离散型随机变量的均值课件（2）高二下学期数学人教A版选择性

离散型随机变量的均值（2）

复习引入1.离散型随机变量的均值或数学期望一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…XnPp1p2…pi…Pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn加权平均数平均水平2.两点分布的期望一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝____.p3.离散型随机变量的均值的性质如果X是一个随机变量，则E(aX＋b)＝__________.aE(X)＋b例1：

猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示.规则如下:按照A,B,C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.例题歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000课本65页

分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，则A,B,C相互独立.解：由题意可得，X的可能取值为0，1000，3000，6000，分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，则A,B,C相互独立.解：由题意可得，X的可能取值为0，1000，3000，6000，X的分布列如下表所示：X0100030006000P0.20.320.2880.192X的均值为思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？如果按ACB的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值是多少？解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，则A,B,C相互独立X0100040006000P0.20.480.1280.192X的分布列如下表所示：按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值最大.X0100040006000P0.20.480.1280.192X的分布列如下表所示：X的均值为某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．解：X的取值分别为1,2,3,4.X＝1表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.练习X＝3表明李明第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×1＝0.024.所以李明一年内参加考试次数X的分布列为X1234P0.60.280.0960.024所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.例题例2：根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案:方案1运走设备，搬运费为3800元；方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；方案3不采取措施.工地的领导该如何决策呢?课本65页分析：决策目标为总损失（即投入费用与设备损失之和）越小越好.根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如下表所示.没有洪水概率0.010.250.74总损失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.采用方案1,无论有无洪水，都损失3800元.因此采用方案2,遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元.因此采用方案3,有∴因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”:如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小.不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.解：课本67页1.甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为甲机床次品数的分布列乙机床次品数的分布列X10123P0.40.30.20.1X2012P0.30.50.2哪台机床更好?请解释你所得出结论的实际含义.由此可知，1h内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产0.9个次品，所以乙机床相对更好.练习随堂检测解析：试验次数X的可能取值为1,2,3，所以X的分布列为3.在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值.

解：由题意得，X可能的取值为1,2,3,4,5，则X12345PP(X=4)=，P(X=5)=.P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，

故X的分布列为X12345P由离散型随机变量均值的定义知E(X)=(1+2+3+4+5)×=3.故X的分布列为4.某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，若是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果某嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立.求该嘉宾在该环节中所得分数的分布列与均值.解：根据题意，设X表示该嘉宾所得分数，则X的可能取值为－4，1，3，6.所以X的分布列为5.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为X12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.Y表示经销一件该商品的利润.(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求Y的分布列及均值E(Y).X12345P0.40.20.20.10.1解：Y的可能取值为200元，250元，300元.P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，因此Y的分布列为Y200250300P0.40.40.2E(Y)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元).课堂小结 1.