2024-2025学年广东省揭阳市高一上册12月月考数学质量检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省揭阳市高一上学期12月月考数学质量检测试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．在平面直角坐标系中，点M在角的终边上，若，则（

）A．或1 B．或6 C．6 D．14．已知幂函数的图象过，则下列结论正确的是（

）A．的定义域为 B．在其定义域内为减函数C．是偶函数 D．是奇函数5．已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．6．函数的部分图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

7．已知定义在上的奇函数满足对任意的，且，都有，若，则的解集为（

）A． B． C． D．8．设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在（），使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（，是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）9．已知，，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．10．下列四个函数中，最小值为2的是（

）A． B． C． D．11．已知集合，（），若，，则（

）A．B．C．关于x的不等式解集为或D．关于x的不等式解集为12．已知函数的图象关于直线对称，函数对任意非负实数都满足，当时，，则下列结论正确的是（

）A．为偶函数B．C．不等式的解集为D．存在，对任意都有第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“，”的否定为．14．已知函数，则.15．若，为第二象限角，则．16．设常数，函数.若方程有三个不相等的实数根，且，则的取值范围为，的取值范围为.四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．求下列各式的值：(1)；(2)已知，求的值．18．设集合，．(1)若，求；(2)若，求实数m的取值范围．19．已知．(1)判断的奇偶性并证明；(2)解不等式：．20．已知函数．(1)判断函数的零点的个数并说明理由；(2)求函数零点所在的一个区间，使；21．为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为，浮萍覆盖面积（单位：）与2022年的月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．(1)分别求出两个函数模型的解析式；(2)若2021年年终测得浮萍覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过？（参考数据：）22．已知是定义在上的奇函数，当时，＝.(1)求在上的解析式；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.1．A【分析】直接利用集合的交运算法则进行运算即可.【详解】因为集合，故，故选：2．A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.3．C【分析】利用三角函数的定义列出方程求解即得.【详解】因点M在角的终边上，则，故，解得，.故选：C.4．B【分析】根据幂函数的图象过求得其解析式，然后逐项判断.【详解】设幂函数f（x）＝xα，因为幂函数y＝f（x）的图象过点，所以，解得，所以，所以y＝f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故A错误；B正确，因为函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C，D错误，故选：B．5．C【分析】根据指对数的性质判断的大小关系.【详解】由，故选：C6．C【分析】求的定义域，并判断奇偶性，可排除不满足相应对称性的图像，再通过判断相应区间函数值的正负，即可选出答案.【详解】因为，所以的定义域为．且关于原点对称.又，所以是奇函数，则排除A，D．当时，，当时，，排除B，故选：C．7．A【分析】根据条件可知函数在上单调递减，再根据奇函数性质即可得出函数的单调性，结合条件并对进行分类讨论即可解出不等式.【详解】对任意的，且，都有，即在上是减函数，因为，所以在上是减函数，为奇函数，可得，，可得，因为，所以当时，；当时，，根据在上单调递减可得；当时，，根据在上单调递减可得；综上可知，不等式的解集为.故选：A.8．A【分析】根据给定定义，利用复合函数的单调性确定的单调性，再利用对数函数的性质及一元二次方程实根分布求解作答.【详解】依题意，函数定义域为R，令，显然，函数在上单调性与在R上单调性相同，则函数在R上单调递增，显然，而当时，函数不满足条件②，因此，由于函数在上的值域为，则，即，于是是方程的两个不等实根，令，则方程有两个不等的正实根，因此，解得，所以t的取值范围是.故选：A思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形结合的方法解决一元二次方程的实根问题.9．ABD【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的同向可加性、同向同正可乘性、传递性即可求解.【详解】由不等式的同向可加性知选项A正确；因为，，所以，，所以，故选项B正确；因为，，所以，故选项C错误；因为，所以，，所以，故选项D正确．故选：ABD．10．AD由基本不等式的适用条件和取等号的条件，逐项判断即可得解.【详解】对于A，当时，，，当即时，等号成立，所以的最小值为2，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，，当且时，等号成立，但，所以的最小值不为2，故C错误；对于D，，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为2，故D正确.故选：AD.本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.11．BC【分析】先求出集合，再根据和可得和4是方程的两个根，且，再利用根与系数的关系表示出，然后逐个分析判断即可.【详解】或，因为，，，所以和4是方程的两个根，且，所以，所以，A错误，对于B，，所以，所以B正确，对于CD，不等式，可化为，因为，所以不等式可化为，得，解得或，所以原不等式的解集为或，所以C正确，D错误，故选：BC12．ACD【分析】利用给定的对称轴列式推理判断A；判断函数在上单调性，赋值计算判断B；利用偶函数性质及单调性解不等式判断C；取计算判断D作答.【详解】由的图象关于直线对称，得，即，亦即，函数为偶函数，A正确；由，得，设且，则，令，则，即，因此在上单调递减，令，则，B错误；不等式，即有，于是，解得，C正确；当时，对任意，都有，D正确．故选：ACD思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式（组）的问题，若为偶函数，则.13．，【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，即可得解.【详解】命题“，”为全称量词命题，其否定为：，.故，14．【分析】代入分段函数逐步求解即可求出结果.【详解】因为，所以，因此.故答案为.15．##【分析】利用诱导公式化简得，由同角的三角函数基本关系式求得的值，代入的计算公式即可求得.【详解】由，因为第二象限角，故，故.故答案为.16．【分析】第一空，将方程根的个数转化为函数图像交点问题，画出图像即可得到答案；第二空，通过计算得到，从而研究的范围即可得到答案.【详解】画出函数的图像如下：

因为方程有三个不相等的实数根，且，所以图像与直线有三个不同的交点，所以实数的取值范围为.令，得，所以.由图可知，，所以，由，得，即，所以所以故此类方程的根的个数问题，要善于转化为图像交点问题，通过研究函数图像从而快速求解得到答案.17．(1)(2)【分析】（1）直接利用指数幂和对数的运算法则计算得到答案.（2）根据诱导公式化简，再利用齐次式计算得到答案.【详解】（1）（2）18．(1)(2)【分析】（1）分别解两个一元二次不等式，得到集合,再根据补集定义和交集的求法即可求得；（2）由的含义，表示出不等式组，解之即得.【详解】（1）由可得，，即，又由可得，,即.因，则.于是，或或；（2）由（1）得，，，因，故得:，解得，所以实数m的取值范围为.19．(1)奇函数，证明见解析；(2)【分析】（1）先求出函数的定义域，并判断其关于原点的对称性，再由推得奇函数；（2）利用对数函数的单调性将其转化成分式不等式，结合函数的定义域，即可求得不等式的解集.【详解】（1）函数为奇函数，证明如下：因，故由，解得，即函数的定义域为，关于原点对称；又，故函数为奇函数；（2）由可得，即得且，解得，，即不等式的解集为.20．(1)一个，理由见解析；(2)【分析】（1）先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理即可判断零点个数；（2）由（1）知函数零点所在的一个区间为，因，故得函数零点所在的一个区间为，又因，故得函数零点所在的一个区间为，满足，故得结果.【详解】（1）因的定义域为，且函数在上单调递增，故函数在上至多有一个零点.又，由零点存在定理可知，函数在上必有一个零点.故函数在上只有一个零点.（2）由（1）知函数在上必有一个零点.，且，又，故函数零点所在的一个区间为，又，故函数零点所在的一个区间为，而，即函数零点所在的一个区间为.21．(1)，(2)2023年2月【分析】（1）将分别代入两个函数表达式中即可求解，（2）根据确定选用的函数，即可利用对数的运算求解.【详解】（1）若选择模型，则，解得，，故函数模型为，若选择模型，则，解得，，故函数模型为．（2）把代入可得，，把代入可得，，∵，∴选择函数模型更合适，

令，可得，两边取对数可得，，∴，故浮