了6,得到

结果是：2%2+8%-24；乙错把〃看成了-a,得到结果：2%2+14x+20.

(1)求出a,b的值；

(2)在(1)的条件下，计算(2X+Q)G+b)的结果.

【答案】⑴。=-4；6=5；(2)2%2+6x-20

【分析】(1)根据条件求出代数式的值，对比结果，分别求出。力的值；

(2)将(1)的Q力的值代入代数式求解即可.

【详解】解：(1)甲错把b看成了6,

(2x+a)(x+6)

=2x2+12%+ax+6Q

=2x2+(12+d)x+6a

=2x2+8%-24

•'•12+a=8,

即a=-4；

乙错把a看成了-a,

(2x—q)(x+b)

=2x2+2bx-ax-ab

=2x2+(2b-a)x-ab

=2x2+14%+20

・・・26-。=14,把a=-4代入,

得b=5.

(2)当〃=-4,6=5时，

(2x+〃)(x+6)

=(2x—4)(x+5)

=2x2+10x-4x-20

=2x2+6x-20

【点睛】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键.

【变式2](2023春•七年级校考单元测试)甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：(3%+a)(2x+b).甲由

于把第一个多项式中的〃+Q〃看成了〃一出‘，得到的结果为67—13%+6；乙由于漏抄了第二个多项式中x

的系数，得到的结果为3%2一7%—6.

⑴求正确的。、b的值.

⑵计算这道乘法题的正确结果.

【答案】⑴｛丁二马

(2)6%2_5%_6

【分析】(1)按乙错误的说法得出的系数的数值求出。，6的值；

(2)把a,b的值代入原式求出整式乘法的正确结果.

【详解】(1)解：,•,甲由于把第一个多项式中的"+优'看成了"一a",得到的结果为6/—13久+6

(3%—a)(2x+b)=6x2+(36—2a)x—ab=6x2—13x+6.

・••乙由于漏抄了第二个多项式中%的系数，得到的结果为3/—7x—6.

(3x+a)(x+b)=3x2+(3b+a)x+ab=3x2—7x—6.

(3b—2a=-13

"tt3b+a=—7

Ja=2

--lb=-3

(2)解：(3x+2)(2x—3)=6x2—5x—6.

【点睛】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，解题

时要细心.

【变式3】在计算Q+a)Q+b)时，甲错把b看成了6,得到结果d+8刀+12；乙错把a看成了—a,得到结

果%2+%一6.你能正确计算(％+a)(%+b)吗？(a、b都是常数)

【答案】x2+5x+6.

【分析】根据甲的做法求出〃的值，根据乙的做法求出b的值，代入原式中计算即可.

【详解】解：•.•(％+a)(%+6)=+(6+。)％+6。=%2+8%+12,

.,.6+a=8,

.,.a=2；

,•,(%—a)(x+h)=%2+(6—a)x—ab=%2+%—6,

.,.fo—a=1,

;.b=3,

•••(%+a)(%+b)

=(%+2)(%+3)

=x2+5%+6.

【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，考核学生的计算能力，根据甲乙两位同学的做法求出a,b是解题

的关键.

考点8：整式乘法一一不含某项问题

典例8：已知(7+「久_1)(久2—3%+q)的展开式中不含久项与收项.

(1)求p、q的值

(2)求(一2P2q)2+(3pq)°+「202”2022的值.

【答案】(l)P=3,q=—g

⑵亍

【分析】(1)将展开式算出来后，利用条件中展开式中不含X项与疗项，令相应的项系数为0即可;

(2)利用第(1)问中的结果，代入求值.

【详解】(1)原式=/+(p—3)x3+(q—3p—|)x2+(1+pq)x—1(7，

展开式中不含x项与炉项，

[1+pq=0

tp-3=0'

(2)由(1)得p2q=-3,pq--1,

—2p2q)2+(3pq)°+p2021q2022

[2022

2

=[(-2)X(-3)]+[3X(-1)]°+32021X(--)

1.,2021]

=62+1+3x(--)x(--)

1

=36+l+(-l)2021x(--)

1

=37+(-1)x(一3)

1

=37+-

_112

【点睛】本题考查了多项式乘多项式的运算法则和求代数式的值，解题的关键是熟练掌握积的乘方及其运

算法则，零指数累的意义和过硬的计算能力.

【变式1】(2023春•安徽蚌埠,七年级统考期末)已知4B为多项式，且4=2/一„1%+1,B=nx2—3.

⑴若4与B的乘积中不含/项和久3项，求孙频的值；

⑵在数轴上，将表示数6的点记为M,表示数n的点记为M在(1)的条件下，数轴上的点P满足P到点M的

距离是P到点N距离的2倍，求点P表示的数.

【答案】⑴m=0,n=6

(2)12或4

【分析】(1)根据整式的乘法的运算法则可知A♦B=2n/—小建炉+⑺—6)/+3巾%—3,再根据力与B的

乘积中不含炉项和炉项列方程解答即可；

(2)设点P表示的数为a,根据数轴上两点之间的距离公式解答即可.

【详解】(1)解：,.,力=2%2—772K+1,8=71%2—3,

：.A-B—(2%2—mx+l)(nx2-3)=2nx4—mnx3+(n—6)x2+3mx—3,

・•・4与B的乘积中不含/项和刀3项，

(—mn=0

,'In-6=0'

解得：G=6'

=0,几=6；

(2)解：vm=0,n=6,

・•・点M表示的数为0,点N表示的数为6,

・•・设点P表示的数为小

|a—0|=2|Q—6|,

••­|a|=2\a—6|,

=2(a_6)或a=_2(a—6),

：.a=12或a=4,

・•・点P表示的数为12或4.

【点睛】本题考查了整式的乘法运算法则，多项式的定义，二元一次方程组的应用，数轴上两点之间的距

离公式，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键.

【变式2】(2023春・全国•七年级专题练习)已知。3+瓶％一九)(/一％+4)的计算结果中不含%3和％2项.

(1)求771、九的值；

(2)当771、九取第(1)小题的值时，化简并求(7H+71)(7712—7rm+足)的值.

【答案】⑴血=一4,n=4

(2)m3+n3,0

【分析】(1)先计算多项式乘多项式，再根据计算结果中不含%3和久2项可得一个关于血刀的二元一次方程组,

利用消元法解方程组即可得；

(2)先计算多项式乘多项式，再计算整式的加减法，然后将血刀的值代入计算即可得.

【详解】(1)解：(/+TH%—九)(/—%+4)

=%5—x4+4x3+mx3—mx2+4mx—nx2+nx—4n

=x5—%4+(4+m)x3—(m+ri)x2+(4m+n)x—4n,

•・•计算结果中不含%3和%2项，

(4+m=0

一I—(m+九)=0'

解得皿.

(2)解：(m+n)(m2—mn+n2)

=m3—m2n+mn2+m2n—mn2+n3

=m3+n3,

当7n=—4,九=4时，原式=（—4>+43=—64+64=0.

【点睛】本题考查了多项式乘多项式、以及化简求值，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键.

【变式3]（2023春•湖南株洲•七年级统考期中）若（x+3p）（%2—x+款）的积中不含x项与广项.

（1）求p、q的值：

⑵求代数式p2022q2023的值

【答案】（l）p=，z=3

（2）3

【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算，根据不含/项与X项，得出3p—1=0,为—3p=0,即可

求解；

（2）根据（1）的结论，逆用积的乘方与同底数幕的乘法，进行计算即可求解.

【详解】（1）解：原式=炉—%2+%x+3Px2—3px+pq

=/+（3p—l）x2+Qq-3p）x+pq

...不含%2项与％项

••・3p—1=0,—3p=0

.•・p=]q=3；

（2）当P=g,q=3时

原式=（I）x32022x3

（.、2022

=cX3）X3

=I2022x3

=1x3

=3.

【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，积的乘方与同底数嘉的乘法，熟练掌握以上运算法则是解题的关

键.

考点9：整式乘法一一图形面积

典例9：(2023春•四川巴中•七年级统考期末)用不同的方法计算几何图形的面积，可得数学等式.如图的

数学等式是()

A.(3a+b)(a+2b)=3a2+2b2B.(3a++2/>)=3a2+6ab+2b2

C.(3a+b)(a+26)=3口2+7ab+2b2D.(3a++2b)=3a2+7ab+4b2

【答案】C

【分析】根据图形，大长方形面积等于5个小正方形面积加上7个小长方形的面积和，列出等式即可.

【详解】解：T长方形的面积=(3a+b)(a+26),

长方形的面积=3a2+7ab+2b2,

.,.(3a+6)(a+2b)-3a2+7ab+2b2

故选：C.

【点睛】本题考查多项式乘以多项式的几何意义，通过几何图形之间的数量关系对多项式乘以多项式做出

几何解释.

【变式1](2023春•七年级课时练习)用两种方式表示同一长方形的面积可以得到一些代数恒等式，小明从

图中得到四个恒等式：

①(a—6)(a+b)=a2—b2；②a2—2ab+b2=(a—Z>)2；

③(a+b)(a—2b)=a2—ab—2b2；(4)a2+ab—2b2=(a+2b)(a—b),

其中正确的是()

A.①③B.①④C.②③④D.①②④

【答案】B

【分析】根据图形，分别用含a和b的代数式表示图中各个正方形和长方形的面积，再根据面积之间的关

系即可进行解答.

【详解】解：由图可知：

-<-----------a------------►—bf-b-

S3

s2

S4SsS6

Si+S4=*S2=S3=—b),S4=ab,=b2,

S2+S5=S3+S6=S4=ab,

①左边=Si+S2,

右边=(Si+S4)—5,5=S]+(S4—S5)=S]+S2，

・•.①正确，符合题意；

②左边=S1—2s4+S5,右边不能用图中的面积进行表示,

故②不符合题意；

③左边的(a-2b)不能用图中的线段进行表示，

故③不符合题意；

④左边=⑸+S4)+⑸+S5)-⑸+S6)=S1+S2+S3,

右边=S]+S2+S3,

故④正确，符合题意.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了用面积表示多项式的乘法，解题的关键是将各个正方形长方形的面积正确表示出

来.

【变式2](2023春•浙江,七年级期中)如图，长为y(cm),宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影

A,3外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm,下列说法中正确的有()

71B(一

T】

A

①小长方形的较长边为y-12；

②阴影/的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为x-y+4；

③若x为定值，则阴影N和阴影8的周长和为定值；

④当久=20时，阴影/和阴影3的面积和为定值.

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为(y—12)cm,说法①符合题

意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影/,8的较短边长，将其相加可得出阴影/的较

短边和阴影3的较短边之和为(2久一y+4)cm,说法②不符合题意；由阴影2的相邻两边的长度，利用

长方形的周长计算公式可得出阴影/和阴影8的周长之和为2(2X+4),结合x为定值可得出说法③符合题

意；由阴影4,8的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影/和阴影2的面积之和为

(xy-2Oy+240)cm2,代入x=20可得出说法④符合题意.

【详解】解：•••大长方形的长为ycm,小长方形的宽为4cm,

二小长方形的长为y—3X4=(y—12)cm,说法①符合题意；

,•,大长方形的宽为xcm,小长方形的长为(y—12)cm,小长方形的宽为4cm,

:阴影力的较短边为无一2x4=(%-8)cm,

阴影3的较短边为x-(y-12)=(x-y+12)cm,

・•・阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x—8+x—y+12=(2X—y+4)cm,说法②不符合题意；

・•・阴影4的较长边为(y—12)cm,较短边为(x-8)cm,

阴影3的较长边为3x4=12(cm),较短边为(x—y+12)cm,

二阴影/的周长为2(y—12+x—8)=2(%+y—20)cm,

阴影B的周长为2(12+x—y+12)=2。-y+24)cm,

・・・阴影/和阴影8的周长之和为2(%+y—20)+2(%-y+24)=2(2久+4)cm,

二若x为定值，则阴影/和阴影8的周长之和为定值，说法③符合题意；

「阴影/的较长边为(y—12)cm,较短边为(x—8)cm,

阴影3的较长边为3X4=12(cm),较短边为(x—y+12)cm,

阴影/的面积为(y—12)(%—8)=(xy-12x—8y+96)cm2,

阴影3的面积为12(x—y+12)=(12%—12y+144)cm2,

・•・阴影”和阴影B的面积之和为

xy—12x—8y+96+12x—12y+144=(xy—2Oy+240)cm2,

当x=20时，%y-20y+240=240(cm2),说法④符合题意，

综上所述，正确的说法有①③④，共3个，

故选：B.

【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减

的运算法则是解题的关键.

【变式3](2023春•江苏扬州•七年级校联考阶段练习)有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3

个如图1摆放，构造一个正方形；其中5个如图2摆放，构造一个新的长方形(各小长方形之间不重叠且不留

空隙).若图1和图2中阴影部分的面积分别为39和106,则每个小长方形的面积为()

A.12B.14C.16D.18

【答案】B

【分析】设小长方形的长和宽分别为a和b,根据阴影部分的面积分别为39和106,列方程，再整体求解.

【详解】解：设小长方形的宽为a,长为b,

由图1得：(a+b)2—3ab=39,

•1•a2+b2—ab=39,

由图2得：(2b+a)(2a+b)—5ab—106,

•1-4ab+2b2+2a2+ab—Sab=106则2a2+2b2=106,

BPa2+b2=53,

则53—a6=39,

解得：ab=14,

故每个小长方形的面积为：14.

故选：B.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，表示阴影部分的面积是解题的关键.

考点10：整式乘法一一新定义问题

典例10：(2022秋•全国•七年级专题练习)设％,y为任意有理数，定义运算：x*y=(x+l)(y+l)-l,得

到下列五个结论：①％*y=y*%；②%*y+z=%*y+%*z；③(％+1)*(%—1)=%*%—1；④%*

0=0；⑤(％+1)*(%+1)=%*%+2*%+1.其中正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据题中定义的运算，对各结论中新定义的运算进行计算，判断即可解答.

【详解】解：=(%+l)(y+1)—1,

y*x=(y4-1)(%+1)—1,

.-.x*y=y*X,

故①正确；

,:x*y+z=(x+l)(y+1)—l+z=xy+x+y+z,

x*y+x*z=(x+l)(y+1)—1+(%+l)(z+1)—l=xy+x+y+xz4-x+z=xy+xz+2%+y+z,

.-.%*y+zHx*y+%*z,

故②错误；

•