重难点01 空间向量解决动点探究问题（满分技巧+10种热点题型+限时检测）

重难点01空间向量解决动点探究问题一、与空间向量有关的探索性问题一类是探索线面位置关系的存在性问题，即线面的平行与垂直，另一类是探索线面的数量关系的存在性问题，即线面角或为面交满足特定要求是的存在性问题。二、利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路：（1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。（2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。三、动点的设法（减少变量数量）在解决探索性问题中点的存在性四，经常需要设出点的坐标，而(x,y,z)可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大。为了减少变量数量，用以下设法。1、直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；依据：根据平面向量共线定理—若，使得【示例】已知，，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，方法如下：，因为在上，所以∴，所以可设点.2、平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标。依据：平面向量基本定理—若，不共线，则平面上任意一个向量，均存在，，使得【示例】已知，，，则平面上某点坐标可用两个变量表示，方法如下：，，故，即所以可设点.【题型1线线平行中的动点探究】【例1】（2023·全国·高二课时练习）如图，在四面体ABCD中，E是的中点．直线AD上是否存在点F，使得？【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形．，，且，，．若M是棱PA的中点，则对于棱BC上是否存在一点F，使得MF与PC平行．【变式1-2】（2023秋·广东广州·高一校考期中）如图，在几何体中，平面平面.四边形为矩形.在四边形中，.（1）点在线段上，且，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（2）若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．（1）若，求该几何体的体积；（2）若AE垂直PD于E，证明：；（3）在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．【题型2线面平行中的动点探究】【例2】（2023秋·云南大理·高二校考阶段练习）如图所示，正四棱锥为侧棱上的点，且.（1）求证：；（2）在侧棱上是否存在一点,使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【变式2-1】（2022秋·福建厦门·高二校考阶段练习）如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在线段上，且满足.

（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）在线段是否存在一点，使得平面，若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．（1）求；（2）劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明．【变式2-3】（2022秋·北京·高二统考期末）如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使得直线平面?

若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【题型3面面平行中的动点探究】【例3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．【题型4线线垂直中的动点探究】【例4】（2023秋·河北邢台·高二校联考阶段练习）如图，在所有棱长都为2的正三棱柱中，为的中点．

（1）用以为空间的一组基底表示向量．（2）线段上是否存在一点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．【变式4-1】（2023秋·上海·高二校考阶段练习）设常数．如图在矩形中，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是．【变式4-2】（2023秋·广东东莞·高二校考阶段练习）在长方体中，．是线段上的点．（1）若，求证：平面．（2）若，在线段上是否存在点．使，若存在．求的取值范围；若不存在，请说明理由．【变式4-3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点．（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论．【题型5线面垂直中的动点探究】【例5】（2023秋·福建厦门·高二校考阶段练习）如图，在矩形和中，，，，，，，记.（1）将用，，表示出来，并求的最小值；（2）是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【变式5-1】（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点．（1）求证：平面；（2）平面内是否存在点，使平面？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【变式5-2】（2023秋·山西吕梁·高二统考阶段练习）如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且.

（1）若点满足，求证：平面；（2）底面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.【变式5-3】（2023·全国·高二专题练习）如图所示的几何体中，平面平面为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，.

（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点满足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【题型6面面垂直中的动点探究】【例6】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，.设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由

【变式6-1】（2023秋·广东东莞·高二校考阶段练习）在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.（1）求与平面所成角的大小；（2）在线段上是否存在点（不与端点、重合），使平面与平面垂直?若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由.【变式6-2】（2023秋·山东聊城·高二校考阶段练习）如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，．（1）求证：平面．（2）线段上是否存在点M，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【变式6-3】（2023秋·福建福州·高二校考阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.（1）求证：平面；（2）判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【题型7线线角中的动点探究】【例7】（2023·全国·高二专题练习）已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA和EF所成的角的大小为30°，则线段AF长的取值范围是.【变式7-1】（2023·全国·高二专题练习）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，且，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）在棱A1B1上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．【变式7-2】（2023秋·高二课时练习）如图，在正三棱柱中，所有的棱长均为2，M是边的中点，则在棱上是否存在点N，使得与所成的夹角为？【变式7-3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，F，G分别是PB，AD的中点．（1）求证：平面PCB；（2）在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60°？若存在，求出M点的位置，若不存在，请说明理由．【题型8线面角中的动点探究】【例8】（2023秋·河北石家庄·高二校考阶段练习）在三棱台中，平面，，，分别为，的中点．（1）证明：∥平面．（2）若，在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由．【变式8-1】（2023秋·辽宁大连·高二校联考阶段练习）如图所示，等腰梯形ABCD中，∥，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使得D到达点P的位置（平面ABCE）．（1）证明：平面POB；（2）若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，确定Q点位置；若不存在，说明理由．【变式8-2】（2023秋·陕西宝鸡·高二校考期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点．

（1）求证：平面平面．（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由．【变式8-3】（2023秋·浙江温州·高二校考阶段练习）已知几何体，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上．（1）求证：；（2）是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．【题型9二面角中的动点探究】【例9】（2023秋·北京·高二校考阶段练习）在四棱柱中，平面平面，，底面是边长为的正方形，.

（1）求直线与平面所成角的大小；（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【变式9-1】（2023秋·山东泰安·高二校考阶段练习）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，．

（1）证明：平面；（2）在线段（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由．【变式9-2】（2023秋·河北沧州·高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，．（1）求证：平面平面；（2）棱上是否存在点M，使得二面角的大小为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【变式9-3】（2023秋·辽宁丹东·高二校考阶段练习）如图，在三棱台中，若平面，为中点，为棱上一动点（不包含端点）.（1）若为的中点，求证：平面.（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由.【题型10空间距离中的动点探究】【例10】（2023·全国·高二专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，.（1）求四棱锥的体积；（2）是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由.【变式10-1】（2022秋·黑龙江大庆·高二校考期末）图是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图.（1）求证：平面平面；（2）在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由.【变式10-2】（2022秋·山东淄博·高二校联考阶段练习）如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，为矩形，，.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）证明：在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为2，若存在，求的值.不存在,请说明理由.【变式10-3】（2023·全国·高二专题练习）如图，三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3.（1）求证：平面平面；（2）若点为棱的中点，线段上是否存在一点，使得到平面的距离与到直线的距离之比为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由.（建议用时：60分钟）1．（2022秋·辽宁沈阳·高三校考期中）如图，在多面体中，平面平面，，，，，．（1）求平面与平面所成二面角的正弦值；（2）若是棱的中点，对于棱上是否存在一点，使得．若存在，请指出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．2．（2022·广东江门·统考模拟预测）如图，在正四棱锥中，，，P在侧棱上，平面.（1）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（2）侧棱上是否存在一点E，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.3．（2022春·江苏徐州·高二校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，．（1）求直线与直线所成角的余弦值．（2）若在线段上存在一点D，且=t，当时，求t的值．4．（2023春·新疆·高二校考开学考试）如图，在四棱锥中，已知四边形为菱形，，为正三角形，平面平面.（1）求二面角的大小；（2）在线段SC（端点S，C除外）上是否存在一点M，使得？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.5．（2022秋·广东茂名·高二校联考期末）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD折起到△BDC′的位置，如图2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA=.图1

图2（1）求平面FBC′与平面FBA夹角的余弦值；（2）在线段AD上是否存在一点M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由.6．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知四棱