第十四、十五讲、直线与圆 高中数学

第十四、十五讲、直线与圆

知识回顾

一、直线的倾斜角、斜率和方程

1、直线方程的五种形式：点斜式:斜截式;两

点式;截距式;一般式;

2、两直线位置关系的判定：（1）设两条直线44的斜率分别为匕，白，倾斜角分别为%,4,则34时，%=%,

从而有o这是对于不重合的直线4,4而言的，如果4,4是否重合不能确定时，匕=心，可

以得到或o

（2）若两条直线都有斜率，且44的斜率分别为kt,k2,贝〃。。若/,的斜率为0,当4，12

时，（的斜率,其倾斜角为。

3、①4至IJ4的角：设直线4和4的斜率分别为匕&，且4和4不垂直，4至几的角为。，贝I有tane=£",4至U

J.I1^2

4的角。的取值范围是。汨；②4与4的夹角：设直线4和4的斜率分别为《，&，且4和4不垂直，4与，2的夹角

k?一履

为9,贝tan夕=,4与4的夹角的取值范围是曲^]。

1+左2K

5、直线系方程：具有某种共同性质的所有直线的集合叫直线系方程，常见的直线系方程有：

①平行直线系方程：与Av+By+C=0平行的所有直线可设其方程为Ax+By+C^O；

②垂直直线系方程：与瓜+&+。=。垂直的所有直线可设其方程为&-4）；+。1=0；

③共点直线系方程：过一定点（%（）,%）的所有直线方程可表示为y-y0=k（x-x0）和%=%；

④交点直线系方程：设4:4工+3]丁+£=0与4:++Q=0是两相交直线，则经过它们的交点P（x0,y0）的直

线可表不为：TAJX+BJJ+CJ++B2y+C2）=0,（X为参数，该方程不包括4）

6、中点公式：已知片（西,乂）、6（x2,%）,尸（x,y）是线段々巴的中点，则彳="上；y=汽匹；

7、重心公式：在AABC中，A（^,yt）,B（X2,y2）,C（x3,y3）,重心为G（x,y）,则x=土玉士且；/=，"+%+%。

8、两点间距离公式：已知平面上两点4&,乂），£（%，%），则由闾=«七一4）2+（%。

9、点到直线的距离公式：点P（x0,%）到直线/:Ax+By+C=0的距离d=体%及”>。

<解+B?

10、两条平行线的距离公式：两条平行线4：Av+By+G=0与/2：Av+3v+G=0的距离"=隼二M。

7A2+B2

二、圆的方程

1、圆的标准方程：设圆的圆心是C（a,b）,半径为r,则圆的标准方程是（x-“『+（y-刀2=/

22

2、圆的一般方程：7]^X+y+Dx+Ey+F=0,其中须满足。?+E?-4/>0,圆心为（一名-刍。

3、直径式方程：若圆的一条直径的两个端点是（国,％）,（x2,y2）,则此圆的方程为：0-%1）（尤-兄2）+（丁-必）0->2）=0

4、圆的参数方程：圆心在句力），半径为r的圆的参数方程为F=：+'.cos?,。为参数。

[y=。+rsin”

三、直线与圆以及圆与圆的位置关系

1、圆的切线方程：过圆（%-a）2+（y-。）2=，上任意一点尸（%,先）,圆的切线方程为：（/—〃）（%—〃）+（%—力（,一力=/

2、切点弦方程：圆入2+,2=r2,圆外一点为（%,为）,则过此点的两条切线与圆相切，切点弦方程为尤0兄+为丁=/。

专题三第十四十五讲

3、圆系方程：①以色))为圆心的圆系方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r^0)；②过圆C：3+产+瓜+劭+尸=0和直线

22

l：Ax+By+C=O的交点的圆的方程为x+y+Dx+Ey+F+^AX+By+C)=0③过两圆Q：d+9+D/+与>+6=0和

2222

C2:x+y+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程：+y+Dxx+Exy+Fl+2(x+9+3无+用〉+居)=。，但不包括

G，几为参数，当4=-1时，/：(2-乌口+(片-£2)、+(4-用)=0为两圆公共弦所在的直线方程。其中当两圆相

切时，/为过两圆公共切点所在直线的方程。

典型例题

例题1、直线or+y+1=0与连接A(2,3),2(-3,2)的线段相交，则a的取值范围是()

A>[—1,2]B、[2,+oo]|J(—oo,—1)C、[—2,1]D、[1,+oo]|J(^>o,—2)

例题2、求直线4：7x-y+4=0到/]：x+y-2=0的角平分线的方程

例题3、已知直线/经过点P(3,l),且被两平行直线、：x+y+l=0和/z：x+y+6=0截得的线段之长为5,求直线/

的方程。

例题4、直线2x+3y-6=0交x,y轴与A、B两点，试在直线y=—x上求一点[,使山闻+山用最小，在y=x上

求一点尸°，使怛A|-隹圳最大，求处两最值及山闾的值。

例题5、已知点”(3,5),在直线：x-2y+2=0上和y轴上各找一点P和Q,使AMPQ的周长最小。

2

例题6、一条直线被两直线4：4x+y+6=O,/2：3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好为坐标原点，求这条直线的

方程。

例题7、如图，已知圆M：d+（y-2>=1,Q是x轴上的动点，QA,QB分别切圆M于A,B两点。（1）如果

|A8|=殍，求直线MQ的方程。（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程。

巩固训练题

一、选择题

-8--

专题三第十四十五讲

1、直线/过点A(2,l),B(l,m2),那么直线/的倾斜角a的取值范围是)

A、[0㈤B、［。中U年万)C、卜D、［吟里㈤

2、直线2x-y+3=0关于定点M(-l,2)对称的直线方程是)

A、2x-y+l=0B、2x-y+5=0

C、2x—y—l=0D、2x—y—5=0

3、P(-2,-2),e(0-1),取一点R(2,〃z),使|PR|+|R0最小,则m=)

4

A、B、0C、-1D、

23

4、方程(a-l)x-y+2a+l=0(awR)所表水的直线是)

A、恒过定点(-2,3)B、恒过定点(2,3)

C、恒过定点(-2,3)和(2,3)D、都是平行线

5、已知动点P(x,y)满足5向-Ip+(y—2)2=田十分-11］,则P点的轨迹是

A、直线B、抛物线C、双曲线D、椭圆

6、圆：12+/一4%+6)=。和圆/+>2一6兀=。交于A,B两点，则AB的垂直平分线的方程是()

A、x+y+3=0B、2x-y-5=0C、3x-y-9=0D、4x-3y+7=0

7、过定点(1,2)作两直线与圆/+/+丘+2尸/-15=0相切，则k的取值范围是)

A、k>2B、—3<k<2C、左>2或左<-3D、以上皆不对

8、圆(x-l)2+(y+的［=1的切线方程中有一个是)

A、x-y=0B>x+y=0C、x=0D、y=0

9、已知圆(％-3)2+丁=4和直线y=如的交点分别为P,Q两点，O为坐标原点，^\\OP\-\OQ\=()

B、工?

A、1+m2C、5D、10

l+m

10、与圆％2+(y+5)2=3相切，且纵截距和横截距相等的直线共有()

A、2条B、3条C、4条D、6条

填空题

11、直线y=—%•tana+2,a£,乃)的倾斜角是_________________________