江西省抚州市临川区第一中学2025届高考仿真模拟数学试卷含解析

江西省抚州市临川区第一中学2025届高考仿真模拟数学试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数的虚部是()A． B． C． D．2．如图，在平面四边形中，满足，且，沿着把折起，使点到达点的位置，且使，则三棱锥体积的最大值为（）A．12 B． C． D．3．设a，b，c为正数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不修要条件4．下列函数中，图象关于轴对称的为（）A． B．，C． D．5．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A． B． C． D．6．已知，满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（）A．4 B． C． D．7．复数在复平面内对应的点为则（）A． B． C． D．8．设复数满足，则（）A． B． C． D．9．设椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（）A． B． C． D．10．已知数列为等差数列，且，则的值为（）A． B． C． D．11．已知是虚数单位，则（）A． B． C． D．12．已知m为实数，直线：，：，则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，若关于的方程有实数解，则实数的取值范围_____．14．设，则“”是“”的__________条件.15．曲线在点处的切线方程为________.16．若函数在区间上恰有4个不同的零点，则正数的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知.（1）若是上的增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.18．（12分）设数列是等差数列，其前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.19．（12分）已知函数的图象在处的切线方程是.（1）求的值；（2）若函数，讨论的单调性与极值；（3）证明：.20．（12分）已知关于的不等式解集为（）.（1）求正数的值；（2）设，且，求证：.21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点，满足平面.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设，，若为棱上一点，使得直线与平面所成角的大小为30°，求的值.22．（10分）已知某种细菌的适宜生长温度为12℃~27℃，为了研究该种细菌的繁殖数量（单位：个）随温度（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度/℃14161820222426繁殖数量/个2530385066120218对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：20784.11123.8159020.5其中，.（1）请绘出关于的散点图，并根据散点图判断与哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量关于温度的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表格数据，建立关于的回归方程（结果精确到0.1）；（3）当温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二成估计分别为，，参考数据：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】因为，所以的虚部是，故选C.2、C【解析】

过作于，连接，易知，，从而可证平面，进而可知，当最大时，取得最大值，取的中点，可得，再由，求出的最大值即可.【详解】在和中，，所以，则，过作于，连接，显然，则，且，又因为，所以平面，所以，当最大时，取得最大值，取的中点，则，所以，因为，所以点在以为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，所以的最大值为椭圆的短轴长的一半，故最大值为，所以最大值为，故的最大值为.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.3、B【解析】

根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：，，为正数，当，，时，满足，但不成立，即充分性不成立，若，则，即，即，即，成立，即必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件，故选：．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．4、D【解析】

图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.【详解】图象关于轴对称的函数为偶函数；A中，，，故为奇函数；B中，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；C中，由正弦函数性质可知，为奇函数；D中，且，，故为偶函数.故选：D.【点睛】本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法：对于函数的定义域内任意一个都有，则函数是奇函数；都有，则函数是偶函数(2)图象法：函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称．5、B【解析】

根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值．【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为，∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，且球半径为，∴三棱锥外接球表面积为，∴当且仅当，时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为．故选B．【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．6、D【解析】试题分析：先画出可行域如图：由，得，由，得，当直线过点时，目标函数取得最大值，最大值为3；当直线过点时，目标函数取得最小值，最小值为3a；由条件得，所以，故选D.考点：线性规划.7、B【解析】

求得复数，结合复数除法运算，求得的值.【详解】易知，则.故选：B【点睛】本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.8、D【解析】

根据复数运算，即可容易求得结果.【详解】.故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.9、C【解析】

连接，为的中位线，从而，且，进而，由此能求出椭圆的离心率.【详解】如图，连接，椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B在第二象限，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点为的中位线，，且，，解得椭圆的离心率.故选：C【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.10、B【解析】

由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得．【详解】解：由等差数列的性质可得，解得，，故选：B．【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．11、B【解析】

根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】.故选B【点睛】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.12、A【解析】

根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0满足l1∥l2，即充分性成立，当m=0时，两直线方程分别为y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不满足条件．当m≠0时，则l1∥l2⇒，由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由得m≠2，则m=1，即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件，故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题也可以利用下面的结论解答，直线和直线平行，则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先求出，从而得函数在区间上为增函数；在区间为减函数．即可得的最大值为，令，得函数取得最小值，由有实数解，，进而得实数的取值范围．【详解】解：，当时，；当时，；函数在区间上为增函数；在区间为减函数．所以的最大值为，令，所以当时，函数取得最小值，又因为方程有实数解，那么，即，所以实数的取值范围是：．故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，属于中档题.14、充分必要【解析】

根据充分条件和必要条件的定义可判断两者之间的条件关系.【详解】当时，有，故“”是“”的充分条件.当时，有，故“”是“”的必要条件.故“”是“”的充分必要条件，故答案为：充分必要.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，可利用定义来判断，也可以根据两个条件构成命题及逆命题的真假来判断，还可以利用两个条件对应的集合的包含关系来判断，本题属于容易题.15、【解析】

求导，得到和，利用点斜式即可求得结果.【详解】由于，，所以，由点斜式可得切线方程为.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.16、；【解析】

求出函数的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间上，第四个零点在区间外即可．【详解】由，得，，，，∵，∴，解得．故答案为：．【点睛】本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间上．由此可得的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)三个零点【解析】

(1)由题意知恒成立,构造函数，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；（2）当时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证，.【详解】（1）由得，由题意知恒成立，即，设，，时，递减，时，，递增；故，即，故的取值范围是.（2）当时，单调，无极值；当时，，一方面，，且在递减，所以在区间有一个零点.另一方面，，设，则，从而在递增，则，即，又在递增，所以在区间有一个零点.因此，当时在和各有一个零点，将这两个零点记为，，当时，即；当时，即；当时，即：从而在递增，在递减，在递增；于是是函数的极大值点，是函数的极小值点.下面证明：，由得，即，由得，令，则，①当时，递减，则，而，故；②当时，递减，则，而，故；一方面，因为，又，且在递增，所以在上有一个零点，即在上有一个零点.另一方面，根据得，则有：，又，且在递增，故在上有一个零点，故在上有一个零点.又，故有三个零点.【点睛】本题考查函数的零点，导数的综合应用．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．18、（1）（2）见解析【解析】

（1）设数列的公差为，由，得到，再结合题干所给数据得到公差，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用放缩法证明不等式即可；【详解】解：（1）设数列的公差为，∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∴.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的计算，放缩法证明数列不等式，属于中档题.19、（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；（3）见解析.【解析】

（1）切点既在切线上又在曲线上得一方程，再根据斜率等于该点的导数再列一方程，解方程组即可；（2）先对求导数，根据导数判断和求解即可.（3）把证明转化为证明，然后证明极小值大于极大值即可.【详解】解：（1）函数的定义域为由已知得，则，解得.（2）由题意得，则.当时，，所以单调递减，当时，，所以单调递增，所以，单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值.（3）要证成立，只需证成立.令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以的极大值为，即由（2）知，时，，且的最小值点与的最大值点不同，所以，即.所以，.【点睛】知识方面，考查建立方程组求未知数，利用导数求函数的单调区间和极值以及不等式的证明；能力方面，考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；试题难度大.20、（1）1；（2）证明见解析.【解析】

（1）将不等式化为，求解得出，根据解集确定正数的值；（2）利用基本不等式以及不等式的性质，得出，，，三式相加，即可得证.【详解】（1）解：不等式，即不等式∴，而，于是依题意得（2）证明：由（1）知，原不等式可化为∵，∴，同理，三式相加得，当且仅