专题27 相似模型之托勒密定理与不等式模型解读与提分精练（全国）

专题27相似模型之托勒密定理与不等式模型相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的托勒密定理与托勒密不等式模型。托勒密（Ptolemy）定理的历史，可追溯到公元2世纪，古希腊数学家和天文学家Ptolemy，他对三角学有很多贡献。该定理无论从内涵还是应用都极具魅力。从表面上看Ptolemy定理是关于边的等式，但由于四边形外接圆的存在，Ptolemy定理从一个侧面反映了角的关系。也许正因为如此，Ptolemy定理有了较好的应用背景。Ptolemy定理不但有着丰富的内涵，而且具备广泛的外延，而Ptolemy不等式就是其重要的拓展。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.托勒密（定理）模型 2模型2.托勒密不等式模型 6 7模型1.托勒密（定理）模型托勒密定理：四边形ABCD内接于圆，求证：．证明：如图，在BD上取一点P，使其满足．∵，∴，，即①又，，∴，，．②=1\*GB3①+②，有．即，故．特例：（1）当△ABC是等边三角形时，如图1，根据托勒密定理有：，又等边△ABC有AB=AC=BC，故：．特例：（2）当△ABC是等腰直角三角形，如图2，根据托勒密定理：，又，代入可得结论：．特例：（3）当△ABC是一般三角形时，如图2，根据托勒密定理可得：又BC：AC：AB=a：b：c，代入可得结论：．例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（

）

A． B． C． D．例2．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为(

)A． B． C． D．例3．（2023·河南商丘·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务：克罗狄斯・托勒密（，约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家，占星学家和光学家．托勒密定理实出自依巴谷（）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知：如图1，四边形内接于，求证：下面是该结论的证明过程：证明：如图1，作，交于点.，（依据1），（依据2），，，.，，即，，，．任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______．(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______．(3)如图2，以为直径的中，点为上一点，且，的角平分线交于点，连接，，若，求的长．例4．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O．(1)连接AC、BD，若∠BAC＝∠CAD＝60°，则△DBC的形状为．(2)在(1)的条件下，试探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若，∠DAB＝∠ABC＝90°，点P为上的一动点，连接PA，PB，PD，求证：PD＝PB+PA．例5．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数．【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：（1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）．②原题中．【深入思考】（2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明．（3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系：（不写证明过程）．（4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．

例6．（2024·山东德州·一模）△ABC是⊙O的内接三角形，点P是⊙O上一点，且点P与点A在BC的两侧，连接PA，PB，PC．(1)如图①，若△ABC是等边三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．(2)如图②，把（1）中的△ABC改为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他条件不变，三条线段PA，PB，PC还有以上的数量关系吗？说明理由．(3)如图③，把（1）中△ABC改为任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a时，其他条件不变，则PA，PB，PC三条线段的数量关系为_________（直接写结果）(4)由以上你能发现圆内接四边形的四条边和对角线有什么关系？例7．（2024·浙江温州·三模）如图，已知圆内接，点D为圆上一点且，连接AD交于点E．(1)求证：；(2)设，．①求证：；②若，求的值．（用含m、k的代数式表示）模型2.托勒密不等式模型托勒密不等式模型：对于任意凸四边形ABCD，有证明：如图1，在平面中取点E使得∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，易证△ABE∽△ACD，∴，即①，连接DE，如图2，∵，∴，又∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE，∴△ABC∽△AED，∴，即②，将①+②得：，∴即，当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号．例1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，线段BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为（

）A．6 B．6 C．4＋2 D．3例2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，平面内三点A、B、C满足，，以BC为斜边作等腰直角三角形，连接，则的最大值为（

）

A． B． C．4 D．8例3．（2023·广东河源·三模）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图，点为坐标原点，的半径为，点．动点在上，连接，作等边（，，为顺时针顺序），求的最大值；【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接，以为边在的左侧作等边，连接．（）请你找出图中与相等的线段，并说明理由；（）线段的最大值为．【灵活运用】（）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，求线段长的最大值及此时点的坐标．【迁移拓展】（）如图③，，点是以为直径的半圆上不同于的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最值．1．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，点P为正方形的外接圆O的上一点，连接，则的值为（）A．1 B． C． D．22．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形内接于，点是弧的中点，则的长为．3．（2024·天津·校考一模）如图，在△ABC中，AD=，CD=，∠ACB=90°，AC=2BC，则BD的最大值为4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，、、、是上的四个点，．(1)判断的形状，并证明你的结论．(2)求证：．(3)若，点P是弧上一动点（异于点，），求的最大值．5．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）【基础巩固】如图1，内接于，若，弦，则半径______；（2）【问题探究】如图2，四边形的四个顶点均在上，若，，点为弧上一动点（不与点，点重合）．求证：；（3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段、、）和一条道路劣弧CD围成，已知千米，，CD的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点在CD上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，某数学兴趣小组探究后发现C、P、D、M四个点在同一个圆上，请你帮他们证明C、P、D、M四点共圆，并判断是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．

6．（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有．任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为．（2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长．7．（23-24九年级上·江苏南京·期末）问题提出：若一个四边形的两组对边乘积之和等于它的两条对角线的乘积，则称这个四边形为巧妙四边形．初步思考：（1）写出你所知道的四边形是巧妙四边形的两种图形的名称：，．（2）小敏对巧妙四边形进行了研究，发现圆的内接四边形一定是巧妙四边形．如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．小敏在解答此题时，利用了“相似三角形”进行证明，她的方法如下：在BD上取点M，使∠MCB＝∠DCA．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用：如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AD＝，AB＝，CD＝2．求AC的长．8．（2023·湖南·一模）定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”。（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是______．（2）如图1，在△ABC中，AB=2，BC=，AC=3，D为平面内一点，以A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为“完美四边形”，若DA，DC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+(5m2-2m+13)=0(其中m为常数)的两个根，求线段BD的长度．（3）如图2，在“完美四边形”EFGH中，∠F=90°，EF=6，FG=8，求“完美四边形”EFGH面积的最大值．9．（2024·山西大同·校考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务．托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，求证：AB•CD+BC•AD＝AC•BD下面是该结论的证明过程：证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．∵∴∠ABE＝∠ACD∴△ABE∽△ACD∴∴AB•CD＝AC•BE∵∴∠ACB＝∠ADE（依据1）∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC即∠BAC＝∠EAD∴△ABC∽△AED（依据2）∴AD•BC＝AC•ED∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED）∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：．（请写出）（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为的中点，求AC的长．10．（23-24九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，并完成相应任务托勒密，古希腊天文学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．下面是该定理的证明过程（部分）已知：如图①四边形是的内接四边形求证：

证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得又∵∴∴

∴，又，∴∴∴，∴∴

∴

即任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．11．（2024·河南南阳·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知：如图1，_____．求证：______．证明：如图2，作，交BD于点E，……∴∽，∴，……∴∽，∴，∴．(1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程；(2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长．12．（23-24九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，四边形内接于，对角线，相交于点．

(1)如图1，求证：．(2)如图2，为线段上一点，，①求证：；②求证：(3)如图3，当，，，时，求（用，表示）．13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）【阅读材料】克罗狄斯•托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理．定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立．即：四边形中，有，当A、B、C、D四点共圆时，有．【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：．证明：在上取点E，连接，使．∵，∴______，∴，∴①，∵，∴，即，又∵，∴，∴，∴______②，得，即______．【直接应用】（2）如图2，为的直径，，，，求的长；【拓展应用】（3）如图3，在四边形中，，，，，则DB的最大值为______；【灵活运用】（4）如图4，在等腰三角形中，，，点D在底边上，且，将三角形沿着AD所在的直线翻折，使得点C落在点E处，连接，则的长为______．14．（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）【问题提出】（1）如图1，四边形内接于，，，连接，则的度数为______．【问题探究】（2）如图2，在四边形中，，，连接，将绕点顺时针旋转到的位置，若，求四边形的面积；【问题解决】（3）如图3，若是一个半径为的圆形荷花池，AB和AD是荷花池上的两座长度相等的小桥，且，现要在荷花池上再修建三座小桥、和CD，为使游客更好地欣赏荷花，要求这三座小桥的总长度最大，请你求出此时这三座小桥的总长度（即的最大值）．15．（2024·广东佛山·一模）（1）小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图1，若是圆内接正