第15讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结（原卷版）

一．解答题（共19小题）1．如图，已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0)，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得ΔABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧．记ΔAFG，ΔCQG的面积为S1，S2.（1）若直线AB的斜率为求以线段AB为直径的圆的面积；求的最小值及此时点G的坐标.2．如图，已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ΔABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记ΔAFG，ΔCQG的面积分别为S1，S2.求的最小值及此时点G的坐标.3．已知椭圆的右焦点为F(1,0)，短轴长为2.（1）求椭圆Γ1的方程；（2）设S为椭圆Γ1的右顶点，过点F的直线l1与Γ1交于M、N两点（均异于S)，直线MS、NS分别交直线x=4于U、V两点，证明：U、V两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；（3）记以坐标原点为顶点、F(1,0)为焦点的抛物线为Γ2，如图，过点F的直线与Γ2交于A、B两点，点C在Γ2上，并使得ΔABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在F的右侧，设ΔAFG、ΔCQG的面积分别为S1、S2，是否存在锐角θ,使得cosθ成立？请说明理由.4．已知双曲线的焦距为3，其中一条渐近线的方程为2y=0．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A、B两点.若点P满足|PA|=|PB|，求证为定值.M为椭圆上的动点，以M为圆心，MF2为半径作圆M.（1）求椭圆C的方程；（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围.6．已知椭圆的左、右焦点分别为F1(-1,0)，F2(1,0)，且椭圆C上的点M满足|M=120o.（1）求椭圆C的标准方程；（2）作直线垂直于x轴，交椭圆C于点Q，R，点P是椭圆C上异于Q，R两点的任意一点，直线PQ，PR分别与x轴交于S，T两点，判断|OS|.|OT|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.7．已知椭圆的左右焦点坐标为F1(—,0),F2(,0)，且椭圆E经过（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积.8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:过点A（1）求椭圆E的方程；（2）点Q(x0，y0)是单位圆x2+y2=1上的任意一点，设P，M，N是椭圆E上异于顶点的三点且满足，求证：直线OM与ON的斜率乘积为定值.9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:过点A（1）求椭圆E的方程；（2）点Q(x0，y0)是单位圆x2+y2=1上的任意一点，设P，M，N是椭圆E上异于顶点的三点且满足探讨是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.10．定义：在平面内，点P到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P到曲线Γ的距离．在平离与到A点的距离相等，记P点的轨迹为曲线W.(Ⅱ)过原点的直线l(l不与坐标轴重合）与曲线W交于不同的两点C，D，点E在曲线W上，且CE丄CD，直线DE与x轴交于点F，设直线DE，CF的斜率分别为k1，k2，求k2l:y=kx+m交椭圆C于不同的两点A，B，且OA.OB=0(O（1）求椭圆C的方程.（2）讨论3m22k2是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由.12．已知F1，F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶 (Ⅱ)过F2的直线交椭圆于M，N两点，求F2MF2(Ⅲ)过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点C)，与y轴交于点P（点P异于坐标原点O)，直线AD与BC交于点Q．证明：●为定值.(Ⅱ)若直线l:y=kx+m与曲线C相交于异于点A的两点D、E，且直线AD与直线AE的斜率之和为2，则直线l是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由.14．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω:的离心率为直线l:y=2上的点和椭圆Ω上点的最小距离为1.（1）求椭圆Ω的方程；（2）已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2.①求证：k1.k2为定值；②求ΔAEF的面积的最小值.15．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，（1）设动点P满足PF2—PB2=4，求点P的轨迹；设x1=2，x2=，求点T的坐标；（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.16．已知A是椭圆的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A、M两点，点N在E上，且在E上，且AM.AN=0.（1）当|AM|=|AN|时，求ΔAMN的面积；（2）当19|AM|=8|AN|时，求k的值.17．已知椭圆的离心率为，右焦点F(1,0)．过点F作斜率为k(k≠0)的直线l，交椭圆G于A、B两点，M(2,0)是一个定点．如图所示，连AM、BM，分别交椭圆G于C、D两点（不同于A、B)，记直线CD的斜率为k1.(Ⅱ)在直线l的斜率k变化的过程中，是否存在一个常数λ,使得k1=λk恒成立？若存在，求出这个常数λ;若不存在，请说明理由.椭圆的左焦点F1斜率为k1(k1≠0)的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设R(1,0)，延长AR，BR分别与椭圆交于C、D两点，直线CD的斜率为k2，求的值及直线CD所经过的定点坐标