第2讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式（解析版）

一．选择题（共5小题）1．已知点P是双曲线一上的动点，F1，F2为该双曲线的左右焦点，O为坐标原点，则的最大值为() 【解答】解：由题意，分子最大且分母最小时，即P在顶点处取得最大值，不妨取顶点(2·2，0)，则的最大值为故选：D.别是双曲线的左右焦点则+y0(c为双曲线C的半焦距）的取值范围是():右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|=3|PF2|，解得，:P在右支上，可得x0=令e2而f(t)=1(t+32)在(1，4]递减，c225:2≤x0+y0<2，故选：B.坐标原点，若的最大值是，则此双曲线的离心率是() 【解答】解：不妨设P为右支上的一点，P(x,y)其中x≥a，|PFx+yx+y:当x=a时，取得最大值，故选：B.4．已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则当|AB|+|DE|取得最小值时，四边形ADBE的面积为()A．32【解答】解：因为AB丄DE，要使|AB|+|DE|最小，|AB||DE|,由抛物线的对称性可得A与D，B与E关于x轴对称，所以可得直线DE的斜率为1，又过抛物线的焦点(1,0)，l2l故选：A.5．过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，【解答】解：由椭圆得椭圆的右焦点为F(1,0)，当直线AB的斜率存在时，又设点A(x1，y1)，B(x2，y2).联立方程组为定值.故选：D.二．填空题（共3小题）6．已知P是椭圆上的动点，F1，F2分别是其左右焦点，O是坐标原点，则【解答】解：设P的坐标为(m,n)2作出椭圆的右准线，设P在右准线上的射影为Q，连结PQ，根据圆锥曲线的统一定义，得2·i2].7．已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则的值为.【解答】解：根据题意可得，抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x=一1，设直线l1:y=k(x1)(k≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，E(x4，y4)，则分别将直线l1，l2的方程与抛物线方程联立组成方程组可得，由抛物线性质可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，148．已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+4|DE|的最小值为36.【解答】解：抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)，准线方程为x=-1，设直线l1的方程为y=k(x-1)，k≠0，联立方程组，则k2x2-x+k2=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，丄l2，可将上式中的k换为-，2，当且仅当上式取得等号，故答案为：36.三．解答题（共6小题）9．已知斜率为k的直线l与椭圆=1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，（1）证明：k<-；------------（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP+FA+FB=0．证明：|FA|------------【解答】解1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，:线段AB的中点为M(1,m)，将A，B代入椭圆=1中，可得两式相减可得，3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+即6(x1-x2)+8m(y1-y2点M(1,m)在椭圆内，即:k=-①（2）由题意得F(1,0)，设P(x3，y3)，则x1-1+x2-1+x3-1=0，y1+y2+y3=0，又点P在C上，所以m=，从而P------------------------②所以l的方程为y=-x+，代入C的方程，并整理得7x2-14x+所以该数列的公差为或-.10．已知斜率为k的直线l与椭圆=1交于A、B两点，线段AB的中点为M(1，证明：k<-|--FB||--，B(x2，y2)，（1）-（2）得+=0.ⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆ（3分）.ⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆ由题设可知点M(1,t)在椭圆内，:+<1，解得0<t<，ⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆ（5分）:FQ=-2FM，ⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆ（6」M(1,t)，:Q(1,-2t).ⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆ（7由知k=-，所以k=-:直线l的方程为，即y=-x+2.ⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆ（9分）由直线l的方程与椭圆方程联立，得消y化简得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3.ⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆ（10分）从而得A(-1,)，B(3,0)，ⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆ11．已知F1、F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，且离心率e=，点P为椭圆上的一个动点，△PFF的内切圆面积的最大值为4π（1）求椭圆的方程；（2）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，满足向量F1A与F1C共线，F1B【解答】解1）由几何性质可知，当，△PF1F2的内切圆面积的最大值时， 由πr2=π又由△PF1F2的周长为2a+2c定值，可得a=2c，即b=2，:c=2，b=2，a=4，（2）①当直线AC和BD中有一条垂直x轴时，|AC|+|BD|=6+8=14②当直线AC的斜率存在但不为0时，设AC的方程为：y=k(x+2)，得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0，代入弦长公式得同理由，消去y，代入弦长公式得|，令令则12．已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(,—)，且椭圆的离心率e=，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A、B及C、D.求证：为定值；(Ⅲ)求|AB|+|CD|的最小值.【解答】解：(I)由e==，得=，:a2=4c2=4(a2—b2)，:3a2=4b21ⅆ（1分）.ⅆ（3分）故椭圆的方程是=1.ⅆ证明：椭圆的右焦点为F’(1,0)，分两种情况.1O当直线AB的斜率不存在时，AB:x=1，2O当直线AB的斜率存在时，又设点A(x1，y1)，B(x2，y2).联立方程组::=(x1x2)2+(y1y2)2=2,ⅆ（8分）所以为定值.ⅆ（10分）解：由知 =(++) 当且仅当:|AB|+|CD|的最小值为.ⅆ（14分）13．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆C2过椭圆C1右焦点F，且与直线x=1相切.（1）求椭圆C1的方程及动圆圆心轨迹C2的方程；（2）过F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C1于P，Q两点，交曲线C2于M，N两点，求四边形PMQN面积的最小值.则所求椭圆方程由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为(1,0)，准线方程为x=1，则动圆圆心轨迹方程为C2:y2=4x.（2）当直线MN的斜率不存在时，|MN|=4，此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，设直线MN的斜率为k，则k≠0，直线MN的方程为：y=k(x—1)，直线PQ的方程为设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则,所以四边形PMQN面积的最小值为8.14．平面直角坐标系xOy中，已知F为椭圆的右焦点