2024-2025学年河北省衡水市高三上学期1月新高考适应性考试数学模拟卷（一模）含解析

2024-2025学年河北省衡水市高三上学期1月新高考适应性考试数学模拟卷（一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x∣log22x−1<1，B=x∣A.x∣12<x<1 B.x∣x<32

2.已知复数z满足(z−i)(1−i)=3+i，则z的共轭复数z在复平面中的对应点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知回归方程y=5x+1，则该方程在样本1,4处的残差为(

)A.−2 B.1 C.2 D.54.若正整数a，b满足等式20232025=2024a+b，且b<2024，则b=(

)A.1 B.2 C.2022 D.20235.已知非零向量a、b和实数k，那么“a=kb”是“a−b=A.充分而不必要条件 B.既不充分也不必要条件

C.充要条件 D.必要而不充分条件6.已知数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=6，A.4 B.5 C.6 D.77.已知抛物线C:y2=4x与直线l:y=kx+43交于M，N两点，点P在线段MN上，且∠MOP=∠NOP，若点(1,1)在直线OPA.13 B.12 C.−18.如图，在三棱锥P−ABC中，PA=PB=CA=CB=2，∠APB=∠ACB=π2，E，F，G分别为PA，PB，PC上靠近点P的三等分点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥P−ABC的四个面均相切，且小球同时还与平面EFG相切，则PC=(

)

A.6+2 B.6−二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知函数f(x)=cosx−sinx+x−A.f(x)的图象关于点(π4,0)对称

B.π2是f(x)的极大值点

C.f(x)在x=0处的切线方程为y=1−π410.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美.双纽线的图形轮廓像“∞”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素.已知在平面直角坐标系中，F1(−2,0)，F2(2,0)，满足|PF1|⋅|PF2A.曲线C既是中心对称又是轴对称图形

B.曲线C上满足|PF1|=|PF2|的点P有2个

C.|OP|≤2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.已知sin(α+β)=12，tanαtanβ12.设F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，α，β分别为双曲线C的两条渐近线的倾斜角，已知点F到其中一条渐近线的距离为13.某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且X∼N(98,σ2)，对于X≥100的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间(96,100)的个数，则随机变量Y的方差是

14.若函数fx=2x2−ax−四、解答题：本题共6小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a−b)(sinA+(1)求A;(2)若△ABC的外接圆面积为9π，角B的平分线交AC于D，求△ABC的面积，及△ABD与△BCD的面积之比.16.(本小题12分)设各项非零的数列an的前n项乘积为Tn，即T(1)求数列Tn(2)若bn=n+12na17.(本小题12分)如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1(1)求证：AB⊥BC；(2)求平面ABB1与平面B18.(本小题12分)如图所示，由半椭圆C1:x24+y2b2=1(y≤0)和两个半圆C2:(x+1)2+y2=1(y≥0)、C3:(x−1)2+y2=1(y≥0)组成曲线C(1)求C1(2)C和D分别在曲线C1和曲线C2上．求出线段(3)若过点F1，F2作两条平行线l1，l2分别与C1，C2和C1，C3交与M，N19.(本小题15分)信息在传送中都是以字节形式发送，每个字节只有0或1两种状态，为保证信息在传送中不至于泄露，往往需要经过多重加密，若A，B是含有一个字节的信息，在加密过程中，会经过两次加密，第一次加密时信息中字节会等可能的变为0或1，且0，1之间转换是相互独立的，第二次加密时，字节中0或1发生变化的概率为p，若A，B的初始状态为0，1或1，0，记通过两次加密后A，B中含有字节1的个数为X.(Ⅰ)若两次加密后的A，B中字节1的个数为2，且p=13，求A，B通过第一次加密后字节1的个数为2(Ⅱ)若一条信息有n(n>1,n∈N∗)种等可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为p1，p2，p3，⋯，pn，则称H=f(p1)+f(p2(Ⅲ)将一个字节为0的信息通过第二次加密，当字节变为1时停止，否则重复通过第二次加密直至字节变为1，设停止加密时该字节通过第二次加密的次数为Y(Y=1,2,3,⋯,n).证明：E(Y)<120.(本小题17分)对于函数y=f(x)，x∈I，若存在x0∈I，使得f(x0)=x0，则称x0为函数f(x)的一阶不动点;若存在x0∈I，使得f(f(x0）=x0，则称x0为函数f(x)的二阶不动点;(1)若f(x)=exe(x>0)(2)已知f(x)=(a+1)x−(ⅰ)若m≥0且函数F(x)在区间[m,n]的值域为[m,n]，则称区间[m,n]是函数的“完美区间”.试问函数f(x)是否存在“完美区间”，若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，说明理由;(ⅱ)讨论集合B的子集的个数.

答案和解析1.【正确答案】C

【分析】本题考查并集运算，利用指数函数的单调性解不等式，利用对数函数的单调性解不等式，属于基础题.

分别解含对数或指数的不等式，求出集合A,B，再求并集即可.解：由于log22x−1<1，得解得12<x<3由12<2x<2，得2则A∪B=故选：C.2.【正确答案】D

【分析】本题考查复数的运算及复数模的求法，同时考查复数的几何意义及共轭复数的概念，是基础题.

把给出的等式化为z=3+i1−i+i，利用复数代数形式的运算法则化简，求出z

解：由(z−i)(1−i)=3+i，

得z=3+i1−i+i=3+i(1+i)(1−i)(1+i)+i=2+4i2+i=1+3i，

∴z=1−3i3.【正确答案】A

【分析】本题考查残差的计算，属于基础题．

直接根据残差的定义进行求解即可.

解：当x=1时，y=5×1+1=6则方程在样本1,4处的残差为4−6=−2.故选：A.4.【正确答案】D

【分析】本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.

根据20232025=(2024−1

解：因为20232025=(2024−1)2025

=C202505.【正确答案】D

【分析】本题考查充分、必要、充要条件的判断，属于基础题.

把等式a−b=a+b

解：因为向量a、b为非零向量，设向量a、b的夹角为θ，把等式a−b=所以a⋅b=−因为0≤θ≤π，所以，θ=π，即a、b方向相反，因为“a=kb”⇏“a、b方向相反”，“a=kb”⇐“因此“a=kb”是“a故选：D.6.【正确答案】B

【分析】本题考查递推关系求通项，属于中档题.

利用递推关系，求出数列an,  

解：数列{an}，满足a1=2，an+1=2an，

故an+1an=2(常数)，

所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以an=2n，

由于bn+1=2bn−an，

所以bn+1=2bn−2n，

7.【正确答案】A

【分析】本题考查了直线与抛物线的位置关系，是中档题.

设直线OM，ON的方程分别为y=k1x，y=k2x，由点(1,1)到直线OM的距离为r，得k1k2=1，设M(x1

解：已知直线l:y=kx+43，设直线OM，ON的方程分别为y=k1x，y=k2x，

记点(1,1)到直线OM的距离为r，则|k1−1|1+k12=r，

整理得(1−r2)k12−2k1+1−r2=0，

同理可得，(1−r2)k22−2k2+1−r8.【正确答案】B

【分析】本题考查了棱锥的结构特征，体积，线面垂直的判定，属于中档题.

结合棱锥的结构特征，根据相切列式求解即可.解：如图，取AB中点M，连接PM，CM，

由题可知AB⊥PM，AB⊥CM，

因为PM∩CM=M，PM，CM⊂平面PMC，

所以AB⊥平面PMC，作PH⊥MC，垂足为H，

因为PH⊂平面PMC，所以AB⊥PH，

又CM∩AB=M，CM，AB⊂平面ABC，

所以PH⊥平面ABC，

过点H作HN⊥BC，垂足为N，连接PN，易知BC⊥PN，

设小球半径为r，所以PH2r=PBFB=32，所以PH=3r，

根据题意，V三棱锥P−ABC=13S△ABC⋅PH=13(S△PAB+S△PAC+S△PBC+S△ABC9.【正确答案】AC

【分析】本题考查利用导数研究函数的极值，导数的几何意义，属于中档题.

利用f(π4−x)+f(π4+x)=−2

解：f(x)=−2sin(x−π4)+x−π4，

f(π4−x)+f(π4+x)=−2sin(−x)−x−2sinx+x=0，

所以f(x)的图象关于点(π4,0)对称，故A正确；

f'(x)=−2cos(x−π4)+1=0，所以cos(x−π4)=22，

所以x−π4=π4+2kπ或x−π4=−π4+2kπ，

所以x=π2+2kπ或x=2kπ，

0<x<π2时，f'(x)<0，10.【正确答案】ACD

【分析】本题考查曲线与方程，导数的几何意义，属于中档题.

结合曲线方程的新定义逐项计算验证即可.

解：设P点坐标为(x,y)，

则曲线C:(x−2)2+y2⋅(x+2)2+y2=4，故A正确；

对于B，若|PF1|=|PF2|，则|PF1|=|PF2|=2，

这样的P点只有1个，即为原点，故B错误；

对于C，由(x−2)2+y2⋅(x+2)2+y2=4，

得[(x−2)2+y2]⋅[(x+2)2+11.【正确答案】13【分析】本题考查两角和与差的正弦公式、利用同角三角函数基本关系化简，属于基础题．

由两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系可求sinα解：∵sin (α+β)=1tanα=5tanβ由①②得sinαcosβ=512,cosα12.【正确答案】8

【分析】

本题主要考查双曲线的渐近线，焦距，属于基础题.

首先根据题意得到d=|−bc|b2+a2=b=2，由α+β=π，α=15β，从而得到ba=tanα=33，即可得到a，c，得双曲线C的焦距．

解：由题意，设F(−c,0)，一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0，

由于点F到该渐近线的距离d=|−bc|b2+a213.【正确答案】45

【分析】本题主要考查正态分布的性质，二项分布的方差，属于基础题.

求出规格指标X位于区间(96,100)的概率，再根据二项分布的方差公式可得随机变量Y的方差.解：由正态分布的性质得质量指标在区间

(96,100)的概率为1−2×0.05=0.9，

即1件产品的质量指标位于区间(96,100)的概率为0.9，

∴Y∽B(500,0.9)，故D(Y)=500×0.9×0.1=45.14.【正确答案】−【分析】本题考查函数零点问题，属于拔高题.

关键在于将函数fx的零点问题转化为函数gx=2x2

解：令fx=0，即由题可得x2当a=0时，x∈R，有2x2当a>0时，则2即函数gx=2由x2−ax≥0，可得x≥a或当x≤0时，则ax−2<0，则2即4x2−4ax=当a=2时，即4x+1=0，即x=−1当a∈0,2，x=−12+a或x=当a∈2,+∞时，x=−12+a即当a∈0,2时，2x则当a∈0,2时，2x当a∈0,2,且由函数ℎx=ax−3,x≥2a1−ax,x<2a关于且函数ℎx在1a,令gx=y=2故x≥a时，gx图象为双曲线x2a24由x2a2即gx部分的渐近线方程为y=2x−a又a∈0,2,即ℎx=令gx=2x2−ax=0且函数gx在a,+∞故有1a<a3a>a当a<0时，则2即函数gx=2由x2−ax≥0，可得x≥0或当x≥0时，则ax−2<0，则2即4x2−4ax=当a=−2时，即4x−1=0，即x=1当a∈−2,0，x=−12+a<0(负值舍去当a∈−∞,2时，x=−12+a即当a∈−2,0时，2x则当a∈−2,0时，2x当a∈−2,0,且由函数ℎx=ax−3,x≤2a1−ax,x>2a关于且函数ℎx在2a,同理可得：x≤a时，gx图象为双曲线x2a24gx部分的渐近线方程为y=−2x+a又a∈−2,0,即ℎx=令gx=2x2−ax=0且函数gx在−∞,a故有1a>a3a<a综上所述，a∈故−15.【正确答案】解：(1)在△ABC中，sinA>0，sinB>0.

因为(a−b)(sinA+sinB)=0，sinA+sinB>0，

所以a−b=0，即a=b，sinA=sinB.

因为233−cb=cosCcosB，所以233−sinCsinB=cosCcosB，

即sinCsinB+cosCcos本题考查了利用正弦定理解三角形、三角形面积公式和三角恒等变换，属于中档题.

(1)易得a=b，sinA=sinB，由正弦定理得233−sinCsinB=cosCcosB，再利用三角恒等变换得16.【正确答案】解：(1)当n=1时，T1=a1，所以2T1当n≥2时，an=∴Tn是以T1∴Tn(2)当n=1时，T1当n≥2时，an综上，an=∴解法一：Sn=12S由①-②得1=2−1∴解法二：bn∴

本题考查错位相减法求和，裂项相消法求和，等差数列的通项公式，属于一般题.

(1)当n=1时求出T1=a1，当n≥2时，由(2)由(1)求出的an，即可求出bn，解法一：由错位相减法求出即可；解法二：先将17.【正确答案】解：(1)取BC的中点O，连接OA1，OB1.

因为侧面BCC1B1是菱形，∠B1BC=60∘，所以△B1BC是正三角形，

因为O是BC中点，所以BC⊥OB1.

因为O是BC中点，A1B=A1C，所以BC⊥OA1，

又因为OA1∩OB1=O，OA1⊂平面OA1B1，OB1⊂平面OA1B1，

所以BC⊥平面OA1B1.

因为A1B1⊂平面OA1B1，所以BC⊥A1B1.

因为斜三棱柱ABC−A1B1C1，所以AB//A1B1，所以AB⊥BC.

(2)因为AB⊥A1C，AB⊥BC，A1C∩BC=C，A1C⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，

所以AB⊥平面A1BC，因为A1O⊂平面A1BC，所以AB⊥A1O.

又因为A1O⊥BC本题考查线面垂直的判定与性质、平面与平面所成角的向量求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

(1)利用线面垂直的性质定理进行证明；

(2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用向量法进行求解．18.【正确答案】解：(1)由两圆的方程知：圆心分别为C1(−1,0)，C2(1,0)，即F1(−1,0)，F2(1,0)，

∴b2+1=4，解得：b2=3，∴C1:x24+y23=1(y≤0).

(2)由题意易知当C与A2，D与A1同时重合时，

CD取得最大值为1+c+a=1+1+2=4.

(3)由题意知：|MN|+|PQ|=|MF1|+|PF2|+2；

∵l1//l2，∴由对称性可知：|MF1|+|PF2|为椭圆x本题考查直线截椭圆所得弦长最值的求解问题以及求椭圆的标准方程，属于中档题．

(1)由圆的方程可确定圆心坐标，即椭圆焦点坐标，进而根据椭圆a，b，c关系求得方程；

(2)由圆与椭圆的几何性质，易得当C与A2，D与A1同时重合时，CD取得最大值，即可得答案；

(3)根据对称性将问题转化为求解椭圆x24+19.【正确答案】解：(I)记事件Mi为“A，B通过第一次加密后字节1的个数为i”，i=0，1，2，

事件N为“A，B通过第二次加密后字节1的个数为2”，

则P(M0)=P(M2)=(12)2=14，P(M1)=2×(12)2=12，P(N|M0)=19，P(N|M1)=29，P(N|M2)=49，

则P(N)=P(M0)P(N|M0)+P(M1)P(N|M1)+P(M2)P(N|M2)=14，

故P(M2|N)=P(M2N)P(N)=P(M2)P(N|M2)P(N)=49.

本题考查全概率公式，离散型随机变量的均值，贝叶斯公式，对数式的化简求值与证明，错位相减法求和，属于难题.

(Ⅰ)设事件，利用条件概率和全概率公式即可求解;

(Ⅱ)求出X的所求取值和对应概率，由信息熵公式即可求解;

(Ⅲ)求出E(Y)=(1−p)020.【正确答案】解：(1)令g(x)=f(x)−x=exe−x，求导得g'(x)=1eexe−1，令g'(x)=0，可得x=e，

当x∈(−∞,e)，g'(x)<0，当x∈(e,+∞)，g'(x)>0，

所以g(x)min=g(e)=0，所以g(x)有唯一零点，

所以集合A={x|f(x)=x}中有且仅有一个元素;

(2)(i)假设f(x)存在完美区间为[m,n]，则f(m)=m，f(n)=n，

即方程f(x)=x在(0,+∞)上有两个不同的实根，

所以(a+1)x−1x+2lnxe2=x在(0,+∞)上有两个不同的实根，

即a=1x2−2lnxe2x，令t=1x，则t>0，于是a=t2+2e2tlnt，(t>0)有两个不同的实根.

令g(t)=t2+2e2t