第8讲 破解离心率问题之椭双共焦定理（解析版）

一．选择题（共11小题）1．已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的交点，2取最大值时e1+e2的值为(①22③,最大值为，故选：B.2．已知椭圆+y2=1与双曲线—y2=1有相同的焦点F1，Fe221【解答】解：由椭圆与双曲线的几何性质可得，a12—1=a故选：C.3．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点，分别为F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双|PF|:|F设双曲线的实半轴长为a，半个焦距c，椭圆的长半轴长为a/，半个焦距为c/，所以椭圆的离心率所以双曲线的离心率故选：C. 它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若上F1PF2=120O，则双曲线C2的离心率为() 2【解答】解：由题意可得双曲线与椭圆的焦距相同，设焦点在x轴上，设椭圆的方程双曲线的方程为，2，|FF22，，F故选：C.5．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2，点P是C1与C2的一个公共点，△PF1F2是一个以PF1为底的等腰三角形，|PF1|=4，C1的离心率是，则C2的离心率是【解答】解：根据题意知C1的离心率F2:双曲线的离心率故选：C.>0)与双曲线有相同的左2，22函数在上单调递增，可得:e1+e2的取值范围是(,+∞).故选：B.27．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左、右焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C22【解答】解：由题意可得故选：D.22e2的取值范围是()故选：D.1与双曲线y2=1的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，则e1.e2的值为()若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得n=m，②故选：C.10．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左、右焦点，分别为F1，F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，且两曲线【解答】解：如图，|PF|:|F设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，故选：A.2a2， 故选：B.二．多选题（共2小题）2:y2e2e2点F，F2，设P是C1，C2的一个交点，C1与C2的离心率分别是e1，e2，则下列结论正确22②a22=2α,由椭圆焦点三角形面积公式可得S△FPF=b12tanαb2，故B正确；22，①22222，2222222，22，22，故选：ABC.三．填空题（共11小题）>0)有相同的焦点F、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的第①22③, 故答案为：.点F e2的最小值为.兀3【解答】解：由已知可设PF1=m，PF2=n，a2，设焦距为2c，则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2222mncos=m2+n2mn=2(a1故所求的最小值为. 故答案为：.2所以双曲线的离心率为==.2 故答案为：.-13的横坐标为1，则双曲线的离心率等于.-132双曲线的渐近线方程y=±x，则P在直线y=x，则=，双曲线的离心率 :双曲线的离心率为：， 故答案为：.则椭圆C1与双曲线C2的离心率之比为1:4.【解答】解：由题意可得，c=2，设都经过点(2,3)为点P，左、右焦点分别为F1、F2，则F:m=1，:椭圆C1与双曲线C2的离心率之比为:，即1:4，>0)与双曲线有相同的焦点F率分别为e1，e2，则e2e1的取且故答案为>0,b>0)有相同的焦点，其左，右焦点为F、F2，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P，且F1P=F1F2，则双曲线的离心率为【解答】解：如图：在椭圆中2c=2，PF1=2c=2， 3故答案为21．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1，F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象则椭圆C1的离心率为22且，4c2222|PF2，:c2=3m2，则n22m22且，则椭圆C1的离心率为：.故答案为：3.22．已知椭圆与双曲线共焦点，F1、F2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P，且离心率之积为1．若sin上F1PF2=2sin上PF 线的离心率为.【解答】解：如图，:a-m=c.am解得双曲线的离心率大于1， :该双曲线的离心率为. 故答案为：.23．已知椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4e-e=0，若P为两曲线的一个交点，则PF1|.|PF2【解答】解：由题意可知双曲线的焦点在x轴上，故而椭圆的焦点在x轴上，椭圆的离心率双曲线的离心率e2