2024-2025学年江苏省名校协作体高一（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省名校协作体高一（上）月考数学试卷（12月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x||x|<4}，集合B={x∈N|x2<6}，则A∩B=A.{1,2} B.{0,1,2} C.{−2,−1,1,2} D.{−2,−1,0,1,2}2.命题“∃x∈R，使得x2+3x+2<0”的否定是(

)A.∀x∈R，均有x2+3x+2≤0 B.∀x∈R，均有x2+3x+2≥0

C.∃x∈R，有x23.设x∈R，则“|x−2|>3”是“x2−5x−6>0”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数f(x)=2xln|x|+1的部分图象大致为A. B. C. D.5.声强级，是指声强x(单位：W/m2)和定值α(单位：W/m2)比值的常用对数值再乘以10，即声强级d(x)=10lgxa(单位：A.135dB B.140dB C.145dB D.150dB6.已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)−f(x1)](x2−x1A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c7.定义运算“∗”：a∗b=b,a≥ba,a<b，则函数y=(−x2A.(−∞,3] B.(−∞,4] C.[0,+∞) D.(−∞,+∞)8.已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)的图像关于点(0,0)对称，对任意x1，x2∈[0,+∞)，都有f(x1)−f(x2A.a<−1或a>2 B.a<−2或a>1 C.−2<a<1 D.a<1或a>2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.若函数y=f(x)的定义域是[12,2]，则函数y=f(2x)的定义域为[−1,1]

B.对应f：s→t，其中t2=s，s∈[0,+∞)，t∈R，则对应f是函数

C.对于定义在R上的函数f(x)，若f(−2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数

D.函数f(x)在10.若正数a，b满足1a+2bA.ab≥8 B.2a+b≥8

C.2a+111.已知连续函数f(x)满足：①∀x，y∈R，则有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，②当x>0时，f(x)<1，③f(1)=−2，则以下说法正确的是(

)A.f(0)=1

B.f(4x)=4f(x)−4

C.f(x)在[−3,3]上的最大值是10

D.不等式f(3x2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=−x2+ax+113.已知函数f(x)=x2−2x,x≤11−|x−3|,x>1，若关于x的方程14.已知关于x的不等式(mx−m2−8)(x+3)<0(其中m∈R)的解集为A，若满足A∩Z=B(其中Z是整数集)，则使得集合B中元素个数最少时m四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

计算下列各式的值：

(Ⅰ)log32+log35−2log316.(本小题15分)

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=−4有且仅有一个公共点，且不等式ax2+bx+c≤0的解集为[−1,3]．

(1)求此二次函数的解析式；

(2)关于x的不等式ax2+bx+c<(m−1)x−m−3的解集中恰有一个正整数，求实数m的取值范围；

(3)17.(本小题15分)

某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车x万台(0≤x≤10)且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为C(x)=x2+6x+4,0≤x≤3,24x+144x−107,3<x≤10(单位：亿元).(其中，利润=销售收入−总成本)

(1)写出年利润S(x)(亿元)关于年产量x(万台)的函数解析式；

(2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；

18.(本小题17分)

已知定义在R上的函数f(x)=x2−2mx+6在(0,+∞)上是增函数.g(x)为偶函数，且当x∈[0,+∞)时，g(x)=2x−m+3．

(1)当m=−3时，求g(x)在R上的解析式；

(2)是否存在实数m，使函数f(x)与g(x)的值域相同，若存在，求出所有实数m的值，若不存在，说明理由；

(3)令F(x)=f(x),x<019.(本小题17分)

若函数f(x)与g(x)满足：对任意的x1∈D，总存在唯一的x2∈D，使f(x1)g(x2)=m成立，则称f(x)是g(x)在区间D上的“m阶伴随函数”；当f(x)=g(x)时，则称f(x)为区间D上的“m阶自伴函数”．

(1)判断f(x)=log2(x2+1)是否为区间[1,7]上的“12阶自伴函数”，并说明理由；

(2)若函数f(x)=3x−1参考答案1.B

2.B

3.B

4.A

5.A

6.D

7.A

8.B

9.AC

10.ABD

11.ACD

12.[−1,0]

13.±1

14.[2,4]

15.解：(Ⅰ)原式=log3(2×5)−log310+3=0+3=3；

(16.解：(1)由不等式ax2+bx+c≤0的解集为[−1,3]，

得a>0且−1，3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根，

因此ax2+bx+c=a(x+1)(x−3)，

所以函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，其对称轴为x=1，

而该图象与直线y=−4有且仅有一个公共点，

则y=a(x+1)(x−3)图象的顶点为(1,−4)，

于是−4=−4a，解得a=1，

所以此二次函数的表达式为y=(x+1)(x−3)，

即y=x2−2x−3；

(2)由(1)知不等式ax2+bx+c<(m−1)x−m−3为x2−2x−3<(m−1)x−m−3，

整理得x2−(m+1)x+m<0，即(x−1)(x−m)<0，

依题意，不等式(x−1)(x−m)<0的解集中恰有一个正整数，则m≠1，

当m<1时，解得m<x<1，即不等式的解集为(m,1)，此时解集中不含正整数，故舍去；

当m>1时，解得1<x<m，不等式的解集为(1,m)，要使解集中恰有一个正整数，

则2<m≤3，

所以实数m的取值范围是(2,3]．

(3)对∀m∈[0,2]，不等式ax2+bx+c<(m−2)x恒成立，

即对∀m∈[0,2]，不等式x2−2x−3<(m−2)x17.解：(1)当0≤x≤3时，销售收入为20x亿元(每台售价20万元，x万台)，总成本为固定研发成本20亿元加上其他成本x2+6x+4亿元，

则S(x)=20x−(20+x2+6x+4)=−x2+14x−24，

当3<x≤10时，销售收入为20x亿元，总成本为20+24x+144x−107亿元，

则S(x)=20x−(20+24x+144x−107)=87−4x−144x，

所以S(x)=−x2+14x−24,0≤x≤387−4x−144x,3<x≤10．

(2)当0≤x≤3时，S(x)=−x2+14x−24=−(x−7)2+25

又0≤x≤3，所以在这个区间上函数单调递增，

所以S(x)max=S(3)=9亿元．

当3<x≤10时，根据基本不等式，有4x+144x≥24x×144x=48，

当且仅当4x=144x，即x=6取等号，

所以S(x)=87−(4x+144x)≤87−48=39亿元，

因为39>9，

所以当年产量为6万台时，该企业获利最大，最大年利润为39亿元．

(3)当0≤x≤3时，S(x)=−x2+14x−24≥0，

即x2−14x+24≤0，

解得2≤x≤12．

又0≤x≤3，18.解：(1)当m=−3，x≥0时，g(x)=2x+3+3．

当x<0时，−x>0，

又因为g(x)是R上的偶函数，

所以g(−x)=2−x+3+3．

即g(x)=2−x+3+3．

所以g(x)=2x+3+3,x≥02−x+3+3,x<0；

(2)存在m=−1，使函数f(x)与g(x)的值域相同，理由如下：

因为函数f(x)=x2−2mx+6在(0,+∞)上是增函数．

所以m≤0，

所以f(x)min=f(m)=6−m2，

又因为当x∈[0,+∞)时，g(x)=2x−m+3，

g(x)在[0,+∞)上单调递增，

又因为g(x)为偶函数，

所以g(x)在(−∞,0)上单调递减，

所以g(x)min=g(0)=2−m+3，

要使函数f(x)与g(x)的值域相同，

则需有6−m2=2−m+3，

即2−m+m2−3=0，m≤0，

易知φ(m)=2−m+m2−3在(−∞,0]上单调递减，

φ(−1)=2+1−3=0，

所以存在m=−1，使函数f(x)与g(x)的值域相同；

(3)因为F(x)=x2−2mx+6,x<02x−m+3,x>0，m≤0，

当m=0时，F(x)=x2+6,x<02x+3,x>0，

作出其图象，如图所示：

此时y=6与y=F(x)的图象只有一个交点，

即方程F(x)=m+6只有一个实数根；

当m<0时，

令φ(x)=F(x)−m−6=x2−2mx−m,x<02x−m−m−3,x>0，

则问题转化为φ(x)的零点个数，

当m=−1时，φ(x)=x2+2x+1,x<02x+1−2,x>0，

易知此时φ(x)只有一个零点，为x=−1；

当−1<m<0时，

x<0时，φ(x)=x2−2mx−m，

Δ=4m2+4m=4m(m+1)<0，19.解：(1)f(x)=log2(x2+1)，x∈[1,7]，

当x1=1时，f(1)=1，再由f(1)f(x2)=2，

得f(x2)=log2(x22+1)=12，x22+1=2，

x22=2−1，x2∉[1,7]，

故根据“2阶自伴函数”定义得，

f(x)=log2(x2+1)不是区间[1,7]上的“2阶自伴函数”．

(2)由函数f(x)=4x−1为区间[12,b]上的