2024-2025学年福建省南安市高一上册10月段考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年福建省南安市高一上学期10月段考数学检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下面四个命题正确的个数是（）①集合中最小的数是1；②若，则；③若，，则的最小值是；④的解集是.A.0 B.1 C.2 D.32.已知，则的最大值为（）A.4 B.6 C.8 D.103.已知、都是实数，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知集合，若集合有且仅有2个子集，则的取值是（）A.1 B. C.0，1 D.，0，15.向50名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对，都不赞成的学生数比对，都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（）A.赞成的不赞成的有9人 B.赞成的不赞成的有11人C.对，都赞成的有21人 D.对，都不赞成的有8人6.已知全集，，，，则（）A. B. C. D.7.已知命题：“，”，命题：“，”.若命题和命题都是真命题，则实数的取值范围是（）A.或 B.或C. D.8.已知，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下面四个说法中正确的是（）A.10以内的质数组成的集合是B.由2，3组成的集合可表示为或C.方程的所有解组成的集合是D.与表示同一个集合10.下列说法中正确的有（）A.“”是“”成立的充分不必要条件B.命题：，均有，则命题的否定：，使得C.已知集合满足，则所有满足条件的集合有4个D.设，是两个数集，若，则，使得11.已知，，且，则下列说法中正确的是（）A.有最大值为 B.有最小值为9C.有最小值为 D.有最小值为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则的值为______.13.已知集合，，且，则实数的值是______.14.已知，，若，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知全集，，.（1）求；（2）求；（3）求.16.（本小题15分）（1）已知，，求实数的值；（2）已知集合，若中有两个元素，求实数的取值范围.17.（本小题16分）（1）已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.（2）命题：且，命题：，，若与不同时为真命题，求的取值范围.18.（本小题16分）如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周（斜线部分）铺设，宽度相同的观赏通道.已知三块花卉的面积均为150平方米.（1）若矩形花卉的长比宽至少多5米，求花卉宽的取值范围；（2）若矩形花卉四周及中间观赏通道的宽度均为2米，在（1）的条件下，求矩形花卉宽为多少时，观赏通道的面积最小，并求其最小值.19.（本小题17分）（1）已知，，均为正实数，且满足.证明：1）.2）.（2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值.

数学试卷解析1.【正确答案】C【分析】本题考查集合中元素的性质、元素与集合的关系，属于基础题.对四个命题逐项验证，即可求出结果.解：是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当时，，且，故②错误；若，则的最小值是1，又，的最小值也是1，当和都取最小值时，取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的.故选C.2.【正确答案】A【分析】本题考查基本不等式求最值，熟练掌握配凑法，属于基础题.由配凑法，再结合不等式，求解即可.解：因为，所以，则，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，即的最大值为4，故选：A.3.【正确答案】A【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题.根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断.解：若，则，若，则成立，当时，满足，但不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A.4.【正确答案】D【分析】本题考查子集的概念，解题时要认真审题，属于中档题.若有且仅有两个子集，则为单元素集，所以关于的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数的取值范围.解：由题意可得，集合为单元素集，（1）当时，，此时集合的两个子集是，，满足题意；（2）当时则解得，当时，集合的两个子集是，，当时，集合的两个子集是，，均满足题意.综上所述，的取值为，0，1.故选D.5.【正确答案】B【分析】本题主要考查集合的实际应用，考查Venn图，属于中档题.记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合.设对事件，都赞成的学生人数为，列出方程能求出结果.解：赞成的人数为，赞成的人数为.记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合.如图所示，设对事件，都赞成的学生人数为，则对，都不赞成的学生人数为.赞成而不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为.依题意，解得.所以赞成的不赞成的有9人，赞成的不赞成的有12人，对，都赞成的有21人，对，都不赞成的有8人.故选：B.6.【正确答案】B【分析】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，韦恩图表示集合关系.根据已知，画出满足条件的韦恩图，数形结合，可得答案.解：∵全集，，，，∴满足条件的韦恩图如下所示：由图可得：，故选：B7.【正确答案】D【分析】本题主要考查根据全称量词命题、存在量词命题的真假求解参数范围，属于基础题.先考虑，均为真命题得到的取值范围，然后根据，的真假性得到关于的不等式，即可求解出的取值范围.解：若，，则，∴.若，，则，解得或.∵命题和命题都是真命题，∴或，∴.故选D.8.【正确答案】B【分析】本题考查利用不等式性质求取值范围，属于中档题.由题意，，利用，表示，，进而得到的表示，由，的范围，求出的范围即可.解：由题意，设，从而，由于，从而.故选B9.【正确答案】AB【分析】本题考查集合的含义和集合中元素的性质，属于基础题，直接运用集合的含义和集合中元素的性质逐项判断即可.解：10以内的质数组成的集合是，故A正确；由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确；方程的所有解组成的集合是，故C错误；由集合的表示方法知空集的表示方法为，故D错误.故选AB.10.【正确答案】AD【分析】本题考查充分、必要条件的概念，全称量词命题的否定，考查集合的相关知识，属于中档题.由充分、必要条件的概念结合不等式的性质以及举反例可判断A选项；由全称量词命题的否定是存在量词命题可判断B选项；由集合间的关系可判断C选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D选项.解：对于A，当时，能推出，而由不能推出，如，而，所以“”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；对于B，命题：，均有，则的否定：，使得，故B不正确；对于C，由，得集合可以为，，，共3个，故C不正确；对于D，，是两个数集，若，即集合、存在相同的元素，则存在，，故D正确.故选：AD.11.【正确答案】ABD【分析】本题考查利用基本不等式求最值以及二次函数的性质，属于中档题.直接利用基本不等式，可求得的最大值，判断A；将变为，利用基本不等式求得其最小值，判断B；将代入，利用二次函数知识可判断C，将代入，利用基本不等式可判断D.解：由，，且，可知，即，当且仅当时取等号，故A正确；，当且仅当即，时取等号，故B正确；由，，且，可知，故，当时，取得最小值为，故C错误；，当且仅当，即时取等号，故D正确，故选：ABD.12.【正确答案】【分析】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题.根据题意，列出关于的式子，求出的值，注意检验.解：∵，∴或，解得或，当时，不满足集合的互异性，故舍弃，当时，，符合题意，故答案为.13.【正确答案】或【分析】本题考查列举法的定义，元素与集合的关系，交集的定义及运算，集合元素的互异性，属于较易题.根据即可得出或，解出，并验证是否满足题意即可.解：∵；∴；∴，或；∴，或2，或，或1；①时，，，满足题意；②时，，，不满足，应舍去；③时，，，满足题意；④时，，不满足集合的互异性，应舍去；∴或.故或.14.【正确答案】3【分析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于中档题.利用基本不等式可得，令，可得，解不等式可得的取值范围，可得最小值.解：由题意可得，，当且仅当时取等号，令，则，解得或（舍去），所以，当且仅当，时取等号，故的最小值3.故答案为3.15.解：，，（1），（2）；（3）.【分析】本题主要考查交、并、补集的混合运算，比较基础.根据交、并、补集的混合运算性质，直接求解即可.16.解：（1）因为，所以有，或，显然，当时，，此时不符合集合元素的互异性，故舍去；当时，解得，，由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，当时，，符合题意故.（2）由于中有两个元素，∴关于的方程有两个不等的实数根，∴，且，即，且.故实数的取值范围是.【分析】本题考查元素与集合的关系.（1）因为，所以有，或，再检验是否满足集合元素的互异性即可得到答案；（2）由于中有两个元素，则关于的方程有两个不等的实数根即可解答.17.解：（1）由“”是“”的充分不必要条件，得，而，显然，于是，解得，所以的取值范围为；（2）当命题为真命题时，，当命题为真命题时，，即，所以与同时为真命题时有，解得，故与不同时为真命题时，的取值范围是.【分析】本题考查充分、必要条件，量词命题，是中档题.（1）由题意可得真包含于，再由两集合端点值间的关系，列不等式组求解；（2）先得出与同时为真命题时，的取值范围，再取补集即可.18.解：（1）设矩形花卉的宽为米（），则长为米，依题意，即，，即.所以花卉宽的取值范围是.（2）依题意所有观赏通道的面积，当且仅当，即时等号成立.所以花卉宽为10米时，观赏通道面积最小，最小值是272平方米.【分析】本题考查函数模型的应用，属于中档题.（1）设矩形花卉的宽为米（），依题意，解不等式即可；（2）先求出所有观赏通道的面积的表达式，结合平均值不等式