数学-河北省金太阳质检联盟2024-2025学年高三上学期12月第三次联考试题和答案

注意事项：考号2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。考号3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x²-7x+10≤0},B={x|x=2n,n∈Z},则A∩B=A.{2,4}B.{3,5}C.{2,3,4}2.已知复数z=1+2i,则复数z²-8i在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知a,β是两个互相平行的平面，L,m,n是三条不重合的直线，且l⊥a,mCa,nEβ,则4.若两个单位向量a,b满足a|-3b|=|2a+b|,则a与b夹角的余弦值为AA5.如图，侧面展开图为扇形AOD的圆锥和侧面展开图为扇环ABCD的圆台的体积相等，且OB=λOA,则λ³=6.一条光线从点P(0,4)射出，经直线x+y-3=0反射后，与圆C:(x-5)²+y²=1相切于点M,则光线从P到M经过的路程为7.已知正项等差数列{a,}满A.4048B.2024【高三数学第1页(共4页)】·25-233CA.(-～,0)B.(-0,0)U[2,+C.f(x)的最小正周期为πD.f(x)的图象关于直线x=π对称A.m的取值范围为[2√2-2,+～]B.n的取值范围为(-0,-2√2-2)列{A。}的特征根.2024—2025学年高三(上)质检联盟第三次月考数学参考答案*=λ³V₁.由题可知V₂=2V₁,··确.,所以f(x)的图象不关于直线x=π对称，D不正确.,显然f(x)=f(x+2π),且f(0)=f(π)11.ACD由曲线y=√4x-x²,得y≥0,则(x-2)²+y²=4(y≥0),所以曲线表示以M(2,0)为圆心，半径r=2的半圆(x轴及以上部分).x-y+n=0之间.当l₁与曲线相切时，,解得m=2√2-2,则m的取值范围为[2√2-2,十～],当l₂经过点(4,0)时，4+n=0,解得n=-4,则n的取值范围为(-0,-4],故A正确，B错误.设t=x-y+3,则x-y+3-t=0,当直线过(4,0)时，t取得最大值7,当直+n|=m-n≥2√2-2-(-4)=2√2+2,D正确.12.21因为{a,}是等比数列，所以a₁a₄=a₂a₃=72.又a₂+a₃=18,所以或(舍去),则{an}的公比,从而S₃=21.2tanβ≥2√2,当且仅当时，等号成立，从而tan(α-β)的最大值14.6π如图，过点C作CE//BA且CE=BA,连接AE,DE,过点D作DF//EA且DF=EA,连接AF,得到三棱柱ABF-DEC.因为AB⊥BC,BC⊥CD,所以三棱柱ABF-DEC为直三棱柱.由AD²=AE²+ED²=BC²+ED²,得ED²=2,则ED²=EC²+CD²,从而EC_CD,则三棱柱ABF-DEC外接球的半径,表面积S=4πR²=6π,即该四··面体的外接球的表面积为6π.因为a=2b,所以6b²=3c²,即c=√2b3分解,即λ的取值范围).…………………13分16.解：(1)若甲抽中2次银奖，则由甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额，可知乙若甲至少抽中1次金奖，则甲抽奖获得的现金金额一定大于乙抽奖获得的现金金额，此时概………4分故甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率.……6分(2)记甲、乙两人抽奖获得的现金金额分别为Y,Z,则X=Y+Z.由题可知.。,……………9分则X的分布列为XP··……………13分又平面CDF⊥平面ABCD,平面CDF∩平面ABCD=CD,所以OF⊥平面ABCD.………………2分因为AE⊥平面ABCD,所以OF//AE3分又OF大平面ADE,AEC平面ADE,所以OF//平面ADE4分因为CD=2AB,所以AB=OD,又OD//AB,所以四边形ABOD为平行四边形，则OB//AD.………………5分因为OB平面ADE,ADC平面ADE,所以又OB∩OF=0,所以平面OBF//平面ADE7分设AB=1,则B(1,0.0),D(0,2,0),E(0.0.1),F(1,2,1),……10设平面BEF的法向量为m=(x₁,yi,z₁),设平面DEF的法向量为n=(x2,y₂,z₂),则由,则平面BEF与平面DEF的夹角的余弦值为…………15分18.解：(1)由f(x)=x,,………………1分故f(x)在(0,+一)上的不动点集为{4}.…………3分一个零点，即g(x)在)上有且仅有一个不动点.………………5分因为事,所以p(x))上有且仅有一个零点，即g(x)在上有且仅有一个不动点.…6分,使得g'(xo)=0,因为(0)=0,所以要使得φ(x))上有且只有一个实数根，则解(3)由题可知，方程x³-3m²x+1=0在R上存在3个实数根x₁,x₂,x3,11分则x³-3m²x+1=(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)=x³-(x₁+x₂+x₃)x²+(x₁x₂+x₂x₃+令H(x)=x³-3m²x+1=0,则H'(x)=3x²-3m²,当x∈(-○,-m)和(m,十0)时，则………15分因为x²+x²+x²=(x₁+x₂+x₃)²-2(x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁)=6m²,………………16所以x²+x²+x}的取值范围为(332,+～).…………17分19.解：(1)因为点列{A,}的特征根为1和2,所以{A,}的特征方程为x²=3x-2,所以OA,+2所以OB=2”OB₁=2”-¹(OA₂-OA₁)=2所以OC=OC₁=OA₂-2OA₁=(-2,1),所以点C。的坐标为(-2,1)………………5分f,=3(n⁴+4n³-6n²+4n-1)2"-¹=3[2n⁴-(n⁴-4n³+6n=3[n⁴2”—(n-1)⁴2”-1]………………9分所以S,=3[1⁴×2¹-o⁴×2°+2⁴×2²-1⁴×2¹+…十n⁴2"—(n-1)42”-¹]=3n⁴2"…………2"-¹-1),所以点A,的坐标为(2-2"-¹,2"-¹-1)……12分设2°⁻¹=t,2⁴=k,则¹,2"+2-¹-1)=(2-2“"-1+2,2"-1+2d-1)=(设,则2-tk²=p(2-tk)-