专题12 三角形中的重要模型之面积模型解读与提分精练（全国）

专题12三角形中的重要模型之面积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.等积变换基础模型 1模型2.蝴蝶（风筝）模型 9模型3.燕尾（定理）模型 13模型4.鸟头定理（共角定理）模型 18模型5.金字塔与沙漏模型 23 27模型1.等积变换基础模型模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当//，则；反之，如果，则可知直线//。图1图2图3模型2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如图2，当点D是BC边上的动点时，则S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。如图3，当点D是BC边上的动点，BE⊥AD，CF⊥AD时，则S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。证明：模型1）如图1，过点A作AE⊥CD、过点B作BF⊥CD。∵//，∴AE=BF。∵；；∴。反之同理可证。模型2）如图2，过点A作AH⊥BC。∵；；∴S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。如图3，过点C作CF⊥AD、过点B作BE⊥AD。∵；；∴S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。例1．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，若点D是边上的点，且，则与的面积之比为（）A． B． C． D．例2．（23-24八年级下·河北沧州·期中）如图，，分别是的边AB，CD上的点，与DE相交于点，与CE相交于点，若的面积为，的面积为，的面积为，则阴影部是的面积为．例3．（2024·上海浦东新·一模）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则．例4．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）【探究】如图1，是中边上的中线，与的面积相等吗？请说明理由，【应用】如图2，点A、B、C分别是、、的中点，且，则图2中阴影部分的面积为；【拓展】（1）如图3，中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，如果，那么为．（2）如图4，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形面积为（用含S的代数式表示）；四边形的面积存在最大值，这个值为．例5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）规律：如图1，直线，，为直线上的点，，为直线上的点．如果，，为三个定点，点在直线上移动，那么无论点移动到何位置，与的面积始终相等，其理由是___．应用：（1）如图，、、三点在同一条直线上，与都是等边三角形，连结，．若，，求的面积．（2）如图，已知，，，是矩形边上的点，且，，连结交于点，连结MC交于点，连结交于点，连结，若四边形的面积等于，求四边形的面积．模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。1）任意四边形的蝴蝶定理：如图1，结论：①或；②。证明：由基础模型2）知：；；即故；即。由基础模型2）知：；即。2）梯形蝴蝶定理：如图2，结论：①；②。证明：∵四边形ABCD为梯形，∴AD//BC，∴易证，∴。同理可证得：。例1．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，任意四边形中，和相交于点O，把、、、的面积分别记作、、、，则下列各式成立的是（

）A． B． C． D．例2．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知在梯形中，，，如果对角线与相交于点O，、、、的面积分别记作、、、，那么下列结论中，不正确的是（）A． B． C． D．例3．（2024·四川成都·校考一模）如图，梯形的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为，则梯形的面积为．例4．（2024·山西·校考一模）阅读与探究请阅读下列材料，完成相应的任务：凸四边形的性质研究如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等．例如，在图1中，凸四边形的对角线，相交于点，且，，，，的面积分别为，则有，证明过程如下：任务：（1）请将材料中的证明过程补充完整；（2）如图2，任意凸四边形的对角线相交于点，分别记，，，的面积为，求证；（3）如图3，在四边形中，对角线相交于点，，，，则四边形的面积为____________．

模型3.燕尾（定理）模型条件：如图，在中，E分别是上的点，在上一点。结论：S1S2S3S4（S1+S3）（S2+S4）BEEC。证明：由基础模型2）知：；；故；即S1S2S3S4（S1+S3）（S2+S4）BEEC。例1．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．（经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图1，的边上有一点，请证明：；（结论应用）（2）如图2，的面积为1，，求的面积；（拓展延伸）（3）如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明：；（迁移应用）（4）如图4，中，M是的三等分点，N是的中点，若的面积是1，请直接写出四边形的面积：．例2．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）【问题情境】如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．(1)【深入探究】如图2，点D在的边上，点P在上．若是的中线，请判断与的大小关系，并说明理由．若，则：______．(2)【拓展延伸】如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形．直接写出，与之间的等量关系；_______．例3．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知是ΔABC的边上一点，连结，此时有结论，请解答下列问题：（1）当是边上的中点时，的面积的面积（填“>”“<”或“=”）．（2）如图1，点分别为边上的点，连结交于点，若、、的面积分别为5，8，10，则的面积是（直接写出结论）．（3）如图2，若点分别是ΔABC的边上的中点，且，求四边形的面积．可以用如下方法：连结，由得，同理：，设，，则，，由题意得，，可列方程组为：，解得，可得四边形的面积为20．解答下面问题：如图3，是的三等分点，是的三等分点，与交于，且，请计算四边形的面积，并说明理由．模型4.鸟头定理（共角定理）模型共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。图1图2（等角型）条件：如图1，在三角形ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，结论：。（互补型）条件：如图2，已知∠BAC+∠DAE=180°，结论：。证明：（等角型）如图1，分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴。又即。（互补型）如图2，过点C作CG⊥AB于G，过点E作EF⊥DA交DA延长线于F，∴∠EFA=∠CGA=90°，∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，∴∠CAG=∠EAF，∴△CAG∽△EAF，∴，∵，，∴；例1、如图，在三角形ABC中，D、E是AB,AC上的点，且AD：AB=2:5，AE：AC=4：7，三角形ADE的面积是16平方厘米，则ABC的面积为。例2．（2023·山西晋中·九年级统考阶段练习）阅读理解如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比，例：在图1中，点D，E分别在AB和AC上，△ADE和△ABC是共角三角形，则证明：分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，得到图2，∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴又即任务：（1）如图3，已知∠BAC+∠DAE=180°，请你参照材料的证明方法，求证：（2）在（1）的条件下，若则AE=．例3．（2023·重庆·九年级专题练习）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得．根据上述这两个式子，可以推出：．（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D在△ABC的边上，做AH⊥BC于H，可得：．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：（1）如图5，D、E分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，则．（2）如图6，E在△ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，．结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接DE交BA的延长线于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，▱ABCD的面积为30，则△AEF的面积是．模型5.金字塔与沙漏模型金字塔模型沙漏模型条件：如图所示，DE//BC；结论：①；②。证明：∵DE//BC；易证：；；；∴；。例1．（2023秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，已知点D、E分别是边上的点，且，面积比为，交于点F．则（

）

A． B． C． D．例2．（2023·江苏扬州·二模）如图，D、E分别是的边、上的点，且，、相交于点0，若的面积与的面积的比为，则等于（

）

A． B． C． D．例3．（2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，中，，与相交于点．如果，那么等于（

）

A． B． C． D．例4．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是6，则四边形的面积为（

）A．8 B．9 C．10 D．111．（2024·贵州·校考一模）如图，梯形被对角线分成4个小三角形，已知与的面积分别为和．那么梯形的面积是（

）．A．144 B．140 C．160 D．无法确定2．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图所示，中，点、、分别在三边上，是的中点，、、交于一点，，，，则的面积是（

）A．25 B．30 C．35 D．403．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）如图，四边形中，E、F、G、H依次是，，，中点，O是四边形内部一点，若四边形、四边形、四边形的面积分别为8、11、13，四边形面积为（

）A．10 B．11 C．12 D．134．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，若的面积为a，且点A，B，C分别是的中点，则求阴影部分的面积（用含a的式子表示），（

）A． B． C． D．5．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是的平分线，延长至E，使，连接，的面积为10，的面积是13，则的值为（）A． B． C．3 D．26．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，若，则的面积是（

）A．4 B．3 C．2 D．17．（2023·江苏·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则的面积与的面积的比为（

）A．1：2 B． C．1：4 D．8．（23-24八年级上·天津河东·期中）如图，的两条中线，相交于点，已知的面积为，的面积为，则四边形的面积为（

）

A． B．3 C． D．9．（2024·甘肃酒泉·二模）如图，在平行四边形中，如果点为CD的中点，与BD相交于点，若已知，那么等于（

）A．4 B．8 C．12 D．1610．（23-24九年级·重庆·课后作业）如图，为半圆O的直径，弦相交于点P，如果，那么等于（

）A．16∶9 B．3∶4 C．4∶3 D．9∶1611．（22-23七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，D是边的中点，E、F分别是边上的三等分点，连接分别交于G、H点，若的面积为90，则四边形的面积为．

12．（2024·上海·校考一模）如图，梯形中，，，点在的延长线上，与相交于点，与边相交于点．如果，那么与的面积之比等于．13．如图1，点D在边上，我们知道若，则；反之亦然．如图2，是的中线，点F在边上，相交于点O，若，则．14．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知中，是边上的中线，点G为重心，，若的面积为12，则的面积是．15．（2024·河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形EFGH内接于（矩形各顶点在三角形边上），E，F在上，H，G分别在，上，且于点D，交于点N．(1)求证：(2)若，，设，则当x取何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？16．（23-24八年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．

(1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：；(2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：；(3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积．17．（23-24八年级下·山东青岛·期末）问题解决：如图1，中，为边上的中线，则______.问题探究：（1）如图2，分别是的中线，与相等吗？解：中，由问题解决的结论可得，，.∴∴即.（2）图2中，仿照（1）的方法，试说明.（3）如图3，，，分别是的中线，则______，______，______.问题拓展：（1）如图4，分别为四边形的边的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形的面积之间的数量关系：______.（2）如图5，分别为四边形的边的中点；请直接写出阴影部分的面积与四边形的面积之间的数量关系：______.18．（24-25九年级上·广东深圳·期中）阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角．根据上述定义，判断下列结论，正确的打“”，错误的打“”．（1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形．（_____）（2）两个等腰三角形是共角三角形．（_____）问题提出：小明在研究图的时发现，因为点，分别在和上，所以和是共角三角形，并且还发现．以下是小明的证明思路，请帮小明完善证明过程．证明：分别过点，作于点，于点，得到图，，又，（_____），．，，即．延伸探究：如图，已知，请你参照小明的证明方法，求证：．结论应用：（1）如图，在平行四边形中，是边上的点且满足，延长到，连接交的延长线于，若，，，的面积为，则的面积是．（2）如图，的面积为，延长的各边，使，，，，则四边形的面积为．19．（2023·山东青岛·二模）【模型】同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比．已知，如图，中，为线段上任意一点，连接，则有：．【模型应用】（1）如图，任意四边形中，、分别是、边的中点，连接、，若四边形的面积为，则___________．（2）如图，在任意四边形中，点、分别是边、上离点和点最近的三等分点，连接、，若四边形的面积为，则___________．（3）如图，在任意四边形中，点、分别是边、上离点和点最近的等分点，连接、，若四边形的面积为，则___________．【拓展与应用】（4）如图，若任意的十边形的面积为，点、、、、、、、分别是、、、、、、、边上离点、、、、、、、最近的四等分点，连接、、、、、、、，则图中阴影部分的面积是___________．20．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）（1）探索发现：如图1，在中，点D在边上，与的面积分别记为与，试判断与的数量关系，并说明理由．

（2）阅读分析：小明遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点D，点E、F在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系．小明利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．图2中的、、三条线段之间的数量关系为，并说明理由．（3）类比探究：如图3，在四边形中，，与交于点O，点E、F在射线上，且．①全等的两个三角形为，并说明理由．②若，的面积为3，直接写出的面积：．21．（23-24九年级上·广西崇左·