电工技术基础（第3版） 课件 模块二 单相正弦交流电路的测量与学习

模块二单相正弦交流电路的测量与学习单相正弦交流电路的测量与学习任务一单相正弦交流电的概念任务二单一参数元件的电路任务四交流电路中的谐振任务三R、L、C元件串联电路的分析典例解析任务一单相正弦交流电的概念正弦量函数表达式波形图表示法i=Imsin(ωt+Ψi)ΨiioT正弦交流电的基本物理量任务1.1正弦交流电的基本物理量（三要素）１、最大值Im为正弦电流的最大值最大值用带下标:“m”的大写字母表示，如Um、Im、Em分别表示正弦电压、正弦电流、正弦电动势的最大值。

io２、

角频率c.角频率

ω：每秒变化的弧度。单位：弧度/秒(rad/s)b.频率

f：每秒变化的次数。单位：赫兹(Hz)，千赫兹(KHz)Ta.周期T：变化一周所需的时间，单位：秒(s)，毫秒(ms)io3、初相位：

t=0时的相位，称为初相位或初相角。：正弦波的相位角或相位。io说明：

反映了正弦交流量的初始状态；初相位的取值范围是:

三要素：

通常把最大值（振幅）Im角频率ω称为正弦量的三要素初相Ψi-180o≤Ψi＜180o4、三要素相位差两个同频率正弦量间的相位差(初相差)ui01.5A10V正弦电流解析式为正弦电压解析式为任务1.2相位差若两同频率正弦量的相位差的数值是：i超前u

900的相位角电流i、电压u为同频率的正弦量，则当相位差i0ui0ui的相位超前ui的相位落后u相位差i0ui与u同相位i0ui与u反相位相位差i0i与u正交相位差有效值交流电的瞬时值随时间而变化,不便于用它来计量交流电的大小。在工程应用中，通常所说的交流电的电压或电流的数值，都是指它们的有效值。有效值

交流电的有效值是根据电流的热效应相等的原理来规定的。当某一交流电流i

通过电阻R在一周期内所产生的热量，与某一直流电流I

通过同一电阻R在相同时间内产生的热量相等时，则这一直流电流的数值就称为该交流电流的有效值。有效值当时，交流直流热效应相当有效值概念则有（均方根值）有效值同理：注意:有效值电量必须大写如：U、I、E有例写出图中正弦电压和电流的有效值ui01.5A10VU=7.07VI=1.06A解问题与讨论一电器~220V最高耐压=300V若购得一台最高耐压为300V的电器，是否可用于220V正弦交流的线路上?该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。电源电压有效值U=220V最大值

问题与讨论二1、正弦量的最大值和有效值是否随时间变化?它们的大小与频率、相位有没有关系?2、交流电的有效值就是它的均方根值，在什么条件下它的幅值与有效值之比是

正弦量的最大值和有效值不随时间变化,它们的大小与频率、相位没有关系。

当交流电按正弦规律变化时,它的幅值与有效值之比是问题与讨论二3、将通常在交流电路中使用的220V、100W白炽灯接在220V的直流电源上，试问发光亮度是否相同？

由于交流电压的有效值是220V，等于直流电源的电压220V，根据有效值的定义，可知发光亮度相同。4、已知你能说比超前吗？为什么？不能；不是同频率的正弦量不能比较相位关系。正弦量的相量表示正弦交流电的表示法（三种）

瞬时值表达式

相量必须小写

波形图i

正弦量的表示方法：重点正弦量的相量表示任务1.4正弦量的相量表示

在本节引入正弦量的相量表示法，就是利用复数来表示正弦交流量的一种方法。它是交流电路分析计算中最为方便的一种。用复数来表示相对应的正弦量称作相量表示法，由于相量本身就是复数，下面将对复数及其运算进行简要的复习。复数的知识复数的四种表达形式：+jba+lAҐ=|A|(1)代数形式(2)三角函数形式(3)指数形式(4)极坐标形式注意：复平面的虚部用j表示，是为了与电流i有区别欧拉公式两复数之和为：有两个复数两复数之差为：两复数之积为：两复数之商为：复数的运算复数运算特例：旋转因子任一复数乘以+j，其模不变，幅角增大900,相当于在复平面上把复数矢量逆时针方向旋转900。任一复数乘以-j，其模不变，幅角减小900,相当于在复平面上把复数矢量顺时针方向旋转900。例

题解：

A+B=（8+j6)+(6-j8)=14-j2

已知A=8+j6,B=6-j8，求A+B，A·B

矢量图表示法概念：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。矢量长度

=

矢量与横轴夹角=

初相位矢量以角速度ω按逆时针方向旋转uωo(ωt+φ)0矢量的表示由于矢量具有了正弦量的三要素,因而正弦量可以用旋转矢量来表示。将正弦量用矢量表示时，有两种方式：一、矢量的书写方式2、若其幅度用有效值表示，则用符号：正弦量在各时刻的瞬时值与旋转矢量相应时刻在纵轴上的投影一一对应。1、若其幅度用最大值表示，则用符号：

二、矢量的作图方式有效值最大值

初相位初相位矢量的表示相量复数表示法

可以用一个有向线段（矢量）表示一个正弦量。有向线段可以在复平面内用复数表示。正弦电流相量复数形式相量就是把旋转矢量放在复平面上，用复数表示的正弦量。相量的表示例题【2-1】已知写出表示u1和u2的相量。解：所以

已知

试用相量法，求i=i1+i2解:

例题【2-2】例题【2-3】试求这电压、电流的解析式解：

已知典型例题在如图所示的相量图中，已知U=220V,I1=10A,I2=5A,它们的角频率是ω，试写出各正弦量的瞬时表达式及相量。解：问题与讨论三正弦交流电压的有效值为220V，初相，试问下列各式是否正确？×××××任务二单一参数

元件的电路单一参数元件的电路

uiR根据欧姆定律设则注意:电压电流选择关联参考方向任务2.1纯电阻电路1.频率相同2.相位相同3.

有效值关系：纯电阻电路中电流、电压的关系：U=IR单一参数元件的电路相量关系：得

相量图得由由单一参数元件的电路

uiR1、瞬时功率p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写说明p≥0说明：在关联参考方向下，功率大于零，元件在电路中消耗能量单一参数元件的电路电阻电路中的功率1.

（耗能元件）结论：pωtuiωtP平均功率

随时间变化的频率是2单一参数元件的电路ω2、

平均功率（有功功率）P：一个周期内电路所消耗(吸收)功率的平均值

uiR单一参数元件的电路大写

P的单位:瓦、千瓦(W、KW)单一参数元件的电路解（1）电压相量为电流相量为电流瞬时值表达式（2）平均功率已知一白炽灯，工作时的电阻为484Ω，其两端的正弦电压,试求：（1）通过白炽灯的电流的相量及瞬时值表达式；（2）白炽灯工作时的功率。例题

基本关系式：设iuL-e+单一参数元件的电路任务2.2电感电路纯电感电路中电流、电压的关系1.频率相同2.电压超前电流900的相位角3.有效值iu电压、电流波形图则：

感抗（Ω）定义：单一参数元件的电路f=0时XL=0关于感抗的讨论直流E+_R感抗（

）是频率的函数，频率越高,感抗越大,频率越低,感抗越小。电感有通低频，阻高频的特性。e+_LR交流电路直流电路单一参数元件的电路L元件电压电流相量关系相量关系：相量图根据有:单一参数元件的电路电感电路中欧姆定律的相量形式含有幅度和相位信息幅度:U=IXL幅角:单一参数元件的电路1.瞬时功率p

iuL在关联参考方向下，功率有时大于零，有时小于零，电感元件在电路中的作用是怎样的呢？单一参数元件的电路电感电路中的功率ui储存能量+pp>0+p>0p<0释放能量p

<0可逆的能量转换过程ot1t4t3t2单一参数元件的电路

2.平均功率P

（有功功率）结论：电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐），是(储能元件)。单一参数元件的电路3.无功功率Q

Q

的单位：乏、千乏(var、kvar)

Q

的定义：电感瞬时功率的最大值。用以衡量电感与电路进行能量交换的规模。最大值单一参数元件的电路例题

已知一电感L=80mH，外加电压uL=50sin(314t

65

)V。试求：(1)感抗XL

，(2)电感中的电流IL，(3)电流瞬时值iL。解：(1)电路中的感抗为

XL

=

L=314

0.08

25

(2)电流

(3)

电感电流iL比电压uL滞后90°，则

基本关系式:设：uiC则：单一参数元件的电路任务2.3

电容电路纯电容电路中电流、电压的关系1.频率相同2.电压超前电压900的相位角3.有效值单一参数元件的电路或：iu电压、电流波形图相量关系：设有相量图单一参数元件的电路容抗（Ω）定义：则：纯电容电路中欧姆定律相量形式含有幅度和相位信息幅度:U=IXC幅角:单一参数元件的电路关于容抗的讨论直流

是频率的函数，频率越高,容抗越小,频率越低,容抗越大。电容有通高频，阻低频的特性。容抗f＝0时e+-E+-s交流单一参数元件的电路1.瞬时功率p

uiC在关联参考方向下，功率有时大于零，有时小于零，电容元件在电路中的作用是怎样的呢？单一参数元件的电路电容电路中的功率p放电P<0释放能量充电放电充电P>0储存能量iuωtωt可逆的能量转换过程ot1t2t3单一参数元件的电路

2.平均功率P结论：电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐），是储能元件。单一参数元件的电路3.无功功率Q最大值Q

的定义：电容瞬时功率的最大值。用以衡量电容与电路进行能量交换的规模。单一参数元件的电路已知一电容C=50μF,接到220V,50Hz的正弦交流电源上,求：(1)容抗；(2)电路中的电流IC和无功功率

。

例题【2-6】解(1)(2)例题【2-7】

一电容C=100μF,接于流过电容的电流IC和iC;(2)电容元件的有功功率PC和无功功率QC;(3)绘电流和电压的相量图。的电源上。求：解（1）

例题【2-7】（2）

0+1+j45o45o（3）相量图如图所示。

【典型例题】

220V,50Hz的电压分别加在电阻，电感和电容负载上，此时它们的电阻值、感抗值和容抗值均为11，试分别求出（1）三个元件的电流瞬时值表达式，并以电压为参考相量画出相量图；（2）若电压的有效值不变，频率由50Hz变到100Hz，写出各电流的瞬时值表达式。解（1）

根据欧姆定律的相量形式，则得:

【典型例题】电阻电流、电感电流与电容电流的相量图如图所示。

【典型例题】当频率由50Hz变到100Hz，由于容抗、感抗发生变化，不再与电阻相同，电阻、电感及电容的电流瞬时值表达式为：在电阻电路中：？？？瞬时值有效值

问题与讨论四在电感电路中：？？？？？

问题与讨论四在电容电路中：？？？？？

问题与讨论四单一参数正弦交流电路的小结电路参数电路图（正方向）复数阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i

同相0LiuCiu设则设则u领先i90°u落后i90°00基本关系任务三

R、L、C元件串联电路的分析若一、电流、电压的关系uRLCi

RLC串联交流电路任务3.1R、L、C串联电路分析则uRLCi同频率正弦量的加法还是同频率的正弦量

RLC串联交流电路相量方程式则相量模型RLC设（参考相量）总电压与总电流的相量关系式

RLC串联交流电路R-L-C串联交流电路——相量图相量表达式：RLC电压三角形先画出参考相量

RLC串联交流电路Z：复阻抗实部为电阻虚部为电抗容抗感抗令则R-L-C串联交流电路中的复数形式欧姆定律RLC

RLC串联交流电路复数形式的欧定律

说明：❀RLC

复阻抗Z是一个复数，但并不是正弦交流量，因为电阻R是不变的，而感抗与容抗是随频率变化的量，并不按正弦规律变化，因而上面不能加点。Z

在方程式中只是一个运算工具。

RLC串联交流电路由复数形式的欧姆定律可得：结论：Ｚ的模|Z|为电路总电压和总电流有效值之比，而Ｚ的幅角φ则为总电压和总电流的相位差。1、Z

和总电流、总电压的关系

RLC串联交流电路2、阻抗（Z）三角形阻抗角电阻阻抗电抗

RLC串联交流电路当XL>XC

时，

>0

，u

超前i

呈感性当XL<XC

时，

<0

，u

滞后i

呈容性当XL=XC

时，

=0

，u.

i同相呈电阻性

3、电路性质的判断

RLC串联交流电路RLC

XL

<

XC

假设已知R、L、C电路性质能否确定？(阻性？感性？容性？）

XL

>

XC

当ω

不断变化时，可能出现：

XL=XC

电路的性质会随频率的变化而发生改变不能！

XL

<

XC

XL

>

XC

RLC串联交流电路4.阻抗三角形和电压三角形的关系阻抗三角形相似电压三角形

RLC串联交流电路1、有功功率

P

（平均功率）电感的有功功率为零电容的有功功率为零电阻的有功功率

RLC串联交流电路总电压总电流

u与i

的夹角平均功率P与总电压U、总电流

I间的关系：

其中：∴功率因数

RLC串联交流电路在R、L、C串联的电路中，储能元件L、C

虽然不消耗能量，但与电路之间存在能量吞吐，吞吐的规模用无功功率来表示。其大小为：

RLC串联交流电路2、无功功率Q3、视在功率S：电路中总电压与总电流有效值的乘积单位：伏安、千伏安注：

S＝UI

可用来衡量发电机可能提供的最大功率

(额定电压×额定电流）

RLC串联交流电路PQS视在功率无功功率有功功率4、

功率三角形

电压三角形功率三角形阻抗三角形CRLRCLXX-SQP

RLC串联交流电路在R-L-C串联电路中，交流电源电压U=220V，频率f=50Hz，R=30

，L=445mH，C=32F。试求：(1)电路中的电流大小I；(2)总电压与电流的相位差

；(3)各元件上的电压UR、UL、UC。解

【例2-8】，即总电压比电流超前53.1

，电路呈感性。

UR=RI=132VUL=XLI=616VUC=XcI=440V

【例2-8】

电感线圈为了测量电感线圈的R和L值，如图所示，在电感线圈两端加U=110V，f=50Hz的正弦交流电压，测得流入线圈中的电流I=5A，消耗的平均功率P=400W，试计算线圈参数R和L。解：根据

得

解得

【例2-9】有一RLC串联电路,其中R=30Ω,L=382mH,C=39.8μF,外加电压。试求：(1)复阻抗Z,，并确定电路的性质；(2)

；(3)绘出相量图。

解由已知条件(1)所以此电路为电感性电路。

【例2-10】(2)

(3)相量图如图所示。

【例题2-10】相量图0+1+j60o6.9o

【例2-10】

阻抗的串、并联一、复阻抗定义：

、R、X它们之间符合阻抗三角形，与串联电路的相同。任务3.2阻抗的串、并联二、阻抗的串联式中为全电路的等效阻抗，它等于各复阻抗之和。两阻抗串联的分压公式：

阻抗的串、并联式中

根据相量形式的KCL

两阻抗并联的分流公式：三、复阻抗的并联

阻抗的串、并联如图所示，已知

，求等效复阻抗解：

【例2-11】如图所示的RLC并联电路中,已知R=5Ω，L=5μH，C=0.4μF，电压有效值U=10V，ω=106rad/s，求总电流i并说明电路的性质。解：电路呈容性。

【例2-12】

功率因数的提高任务3.3功率因数的提高

常用电路的功率因数纯电阻电路R-L-C串联电路纯电感电路或纯电容电路电动机空载满载日光灯（R-L串联电路）问题的提出：日常生活中很多负载为感性的，其等效电路及相量关系如下图。uiRL

功率因数的提高一、功率因数低使电源的容量得不到充分利用cos

当U、P

一定时，∵∴希望将cos

提高提高会使I减小P=PR=UIcos

=Scos

其中电路消耗的有功功率为：

功率因数的提高20W白炽灯

20W日光灯

二、功率因数低使供电线路上的功率损耗增加

功率因数的提高在电源电压一定的条件下，相同的负载，功率因数越低电流越大，而供电线路上有一定电阻值，故电流越大，线路的功率损耗越大。

供电局一般要求用户的

，否则受处罚。

功率因数的提高必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。提高功率因数的原则：提高功率因数的措施:并联电容uiRLC

功率因数的提高电容柜呈电容性呈电感性感性电路并联电容器后，电路情况如下:呈电阻性问题与讨论结论：在角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容容量更大，经济上不合算，所以一般工作在欠补偿状态。感性（较小）容性（较大）过补偿欠补偿

功率因数补偿成感性好，还是容性好？问题与讨论uiRL设原电路的功率因数为cos

1，要求补偿到cos

须并联多大电容？（设U、P

为已知）C

功率因数的提高分析依据：补偿前后P、U不变。由相量图可知：

功率因数的提高iuRLC

功率因数的提高并联电容补偿后，电路总的有功功率是否改变？R<通过计算可知总的有功功率不变。I、其中

功率因数的提高<感性电路并联电容可以提高功率因数，若用串联电容的方法行不行呢？补偿前RL补偿后RLC

功率因数的提高

串联电容后，电路的功率因数提高了，在电路电压不变的条件下，电路的阻抗减小了，电流增大了，负载的状况发生了改变。所以不行。从串联电容前后相量图可以看出：

功率因数的提高一日光灯等效电路（电阻、电感串联电路）,已知P=40W,U=220V,I=0.4A,f=50Hz.求：(1)此日光灯的功率因数；

(2)若要把功率因数提高到0.9，需并电容量C为多少？解：(1)因为

所以

(2)由可得【例2-13】任务四交流电路中的谐振交流电路中的谐振含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全补偿，使电路的功率因数等于1，即：u、i

同相，便称此电路处于谐振状态。谐振串联谐振：L与C串联时u、i

同相并联谐振：L与C并联时u、i

同相谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用非常广泛。谐振概念：RLC串联谐振电路电压与电流同相位若令：则：电路谐振串联谐振的条件交流电路中的谐振一、串联谐振

交流电路中的谐振谐振频率：

❀U、I

同相❀电路是纯电阻性的电路的阻抗最小❀当电源电压一定时：电流最大交流电路中的谐振注：串联谐振也被称为电压谐振电路❀当时电感电压与电容电压相等,大于总电压交流电路中的谐振品质因数——Q

值定义：电路处于串联谐振时，电感或电容上的电压和总电压之比。谐振时:∴在谐振状态下，Q

体现了电容或电感上电压比电源电压高出的倍数。❀特性阻抗Q＞＞1为谐振电路选择性好坏的指标❀谐振曲线交流电路中的谐振通频带：谐振频率上限截止频率下限截止频率Q大通频带宽度越小(Q值越大)，选择性越好，抗干扰能力越强。Q小△ƒ=ƒ2－ƒ1

当电流下降到0.707Io时所对应的上下限频率之差，称通频带。即：交流电路中的谐振

接收机的输入电路：接收天线：组成谐振电路电路图调C，对所需信号频率产生串联谐振串联谐振应用举例最大则则则

为来自3个不同电台(不同频率)的电动势信号；

同相时则谐振

CRLIII&&&+=交流电路中的谐振二、并联谐振虚部实部则、

同相虚部=0。谐振条件：交流电路中的谐振由上式虚部得：或当

时交流电路中的谐振得代入谐振时虚部为零，即:总阻抗：交流电路中的谐振❀同相、电路的总阻抗最大❀电路是纯电阻性的❀电源电压一定时，电流最小交流电路中的谐振并联谐振的特点当时所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。交流电路中的谐振并联谐振电路，支路电流可能大于总电流❀电流谐振交流电路中的谐振品质因数--Q∵定义:电路处于并联谐振时支路电流和总电流之比。

品质因数--Q∴

并联谐振也被称为电流谐振电路在谐振状态下，Q

的大小说明支路电流比电路总电流高出的倍数。并联谐振电路的应用正弦交流电路如图所示，已知IR=IL=IC

，试问整个电路呈什么性质？当电路频率变化时，总电流变大还是变小？电路性质怎样变化？电路是纯电阻性的频率变化频率升高，总电流增大，电路是容性的频率降低