第七章 梁的位移及简单超静定粱

基本要求1.明确挠曲线、挠度和转角的概念，深刻理解梁挠曲线近似微分方程的建立过程。2.掌握计算梁变形的积分法和叠加法。3.了解梁的刚度条件和提高梁刚度的主要措施。第七章弯曲应力§7.1概述§7.2挠曲线近似微分方程及其积分§7.4梁的刚度条件提高粱刚度的措施§7.3用叠加法求梁的位移§7.5弯曲应变能目录§7.6简单超静定梁的解法§7.1概述车床主轴叠板弹簧在本章中，研究梁弯曲变形的主要目的是：（1）对梁作刚度校核§7.4；（2）解超静定梁§7.6。xyzBACxl挠曲线zyC

图中，yz轴为横截面的形心主轴，xy面为形心主惯性平面。荷载F作用在xy平面内，梁的轴线弯曲成位于xy平面内的一条平坦曲线——挠曲线。

x横截面的形心C沿y方向的位移，称为该截面的挠度。

x横截面相对于原方位的转角（横截面绕中性轴z的转角），称为该截面的转角。细长梁一般不计剪力对位移的影响，平面假设依然成立，变形后的横截面仍垂直于挠曲线，所以也是x轴和挠曲线在点处切线的夹角。

很小，（0.001rad~0.005rad）xyzBACxl挠曲线

挠曲线上任一点处的斜率等于该点处横截面的转角。

小变形时，任意横截面在水平方向的位移都可略去，所以B截面的水平位移

位移为矢量，其正、负号与选取的坐标系有关。在图示坐标系中，为正（与y的指向一致），为正，反之为负。

（）lBAlBA

图示二梁的EI、l、Me分别相同，它们的变形程度（中性层的曲率）相同，但位移不同。变形与Me、EI有关，位移不仅与Me、EI有关还与约束有关，用位移表示梁的变形情况更为恰当。§7.2挠曲线近似微分方程及其积分纯弯曲时梁中性层的曲率为

横力弯曲时，梁的内力有剪力和弯矩，细长梁不计剪力对位移的影响。但注意M和ρ均为x的函数。将上式改写为在高等数学中，

小变形时

于是

由上两式，得

如何确定上式右端的正、负号？

yxOyxO确定上式右端的正、负号

（EI为常量）M与的正、负相反。于是左式为梁的挠曲线近似微分方程

近似原因不计剪力FS对位移的影响将上式改写为积分一次再积分一次为积分常数，由已知的位移条件确定。例7-1

求，并确定和。EI为常数。lBAEIxxy

解：1.列弯矩方程2.建立挠曲线近似微分方程，并对其积分3.确定积分常数位移边界条件由转角边界条件由位移边界条件4.转角方程和挠度方程5.求和

挠曲线的大致形状如图中虚线所示，可见和均发生在B截面。把x=l，代入转角和位移式，得lBAEIxxy（）讨论：C1，C2的物理意义本例中，因为左端固定

例7-2

求，并确定和。EI为常数。xyBACxlabxⅡⅠ解：该梁的AC和CB段的弯矩方程不同，必须分段列M(x)，分段建立挠曲线的微分方程，并积分AC(I)段()

CB(Ⅱ)段()

(以x左边为分离体，F(x-a)不展开)

以(x-a)为积分变量1.位移边界条件

C点的位移连续条件四个条件确定四个常数C1、C2、D1、D2四个积分常数简化为两个

第I、Ⅱ两段均以x左边为分离体列M(x)方程，第Ⅱ段M2(x)方程中的F(x-a)不展开，并以(x-a)为变量进行积分，利用位移连续条件将积分常数归结两个，由位移边界条件确定这两个积分常数。否则确定4个积分常数，成为联立求解关于C1、C2、D1、D2的方程组。2.把四个积分常数代回(1)、、(2)、式得转角方程和挠度方程分别为(I)段()(Ⅱ)段()3.求和xyBACxlabxⅡⅠ由挠曲线大致形可见，可能为或。当a>b

时，（）时有极值当a>b

时，当x＝a

时，所以，x0位于AC段，由(3)式

（）（）(5)式代入(4)式得(5)的近似值

由（5）式可见，，当F力十分接近B支座时，由（6）式得，,由(4)式得，略去b2项，△在工程中，只要简支梁挠曲线上无拐点,就可用代替最△积分法求位移注意事项是以梁的左端为坐标原点，x向右为正，1．y以下为正导出的。∴作题时坐标系必须如上所述。2．当需分段列M(x)方程时，应按例7-2方法进行计算。例7-3

画图示梁挠曲线的大致形状。xMFaFaB1CDD1C1EE1E1点为枴点解：挠曲线的大致形状，是根据梁的约束情况(位移条件)和M图画出的。A为固定端，BACDEIaaaED1点可在D点以上或在D点以下，也可和D点重合，但应注意D1点处的位移连续条件。AE段M为负，挠曲线为上凸；ED段M为正，挠曲线为下凸曲线，E1处为挠曲线的拐点；DB段M=0，挠曲线为斜直线；BA§7.3用叠加法求梁的位移

叠加法：小变形且材料在线弹性范围内作用时，梁在几种荷载同时作用下的位移，等于梁在各种荷载单独作用下的位移之和。

积分法是求梁位移的基本方法，由转角方程和挠度方程，可以求任意截面的转角和挠度，但计算过程冗长。

实用应用中，常常只需确定某些指定截面的位移值，为此可将梁在简单荷载作用下的位移值列成表格(见表7-1，P155页)，利用叠加法求在几种荷载同时作用下梁的位移。BACDEIlll例如求D点的挠度例7-4

用叠加法求，EI为常量。qBACBAC解：由表7-1查得将相应的位移叠加，得（）（）（）（）（）（）＝qBACxy练习：求图示简支梁的BAC＝BACxyFBACF解：由表7-1查得将相应的位移叠加，得（）（）（）（）（）（）例7-5

用叠加法求，EI为常量。(b)aaBAC(c)aaBAC＝图b梁的CB段的挠曲线为斜直线，所以解：将图a所示梁分解为图b和图c两种情况，其挠曲线的大致形状如图所示。(小变形时)(1)由表7-1查得（）(2)aaBAC(a)xy(b)aaBAC(c)aaBAC将(1)式代入(2)式，得

（）(3)由表7-1查得，在图c中

（）将相应位移叠加，可得（）图b中，CB段的弯矩等于零，其挠曲线为斜直线是该题的重点。练习用叠加法求，EI为常量。(b)aaBAC＝aaBAC(a)xy(c)aaBAC（）（）（）例7-6

用叠加法求，EI为常量。＝qBACxy(a)BAC(c)BAC(b)

图a所示梁上虽然只有一种荷载，但表7-1中没有这种情况，为了能利用表7-1求解。把图a所示梁分解成图b和图c两种情况。解：

由于梁的两端均为铰支座，所以梁是关于C截面对称的，称为对称梁。图b中荷载也是对称的，其挠度为对称的，转角为反对称的。由表7-1查得（）（）BAC(c)＝A(d)C(e)BC+图

c中荷载为反对称的转角为对称的梁的弯矩为反对称的

这些条件和C截处有一支座约束是相当的，于是把图c梁中的AC、CB段视为两个简支梁（图d、e）。由表7-1查得

（）（）其挠度为反对称的＝qBACxy(a)BAC(c)BAC(b)将相应的位移叠加，得

（）（）（）（）（）（）讨论，利用对称性解题简便，要能灵活运用。例如qBACxy＝＝qBACxyBACqBACqBACqBACq利用对称性易得分解后的C点的挠度利用对称性易得分解后的C点的挠度12＝BAC+ACBC3（）利用对称性易得分解后的C点的挠度对称梁的结构例7-7

用叠加法求，EI为常量。BACDaaaxy(a)D2B(c)BACDC1D1(b)解:将力F向B截面平移,得到作用于B截面的力F和力偶矩(图b),图a和图b所示梁的AB段受力相同,约束相同,故二者的位移相同。F力作用在支座上，它不会使梁产生位移，查表7-1（4）得（）D2B(c)BACDC1D1(b)（）因为BD1为斜直线

为由产生的位移。

求BD段在F力作用下产生的位移时，可把BD段视为固定端的悬臂梁(图c)。(小变形时，把B截面转动固定，BD段位移相同)。查表7-1(2)得后固定，和B截面在原方位（）将相应的位移叠加，得

（）练习：画求的分解图式。

qaaBACBACqBCqBACBAC

当不能直接引用表7-1的结果进行计算时，可用等效力系代替原荷载，使其成为可利用表7-1的结果。如例7-6，例7-7中求。

或利用分段分析法将外伸梁的位移转化为简支梁和悬臂梁位移的叠加。如例7-7中求

通过大量的练习才能真正掌握。

。用叠加法求位移为本章的难点，只有讨论：a2aaBACDq(a)ADqaBCDqqaqa(b)(d)BCDq例7-8

AD、DB段的弯曲刚度均为EI，求。解：主梁AD和副梁DB的受力图如图b所示。由于主梁AD的位移，被D点移到D1点，暂不计DB梁由q产生的位移时(即把DB段视刚体)，D1B为斜直线，此即为由主梁的位移产生的副梁的位移(图c)。副梁DB由q产生的位移如图d所示。（）BACD1(c)D查表7-1，得(d)BCDq由图c可见

BACD1(c)D（）查表7-1，得（）（）将相应的位移叠加，得（）（）（）讨论：1.对多跨静定梁进行受力分析时，是先分析副梁，再分析主梁，即先副后主。2.对多跨静定梁进行位移分析时，是先主梁后副梁，副梁的位移是由主梁的位移产生的副梁的位移和副梁由荷载产生的位移的叠加。§7-4梁的刚度条件提高梁刚度的措施一、刚度条件梁的位移过大时，将影响梁的正常工作，例如，铁路桥梁的挠度过大，火车经过时，出现爬坡现象，且引起很大振动。车床主轴的位移过大，影响齿轮的啮合，造成轴和轴承的磨损，影响加工质量。所以必须把梁的位移限制在一定范围内。刚度条件为二、提高梁刚度的措施

由表7-1可见，ω和θ均与EI成反比，与l的n次方成正比。1.增加EI。各类钢材的E值相差不大，所以选用高强度优质钢并不能增加钢梁的弯曲刚度。中性轴使I增加，例如2.减小l或增加支承。qBAqBAqBAC例7-8[σ]=170MPa，[τ]=170MPa，E=200GPa，选择工字钢的型号。80kN80kNBA4m0.4m0.4m2m8890890888(kN)(kN.m)35.635.642解：梁必须同时满足时，才能正常工作。一般起控制作用。所以先按选择截面，然后校核及条件时，再增加截面尺寸。

。若不满足切应力或刚度查型钢表,20b号工字钢1.正应力强度2.校核切应力强度3.校核刚度∴可选20b号工字钢。80kN80kNBA4m0.4m0.4m2m8890890888(kN)§7-5弯曲应变能利用求弯曲应变能一、纯弯曲M=Me(常量)EIlO二、横力弯曲

细长梁可不计剪切应变能。M(x)为x的函数，取dx段研究弯曲应变能。利用求梁的位移，将在第十二章能量方法中研究。§7-6简单超静定梁的解法1．超静定梁的概念超静定次数也是“多余”约束或“多余”未知力个数。2．超静梁的解法基本系统——解除多余约束后的静定梁（图b）相当系统——在基本系统上加上荷载及多余未知力，并满足原结构变形相容条件。(图c)根据变形相容条件，用叠加法求冗力。qBA相当系统(c)qBAlEI(a)BA基本系统(b)利用相当系统画FS、M图(图d、e)。qBAlM(e)(f)qBAC利用相当系统求位移(图f)。用积分法求得3．超静梁与静定梁的比较静定梁（无B支座）超静定梁FS(d)超静定梁提高了梁的强度和刚度。

只