第11讲 万有引力定律（解析版）-2024年高考物理一轮考点复习精讲精练

第11讲万有引力定律

目录

考点一天体质量和密度的计算....................................................1

考点二卫星运行参量的比较与计算...............................................2

考点三卫星变轨问题分析........................................................6

考点四宇宙速度的理解与计算...................................................11

考点五双星或多星模型.........................................................16

练出高分........................................................................21

考点一天体质量和密度的计算

I.解决天体(卫星)运动问题的基本思路

(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即

Mmv24z2r

=man="I：=mco-r=/〃0

(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即表示天体表面的重力加

速度).

2.天体质量和密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径已

由于,故天体质量M=吟，

天体长度p-y-a3-4兀GR

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期7和轨1道半径厂

①由万有引力等于向心力，即爷~「，得出中心天体质量M=会会；

②若已知天体半径R,则天体的平均密度

_M_M_371?

P=~V=4~=G7^;

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R,则天体密度"

=券.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度.

[例题1]（2023•昌平区二模）卡文迪什在1798年17卷《哲学学报》中发表他关于引力常量的测量

时，曾提到他的实验是为了确定出地球的密度。已知引力常量为G,要想估测地球的密度，只

需测得（）

A.地球的质量B.地球的耳径

C.近地卫星的运行周期D.地球表面的重力加速度

【解答】解：ABD、根据万有引力与重力的关系有甯=mg

解得M二^

可解得：P=y=^或P=^

可知只测得地球的质量、或地球的半径、或地球表面的重力加速度，均不能估测地球的密度，故

ABD错误；

C、对于质最为m的近地卫星，设其运行周期为T,根据万有引力提供向心力得:簧■=m串R

结合p=%=白’可得P=郭，可知已知G,只需测得近地卫星的运行周期’就能估测地球的

密度，故C正确。

故选：Co

[例题2]（2023•茂名二模）2022年11月29日我国“神舟十五号”载人飞船发射成功，并通过一系

列加速变轨后与距离地面400km的空间站交汇对接，万有引力常量为G,下列说法正确的是

一

、、、•，

、、J，

A.变轨前A是空间站，B是飞船

B.飞船的发射速度可能小于7.9km/s

C.完成对接后，飞船和空间站的运行周期大于24小时

D.若已知空间站的运行周期和地球半径，可以测量地球密度

【解答】解：A、飞船加速后将做离心运动，轨道半径增大，则变轨前A是飞船，B是空间站，

故A错误；

B、7.9km/s是最小的发射速度，可知飞船的发射速度大于7.9km/s,故B错误；

Mm47r2I3

C、根据万有引力提供向心力，G—=m—r,得T=2nJ法r，完成对接后，飞船和空间站的

轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，所以完成对接后，飞船和空间站的运行周期小于地球同

步卫星的运行周期24h,故C错误；

Mm47r2

D、根据地球半径和空间站距离地面的高度，可以得到空间站的轨道半径，由G▼=nB「，得

r2T2

M=^?,即可以求出地球的质量。由地球半径能求出地球的体积，因而能求出地球的密度，故

GTL

D正确。

故选：Do

[例题3]（2023•邢台模拟）宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，它的轨道距地心的距离等于地球半径

的k倍，它的运动周期为T,引力常量为G,则地球的平均密度p的表达式为（）

3

A3几k3兀一产

A.p=­B.P=~r-

GTZT

W+lf37r（k+l）3

D.p=

JP-GT71-GT-

47r247723

【解答】解：根据万有引力提供向心力可得:誓=m:y，解得中心天体的质量为：M=济r,

其中r=kR

根据密度的计算公式p=%,其中

联立解得：p二吟,故A正确、BCD错误。

GT2

故选：Ao

[例题4]（2023•赣州二模）2022年10月9日，我国将卫星“夸父一号”成功送入太阳同步晨昏物

道。从宇宙中看，卫星一方面可视为绕地球做匀速圆周运动，轨道平面与地球的晨昏分界线共

面，卫星轨道离地高度h七720km,周期Ti凫lOO分钟。另一方面卫星随地球绕太阳做匀速圆周

运动，周期T2=l年，卫星轨道平面能保持垂直太阳光线，如图所示。已知地球的半径为R,

引力常量为G,则下列表述正确的是（）

因此e越大，卫星运行的乂径越小，周期也越小，故A错误；

GMmv2

B.由万有引力提供向心力有——=m—

rLr

可得卫星的线速度为\，=闫

可知8越小，飞行轨道半径越大，速度越小，故B错误；

C.设地球的质量为M,卫星质量为m,周期为T。对于卫星，根据万有引力提供司心力得

GMm4n2

R

由于胃

sing

4n2R3

代入可得M=

GT2(sin^

由于引力常量G未知，因此不能测得地球的质量，故C错误;

D.由万有引力与重力的关系有空:=mg

R/

可得v=JgRsin?

已知飞行器线速度v可以得到重力加速度g,故D正确。

故选：Do

考点二卫星运行参量的比较与计算

1.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

*肄(近地时iM=仄

2.极地卫星和近地卫星

(])极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.

(2)近地卫星是在地球袤而附近环绕地球做勺速圆周运动的卫星，其运行的凯道半径可近似认为等干

地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s.

（3）两种卫星的就道平面一定通过地球的球心.

[例题6]（2023•漳州模拟）2022年7月24日，中国空间站间天实验舱发射成功。中国空间站组建

完成后，将从空间站中释放伴随卫星。如图所示，空间站在离地高度约400km的圆轨道绕地球

运行，伴随卫星在椭圆轨道上绕地球运行，P、Q分别为伴随卫星轨道的远地点和近地点，伴随

卫星在P处时位于空间站正上方，伴随卫星轨道半长轴与空间站轨道半径相等，仅考虑地球的

A.空间站的知速度小于地球同步卫星的角速度

B.空间站的线速度介于7.9km/s到11.2km/s之间

C.伴随卫星运行到P点时，线速度比空间站的大

D.伴随已星绕地球的运行周期与空间站绕地球的运行周期相等

【解答】解：A、卫星绕地球运行时，由等=m32r可得，3=再知轨道半径越小，角速度

越大，因此空间站的角速度大于地球同步卫星的角速度，故A错误：

B、第一宇宙速度是最大运行速度，因此空间站的线速度小于7.9km/s,故B错误；

C、伴随卫星过P点做近心运动，所以伴随卫星在P点线速度小于过P点的外切圆轨道的线速度。

由粤=血或，可得座可知外切圆轨道的线速度小于空间站的线速度。所以伴随卫星运

rzrY厂

行到P点时，线速度比空间站的小，故C错误；

D、由开普勒第三定律胃=k可知,伴随卫星绕地球的运行周期与空间站绕地球的运行周期相等，

故D正确。

故选：Do

[例题7]（2023•青羊区校级模拟）2022年10月7口，中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征

十一号海射运载火箭，采用“一箭双星”方式，成功将微厘空间低轨导航试验卫星发射升空，

卫星顺利进入预定凯道。设两颗卫星轨道在赤道平面上，运行方向相同，运动周期也相同，其

中a卫星为圆轨道，距离地面高度ha—2R,b卫星为椭圆轨道，近地点M距离地面高度为远地

点N距离地面高度的一半，地球表面的重力加速度为g，a卫星线速度大小为“，b卫星在近地

点M时线速度大小为在远地点N时线速度大小为丫3,地球半径为R，P点为两个轨道的交

点。下列说法正确的是（）

O

A.b卫星远地点N距离地心距离为

B.b卫星从N点运动到M点的时间为

C.VI>V2>V3

D.a卫星在P点受到地球的引力大于b卫星在N点受到地球的引力

【解答】解：A、设b卫星运行的椭圆轨道半长轴为ao,根据开普勒第三定律有：（2*尸=理

解得：ao=3R

设近地点M距离地面高度为ho，由几何关系有：ho+2ho+2R=2ao=6R

48

代入数据解得：%=4乩故b卫星远地点N距离地面高度为］R,故A错误;

B、对卫星a有：=m•（竿）2・3R

GMmf

在地球表面上的物体m'有：,2=，九'。

联立以上儿式解得：T=2工再

故卫星从点运动到点时间为：

bNMt=1r,故B正确;

C、同一椭圆轨道上从N点到M点，根据开普勒第二定律可知V2>V3.按离心运动的原理，卫星

bFhN点运动到P点时速度在增大，分析可知若在P点点火加速可进入圆形a轨道，可得vi>

v3；同理，根据近心运动的原理，卫星b在近地点M减速可进入以M点高度所在处的圆轨道，

根据万有引力公式可知当卫星围绕地球做圆周运动时轨道越高，速度越小，所以可知卫星a的速

度小于M点高度所在处的圆轨道的速度。即卫星b在近地点M的速度大于卫星a的速度，所以

有V2>V1>V3，故C错误；

D、根据万方引力公式，a、b两卫星在P点时到地球的距离相等，由于两卫星的质量关系未知,

所以无法判断受到地球引力大小关系，故D错误。

故选：Bo

[例题8]（2023•遂宁三模）“神舟十三号”飞船开始在半径为口的圆轨道1上运行，运行周期为

在A点通过变轨操作后进入椭圆轨道II运动，沿轨道II运动到远地点C时正好与处于半径为r3

的圆轨道III上的核心舱对接，A为椭圆轨道II的近地点.BD为椭圆轨道II的短轴。假设飞船质

量始终不变，关于飞船的运动，下列说法正确的是（）

A.沿轨道I运行时的机械能等于沿轨道II运行时的机械能

B.沿轨道I运动到A时的速率大于沿轨道II运动到C时的速率

C.沿轨道H运行的周期为?产票不

D.沿轨道I运动到A点时的加速度小于沿轨道II运动到B点时的加速度

【解答】解：A、匕船从轨道I转移到轨道II,需要在A点加速，机械能增加，则沿轨道I运行

时的机械能小于沿轨道n运行时的机械能，故A错误；

B、飞船在轨道I和轨道III上运行时，根据万有引力提供向心力，有G等=my,解得v=坪,

则知V[>V川。

飞船从轨道n转移到轨道in,需要在c点加速，则沿轨道II运动到c时的速率VHCVV川，则vi

>VI|O即知沿轨道1运动到A时的速率大于沿轨道II运动到C时的速率，故B正确；

立二”兰

,解得沿轨道运行的周期为故

C、根据开普勒第三定律有雪一瑶IIT2=TI

C错误；

D、由牛顿第二定律有G^?=ma,得加速度@=畿，A点到地心的距离比B点的小，所以沿轨

r2rL

道I运动到A点时的加速度大于沿轨道n运动到B点时的加速度，故D错误。

故选：Bo

[例题9]（2023•虹口区二模）探测器“夸父A”在距地球约150万公里的拉格朗日Li点，与地球

•起以相同的公转周期绕太阳做匀速圆周运动，用以监测太阳活动的发生及其伴生现象，则

A.“夸父A”处于平衡状态

B.在相同时间内，“夸父A”的位移相同

C.“夸父A”、地球绕太阳公转的向心加速度相同

D.“夸父A”绕太阳公转的加速度小于地球公转的加速度

【解答】解：A、“夸父A”绕太阳做匀速圆周运动，由合力提供向心力，处于非平衡状态，故A

错误；

B、在相同时间内，“夸父A”的位移大小相等，但方向不一定相同，所以位移不一定相同，故B

错误；

CD、“夸父A”在“拉格朗日Li点”和地球一起以相同的公转周期绕太阳做匀速圆周运动，故“夸

父A”和地球绕太阳做匀速圆周运动的角速度相同，由向心加速度公式a=rw2,可知“夸父A”

的公转半径比地球的小，则“夸父A”绕太阳公转的加速度小于地球公转的加速度，故C错误，

D正确。

故选：D。

[例题10]（2023•包头一模）如图甲，两小行星在同一平面内绕中心天体的运动可视为匀速圆周运动，

测得两小行星之间的距离■随时间变化的关系如图乙所示。下列说法正确的是（）（不考

虑两小行星之间的作用力）

A.a星的运转周期为T

B.两星的周期之比Ta：Tb=l：4

C.两星的线速度之比va：Vb=4：1

D.两星的加速度之比aa：ab=4：1

【解答】解：B、设a星距太阳的距离为口，b星距太阳的距离为建，raVri”根据图像有％+n>=

6r,n>-Ta=2r,解得ra=2r»rb=4r

两小行星均绕太阳做匀速圆周运动，设a星与b星的周期分别为Ta、Tb，根据开普勒第三定律有

|-解得^=壶'故B错误；

C、根据17=半，可得收■=LX2=它,故C错误；

TvbrbTa211

A、根据图像可知，经过时间T两小行星再次相距最近，a星比b星多转2TT角度，则有汽-等T

二2口,结隙=击’联立解得兀=（1一¥）7，故A错误；

D、根据G等=ma,可得。=管，可得aa：ab=4：1,故D正确。

故选：D。

考点三卫星变轨问题分析

1.当卫星的速度突然增大时，谭■吟:,即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离

原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由。=、偿可知其运行速度比原

轨道时减小.

2.当卫星的速度突然减小时，堂、〃,，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱

离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的就道稳定运行时由\产可知其运行速度比

原轨道时增大.

卫星的发射和回收就是利用这一原理.

［例题11］（2023•房山区一模）我国一箭多星技术居世界前列，一箭多星是用一枚运载火箭同时或先

后将数颗卫星送入轨道的技术。某两颗卫星释放过程简化为如图所示，火箭运行至P点时，同

时将A、B两颗卫星送入预定轨道。A卫星进入轨道I做圆周运动，B卫星进入轨道2沿椭圆

轨道运动，P点为椭圆轨道的近地点，Q点为远地点，B卫星在Q点喷气变轨到轨道3,之后绕

地球做圆周运动。下列说法正确的是（）

、、、，j3

Q

A.A卫星在P点的加速度大于BI1星在P点的加速度

B.A卫星在轨道1的速度小于B卫星在轨道3的速度

C.B卫星从轨道2上Q点变轨进入轨道3时需要喷气减速

D.B卫星沿轨道2从P点运动到Q点过程中引力做负功

【解答】解：A、两卫星在P点时，根据万有引力产生加速度，G^=ma

整理可得：a=G%

由于两卫星在P点到地心的距离相等，显然两卫星的加速度相同，故A错误；

B、由题知，轨道I和轨道3都是圆轨道，则有：G^=m^

整理可得：u=挥

由于B卫星在轨道3上运动的轨道半径大于A卫星在轨道1上运动的轨道半径，所以B卫星在

轨道3上运动的速度小于A卫星在轨道1上运动的速度，故B错误；

C、卫星从低轨道运动到高轨道，需要做离心运动，即在轨道相切点点火加速实现，所以B卫星

在Q点变轨进入轨道3时需要向后喷气加速，故C错误；

D、B卫星沿轨道2从P点运动到Q点过程中速度减少，则动能减小，故引力做负功，故D正

确。

故选：D。

［例题12］（2023•道里区校级三模）“大问一号”从地球发射后，在如图中所示的P点沿地火转移轨

道运动到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，地球、火星绕太阳轨道可视为

圆轨道。则“天问一号”（）

A.发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间

B.从P点转移到O点的时间小于6个月

C.在地火转移轨道运动时的速度均大「地球绕太阳的速度

D.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上的周期小

【解答】解:A.“天问一号”发射后脱离了地球引力的克缚，所以发射速度大于第二宇宙速度,

故A错误；

B.根据开普勒第三定律二=匕地球公转周期为12个月，“天问一号”在地火转移轨道的长轴

T2

轨道半径大于地球公转轨道半径，则其运行周期大于12个月，所以从P点转移到0点的时间大

于6个月，故B错误；

C.地火转移轨道Q点速度小于火星轨道Q点速度，而火星轨道Q点速度小于地球绕太阳的速

度，故C错误；

D.根据开普勒第三定律三=忆可知，环绕火星的停泊轨道长轴半径小于调相轨道长轴半径，故

在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上的周期小，故D正确。

故选：Do

［例题13］（2023•杭州二模）如图所示，是某火星探测器简化飞行路线图，其地火转移轨道是椭圆轨

道。假设探测器在近日点P点进入地火转移轨道，在远日点Q,被火星俘获。已知火星的轨道

半径是地球地火轨道半径的1.5倍，则转轨道（）

地火

转移

轨道

星

周期

转的

星公

于火

期大

的周

公转

地球

A.

增大

逐渐

速度

道后，

转移轨

入地火

测器进

B.探

期

公转周

火星的

期大于

上的周

移轨道

地火转

测器在

C.探

55天

间约2

的时

，经历

星俘获

到被火

从发射

探测器

D.

律有

三定

勒第

开普

.根据

：A

】解

【解答

3

3

r

r

丫火

丫地

2-

=^

"^2

火

地

；

错误

，故A

的周期

星公转

小于火

的周期

球公转

可知地

■火，

I•地＜1

因为

错误;

故B

减小，

度逐渐

功，速

力做负

万有引

道后，

转移轨

入地火

测器进

B.探

有

定律

第三

普勒

据开

C.根

=日

埠

r处

r八+

错误;

故C

周期，

星公转

小于火

的周期

轨道上

火转移

器在地

知探测