电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏-骈俊生)-第四章一元函数积分学及其应用-电子课件

一元积分学及其应用第四章第四章知识目标：了解无限求和问题的实际意义理解定积分的定义和几何意义掌握定积分的线性性质、区间可加性、积分中值定理掌握原函数和不定积分的概念掌握微积分基本公式理解不定积分的直接积分法和凑微分法掌握定积分的换元积分法和分部积分法理解无限区间上和无界函数的反常积分理解微元法的思想能力目标：能解释定积分的无限求和思想方法能解释定积分的几何意义能应用定积分的性质和微积分公式计算定积分能运用MATLAB软件计算不定积分和定积分能处理几何、工程上常见无限求和问题第一节定积分的概念一、无限求和问题第一节定积分的概念一般的平面图形面积求解问题：

如果用水平和竖直方向上的几条直线将其分割为若干块面积之和后，发现其中除了矩形外，其它也都是如下的曲边形。中间图称曲边三角形，右图称曲边梯形，显然曲边三角形是曲边梯形的特例。

案例中的舵面积由于具备对称性，可归结为计算上半部分的曲边形面积。第一节定积分的概念算例

求由曲线

及

轴所围成的曲边三角形的面积

。解：采取“分割”、“近似”、“求和”和“取极限”四个步骤.“分割”

在区间[0,1]内均匀地插入

个分点：

得到n个等分小区间，记小区间对应的小曲边形面积为，于是有：第一节定积分的概念(2)“近似”以每个小区间的长度

作底，区间的右端点

处的函数值

作高，就可得到n个小矩形，如果把它们的面积分别记作用来近似小曲边梯形的面积，则有：(3)“求和”n个小矩形的面积之和是所求曲边三角形面积

的近似值，即第一节定积分的概念(4)“取极限”上一步骤仅求出所求曲边三角形面积的近似值，两者之间存在误差。我们发现，这个误差与等份数n的取值有关：在区间[0,1]内插入的分点越多，分割就越密，误差也就随之越小。如果当等份数n趋于正无穷大时，所有小区间长度

会趋于0，这时，曲边形面积被分割成无数小矩形面积之和，即当

，精确等于n个小矩形面积和的极限，即有：第一节定积分的概念

算例中的四个步骤体现的就是一种无限求和的思想，最后的表达式也被称为和式的极限。

我们用这种方法求出了例中这块曲边三角形面积为

平方单位，事实上，如果再作一条曲线

，根据函数与反函数的对称性就得到正方形面积的一种三等份方法了。请思考：这种方法适用于任意的矩形面积吗？第一节定积分的概念二、定积分的概念定义

设函数

在上有界，在内任取分点

，如果记，这样就把区间

任意分成了个小区间，其长度对应记为

，且将所有小区间长度的最大值记为

。在每个小区间

上任取一点

，作特定和式

，如果存在且为，并且与区间

分割方式和

的取法无关，则称函数

在

上是可积的，并称极限值为

在区间上的定积分，记为：第一节定积分的概念1.定义中，称为积分符号，

称为积分函数，称为积分变量，

称为积分表达式，称为积分区间，分别称为积分下、上限。2.定积分定义中之所以将无限区间和无界函数排除在外，是因为对无限区间来说，当分割为n个小区间时，其中至少有一个小区间是无限区间，而它没有长度可言，我们根本得不到和式极限。对无界函数来说，特定和式之和，会因

的选取改变而出现大幅度的变动，而可能没有极限。

对于无限区间和无界函数的情形，我们将用另外的方式来定义它们的积分，即反常积分。第一节定积分的概念定积分的几何意义当

时，定积分

的数值表示由曲线，直线

及轴所围成的曲边梯形的面积，此时定积分的值为正；当

时，定积分

的数值表示由曲线，直线

及轴所围成的曲边梯形的面积的负值，此时定积分的值为负。第一节定积分的概念例

利用定积分的几何意义，求下列定积分的值。(1)(2)解：(1)如图为四分之一单位圆，所以(2)由定积分的几何意义和图形的对称性知第一节定积分的概念(1)当积分函数在积分区间上连续时，定积分必定存在。

(2)定积分的结果是一个数值，它仅与积分函数、积分区间有关，而与积分变量用什么字母无关，即(3)规定：第一节定积分的概念三、定积分的性质线性性质第一节定积分的概念例

计算解：由前面的算例知于是得第一节定积分的概念区间可加性（为任意实数）例

求

的值，其中解：第一节定积分的概念积分中值定理若函数

在闭区间

上连续，则在该区间中至少存在一点

，有如下关系成立：或几何意义：当时，定积分所对应的曲边梯形面积必定与某个以

为高，区间

长为宽的矩形面积相等。第二节定积分的计算一、不定积分定义

若

或，则称

是

的一个原函数。的一切原函数称为的不定积分，记为。例如：，。可见：如果是的一个原函数，那么第二节定积分的计算如果将求不定积分称为积分运算的话，那么易得积分运算与求导、求微分运算是互逆的，并且有如下四个关系式：仔细观察上面式子发现，积分运算的结果是可以用求导的方法来检验的。例如：第二节定积分的计算不定积分公式和性质第二节定积分的计算例

求出下列不定积分(1)(2)解：(1)(2)不定积分运算时，依次用求导公式的逆向思维方法写出每项积分函数的一个原函数并加起来，记住最后加上一个任意常数

即可。第二节定积分的计算二、微积分基本定理定理

设函数

在闭区间

上连续，

是的一个原函数，则有如下公式（牛莱公式）：【小背景】

说起微积分基本定理和牛顿-莱布尼兹公式，其背后还有一段关于微积分理论到底是由谁先创建的历史争论。史料表明，他们两人都是独立地得到微积分中许多重要结果的，因此应当并列为微积分学的主要创始人。

现在我们使用的微积分通用符号很多都是莱布尼茨精心选用的，比如积分符号是英文单词Summa中首写字母的拉长。第二节定积分的计算牛顿-莱布尼兹公式实际上给出了计算连续函数定积分的一种简单方法，为了方便，公式也常被简写为如下形式：下面我们用牛莱公式再来计算前面算例中的曲边三角形面积就非常简便：第二节定积分的计算例

计算下列定积分(1)(2)解：先运用相应的积分公式求出原函数，再利用牛顿-莱布尼兹公式计算它在上、下限处函数值的差。(1)(2)第二节定积分的计算三、不定积分的求法不定积分的直接积分法所谓不定积分的直接积分法是指最多对积分函数进行一定的整理变形就可直接利用积分的线性性质和积分公式计算不定积分的一种方法。例

求不定积分解：先把积分函数整理为指数函数，再利用积分公式得：第二节定积分的计算例

求不定积分解：因积分函数是一个分式，可先将它拆成几个分式之和，再逐项积分。例

求不定积分解：利用三角函数恒等式将原积分转化积分公式计算。第二节定积分的计算不定积分的凑微分法例

求不定积分解：例求不定积分解：第二节定积分的计算例

求不定积分解：例求不定积分解：第二节定积分的计算第二节定积分的计算解：令速度为零，先计算出制动所用时间，即当

，得（秒）。设汽车制动后路程函数为

，由可知根据题意，当

时，，代入上式得于是得到制动路程函数为：将代入计算出制动距离约为

（米）第二节定积分的计算四、定积分的求法定积分的换元积分法定积分的换元积分法，就是通过变量换元，将一个较难计算的定积分转化为另一个数值相等的较简单定积分的计算。其原理如下注：换元积分法一般是用于积分函数中含有根式的积分，目的是通过换元去掉根号从而转化为一个简单的积分。分为代数换元或三角换元两种基本情形。第二节定积分的计算例

计算解法1：先用不定积分的凑微分法求出原函数，再利用牛莱公式计算：解法2：用定积分的换元法，设代数换元注意：“换元必换限，上限对上限，下限对下限”第二节定积分的计算例

计算解：设代数换元

，则例

计算解：设三角换元

，则第二节定积分的计算

利用定积分的换元积分法我们可以推出一个对称区间上定积分的重要结论，即

至于推导过程，有兴趣的同学不妨一试。有了这个结论，如果遇到奇函数在对称区间上的定积分时，可不用计算立即判定其结果为零。例如第二节定积分的计算定积分的分部积分法

所谓分部积分法就是依照下面一个可由乘法求导法则推导出的分部积分公式来简化定积分计算的一种方法：注：分部积分法一般用于解决积分函数为幂函数与其它基本初等函数乘积、三角函数与指数函数乘积形式的定积分计算问题。关键在于如何凑成一个函数的微分

，才能使公式右边的定积分比公式左边的定积分容易求出。第二节定积分的计算例

计算解：将积分表达式中的

凑成，再用分部积分公式有例

计算解：将积分表达式中的

凑成，再用分部积分公式有第二节定积分的计算例

计算解：直接利用分部积分公式，得以上四种积分方法，即：求不定积分的直接积分法和凑微分法，求定积分的换元积分法和分部积分法。

在具体求定积分时，如何选择合适的方法，有时还可能需要同时用到多种积分方法才能求解，这都需要一定量的练习逐步熟练掌握。第二节定积分的计算*五、反常积分无限区间上的反常积分无穷区间上反常积分的数值表示为一个“开口曲边梯形”的面积。例

求由曲线

、轴和轴所围成的“开口曲边三角形”的面积。第二节定积分的计算解：设所求面积为

，先任取实数

，那么对应于有限区间

上的部分是一曲边梯形，因为

，根据定积分的几何意义，其面积为定积分显然该面积是“开口曲边三角形”面积的一部分，且与实数

有关，记为

。当越大，

就越接近所求面积，考虑极限有第二节定积分的计算定义若上述极限存在，则称相应的反常积分收敛，否则，称反常积分发散。对于区间

上的反常积分可转化为定义中的两种反常积分之和：第二节定积分的计算例

判别下列反常积分的敛散性，如果收敛，则计算反常积分的值。(2)解：(1)此反常积分发散。(2)第二节定积分的计算无界函数的反常积分如果函数

在有限区间

上存在无穷间断点，则称积分

为瑕积分，相应地，这样的无穷间断点称为瑕点。定义

设函数

在区间

上连续，点

为瑕点，如果

存在，则称函数

在

上的暇积分收敛，否则称发散。类似地，仅点为瑕点的函数在上的暇积分和仅

内一点

为瑕点的暇积分分别定义为：第二节定积分的计算例

讨论暇积分

的敛散性。解：因为

，所以暇点为

，根据暇积分定义有因此，暇积分

收敛，积分值为-1。另，如图，根据反常积分的几何意义，将例中变量

对换进行处理：说明两种反常积分之间是可以相互转化。第三节定积分的应用一、微元法

定积分的思想是十七世纪人类最伟大的成果之一，它对于解决那些不规则、非均匀、非恒定的整体量计算问题非常有用，因而定积分在各个领域内的应用相当广泛。定积分的无限求和思想常被归纳为一种更为广泛意义下的微元法。

回顾面积无限求和思想的四个步骤：

分割

近似

求和

取极限第三节定积分的应用概括简化为如下两个步骤：(1)有限分割并近似得面积微元：(2)将有限和变为无限累加：第三节定积分的应用上述两个步骤推而广之，就是定积分的微元法。步骤如下：(1)根据问题的具体情况，选取一个变量如为积分变量，并确定它的变化区间

；(2)任取区间

中一个微小区间

，求出相应这个微小区间的部分量的微元

；(3)在区间

上写出定积分

。微元法的关键在于找到非均匀分布整体量的部分量

能近似表达为

的线性形式，即微元

，而实际问题中，要找到一个方便计算的线性微元，近似误差又是高阶无穷小，往往不是一件容易事情，需要多次实践积累。第三节定积分的应用第三节定积分的应用解：这是无穷区间

上的求整体量问题。按照微元法，先找微元。因为

是该批飞机一年后的用油率，所以在第一年到第b年间的任取一个时间段

，该批飞机所需要的润滑油的数量为

，即微元，显然从第一年到第b年间所需要的润滑油的数量等于

。

再无限求和，考虑到润滑油的终身服务，于是，就等于该批飞机终身所需的润滑油的数量了。第三节定积分的应用二、求平面图形面积和旋转体的体积平面图形的面积例

求由曲线

与所围成的平面图形面积。解：画出所围的平面图形，并求出两曲线的交点，即解方程组

，得。第三节定积分的应用第三节定积分的应用解：设所求面积为

，在参数

取值区间

相应的

所在区间

内任取一个区间图中阴影部分表示对应的面积部分量的微元：于是，所求面积为第三节定积分的应用旋转体的体积所谓旋转体是由一个平面图形绕着这个平面内一条直线旋转一周所形成的几何体。这条直线称为旋转轴。车床切削加工出来的工件很多都是旋转体，常见的有圆柱、圆锥、圆台和球等，它们可分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰和半圆绕它的直径旋转一周而成的旋转体。第三节定积分的应用例

试推导底半径为

，高为

的圆锥体的体积公式。解：将圆锥体放置到直角坐标系中，如图，

它可看作直角三角形OAB绕着其一条直角边OA旋转而成