第16讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题（解析版）

一．解答题（共25小题）1．椭圆E:的焦点到直线x—3y=0的距离为，离心率为物线G:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为k的直线l过G的焦点与E交于（1）求椭圆E及抛物线G的方程；（2）是否存在常数λ,使得为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【解答】解1）设椭圆的右焦点F(c,0)，由题意可得10，可得c=2，再由所以可得a=，所以椭圆的方程为+y2=1；因为抛物线的焦点=2，所以p=4，所以抛物线的方程：y2=8x，所以椭圆的方程为+y2=1，抛物线的方程：y2=8x；（2）设直线l的方程为：x=my+2，并设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，联立整理可得：y2-8my-16=0，得要使其为定值，则对应比成比例，所以可得20+5λ=4，即λ=-时，+为定值. 2．椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点F到直线x-3y=0的距离为，抛物线G:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点F重合，过F作与x轴垂直的直线交椭圆于S，T两点，交抛物线于C，D两点，且.（1）求椭圆E及抛物线G的方程；（2）过点F且斜率为k的直线l交椭圆于A、B两点，交抛物线于M，N两点，请问是否存在实常数为常数．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【解答】解1）设椭圆E、抛物线G的公共焦点F(c,0)，=解得c=2，故=2，即p=4，故椭圆E的方程为+y2=1，抛物线G的方程为y2=8x.（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4).把直线l的方程y=k(x—2)，与椭圆E的方程联立，得把直线l的方程y=k(x—2)，与抛物线G的方程联立，得:|MN|=x3+x4+4=，要使+为常数，故存在使得为常数.一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为·10.（1）求椭圆C的标准方程；（2）给出定点Q(，0)，对于椭圆C的任意一条过Q的弦AB，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【解答】解1）由右焦点(c,0)到直线x—y 解得c=22. 2:9当直线与x轴不重合时，设直线AB的方程为：x=my+同理可得:1111y+y(y1+y2)22y1y2 (m2+1)y(m2+1)y(m2+1)yy(m2+1)yy12m22×9[·i5(m2+9)]+5(m2+9)292(m+1)[2]5(m+9).综上可得=10.≤|AF|.|BF|≤求直线l的斜率k的取值范围.解：椭圆的右焦点为F(1,0)，设直线l的方程为y=k(x—1)，A(x1，y1)，B(x2，y2).得(3+4k2)x28k2x+4k212=0，:直线l过焦点F，:△>0，:|FA|==(x11)2+y12=|x11|，1+k2|x21|，解得≤k2≤. 5．已知F1，F2为椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点，点P(1,)在椭圆上，且过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4.(Ⅱ)我们知道抛物线有性质：“过抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F的弦AB满足|AF|+|BF|=|AF|.|BF|．”那么对于椭圆E，|=λ|AF2|.|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由.:4a=43，a=3，:椭圆E的方程为将P(1,)代入得b2=2，所以椭圆的方程为2=a2b2=1，得F2(1,0)，依题意可知直线l的斜故可设直线l的方程为x=my+1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设y1>0，y2<0，|AF|=(x11)2+y=(my1+11)2+ym2+12+22+2， 6．已知椭圆C:+=1(a>b>0)，椭圆（1）求椭圆C的方程；（2）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|.|F2B|的取值范围.〔·3所以椭圆的标准方程为则不符合题意；当直线l的斜率存在时，直线l的方程可设为y=k(x—1).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程(*)的两个根，x21)221)2222|x21|，|.|F2),当k2又当k不存在，即AB丄x轴时，|AF2|.|F2B|取值为.所以|AF2|.|F2B|的取值范围[,3]，------------（法二）|AF2|.|F2B|=AF2.F2B=-F2A.F2B=-(x1-1)(x2-1)------------2)3,当k2又当k不存在，即AB丄x轴时，|AF2|.|F2B|取值为.存在且不为零的直线l交C于A，B两点，且△F1AB的周长为8.（1）求椭圆C的方程；（2）已知弦AB的垂直平分线m交x轴于点P，求证：为定值.【解答】解1）因为椭圆的焦距为2，由椭圆的定义可得△F1AB的周长为4a，又因为△F1AB的周长为8，所以b2=a2-c2=3，（2）证明：设直线l的方程为y=k(x-1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x2设AB的中点为Q(x0，y0)，所以1|=4x1x2所以所以综上，1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的点，且(Ⅱ)过椭圆C的上顶点B作斜率为k(k>0)的直线l交椭圆C于另一点M，点N在椭圆C所以点又F(c,0)，坐标原点:2c4一5a2c2+2a4=0， 故所求椭圆离心率为；:椭圆C:其上顶点为B(0,b)；故直线l的方程为y=kx+b，与椭圆方程组成方程组，消去y，得x2+2(kx+b)22b解得xM=:函数f(x)的零点在区间(1,1)内，42斜率为k的直线l交C于M，N两点．当k=0时，点M，N，F1，F2恰在以MF1为【解答】解：(Ⅰ)当k=0时，直线l//x轴，又点M，N，F1，F2恰在以MF1为直径，面积为9的圆上，所以四边形MNF1F2为矩形，且|M所以点M的坐标为(c,)2分）解得b2=4，a2=5，所以椭圆的方程为（6分）x2|x5 ,F2分别为左、右焦点，椭圆C上一点M满足MF1丄MF2，且△MF1F2的面积为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点T(1,0)作斜率为k(k>0)的直线l交椭圆C于A，B两点．过点O且平行于l的直线交椭圆于点P，Q，证明：为定值.椭圆C上一点M，满足MF1丄MF2，所以点M为圆：x2+y2=c2=3b2与椭圆的交点，联立方程组解得|y|=P（2）证明：设直线AB的方程为：y=k(x—1).x1x11|222x2程程l42222)2l4方向向量为=(,)的光线，经直线y=b反射后通过左顶点D(a,0).(I)求椭圆Γ的方程；(II)过点F作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆Γ于A，B两点，M为AB的中点，直线OM(O––––––––→为原点）与直线x=m(m<0)交于点P，若满足|FP+FM|=|MP|，求––––––––→线方程上，:椭圆Γ的方程为；过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.所以联立直线AP、BQ方程可知2k)，由于当1<x<>0，当<x<1时f/ 13．已知椭圆的离心率为，过点M(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|=λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|=·.（1）求椭圆C的方程；（2）若λ∈[，2]，求弦长|AB|的取值范围.【解答】解1）由题意可得， 22，①:椭圆C的方程为+y2=1；（2）如图，当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y=k(x—1)，③λM--，:(1x1，y1)=λ(x21，y2)，则y1=λy2，④把④代入③消去y2得：2解得：k2≥..:弦长|AB|的取值范围为 14．椭圆C:的左，右焦点应分别是F1，F2，离垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.（1）求椭圆C的方程；圆C交于不同的两点A、B，且与直线l1交于点M．证明：存在常数λ,使得=λ|MA|.|MB|，并求λ的值；（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设上F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围.222（2）证明：T(，2)，:kOT=，又l2//OT，:设l2的方程为x+m，22:222+x1x2m2,:|MT|2=|MA|.|MB|，即存在λ=1满足条件；（3）由题意可知00)---将向量坐标代入并化简得：而x0 短轴为直径的圆截得的弦长为3.（1）求椭圆C的方程；（2）过点M(4,0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ=，求λ的取值范围.2(b24（2）当直线l的斜率为0时，直线l:y=0即x轴，当直线l的斜率不为0时，设直线l:x=my+4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1+y2=，y1y2=>0，显然y1，y2同号， 8m 8m 2)2 2):λ>2×12=4'39且λ< 故λ的取值范围是(，]. 轴为直径的圆截得的弦长为3.（1）求椭圆C的方程；（2）过点M(4,0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ=|MA|.|MB|，求λ的取值范围.【解答】解1）原点到直线x+·i3y所以()2+()2=b2(b>0)，解得b=1，2所以椭圆4（2）当直线l的斜率为0时，直线l:y=0即x轴，当直线l的斜率不为0时，设直线l:x=my+4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，2所以y1y2=17．已知抛物线C的方程为x2=2y，A，B为抛物线上两点，且MA丄MB，其中M(2,2)，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，设l1，l2交于点P.(Ⅱ)O为坐标原点，设抛物线C的焦点为的取值范围.【解答】解：(Ⅰ)设A(x1,x)，B(x2,x)，因为抛物线C的方程为x2=2y，联立两条切线方程可得交点，2，由可得x1x2=2t8，所以P=t2令，即64(4m)24(52m)(6436m)≥0，解即的取值范围为[,].（1）试判断曲线C1与C2的交点个数；（2）若过点M(1,0)直线l与曲线C2交于两个不同的点A，B，求的取值范围.【解答】解1）由Pcos(θ+)=，得P(cosθ—sinθ)=，所以曲线C1与C2的交点有两个；（2）①当直线l存在斜率时，设l的方程为y=k(x—1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x26k2x+3k23=0，△=36k44(1+3k2)(3k23)>0，即2k2+1>0恒成立，x21|，|AB|=1+k2又k2≥0，所以②当直线l不存在斜率时，把x=1代入x2+3y2=3得y=±此时综合的取值范围为.19．如图，设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过准线l上一点M(—1,0)且斜率为k的直线l1交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P，直线PF交抛物线C于D，E两点.(Ⅱ)若|MA|.|MB|=λ|FD|.|FE|，试写出λ关于k的函数解析式，并求实数λ的取值范围.方程为y=k(x+1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)，由得24y+4k=0，△=1616k2>0，所以k∈所以MA.MB=MA.所以MA.MB=MA.MB=x1x2+x1+x2+1+y1y2=4(1+k2)，ⅆ（8分）且直线PF方程为代入直线方程得x3+x4+2,x3.x4=1，所以|FD|.|FE|=(x3+1)(x4+1)=+4，ⅆ而在单调递增，在(·,2)单调递减所以λ∈(1,]…（14分） 20．椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(·i2，)，左焦点为F，PF与y轴交于点Q，且满足PQ+3FQ=0.2+y2=1，直线l:y=kx+m与圆O相切且与椭圆C交于不同两点A，B，当时，求弦长|AB|的范围.2，:(2:椭圆C的方程+y2=1；由直线l与椭圆交于不同的两点A、B，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，24:λ==x1.x2+y1.y2= :λ∈[，1)，21．椭圆C:过点P左焦点为F，PF与y轴交于点Q，2=1，直线l:y=kx+m与圆O相切且与椭圆C交于不同两点A，B，当λ=OA.OB且λ∈[2，1)时，求弦长|AB|的范围，并求当弦长|AB|最大时，直线l的方【解答】(Ⅰ)由题意椭圆过点P(i2，)，设左焦点F(—c所以P、F、Q三点在一条直线上，:PQ+FQ=0 :c=·3,则{则韦达定理有②将②③代入④可得将⑥代入⑤可得求椭圆离心率的范围.（3）在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒l6m由椭圆过点M、l6m所以椭圆E的方程为；（2）设M(x,y)，F1M=(x+c,y)，F2M=(x—c,y由F.F2M22b2则有c2b2≥0，即c≥b，两边平方得c2≥b2，即c2≥a2—c2， 所以椭圆离心率的范围为：[，1).（3）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，设该圆的切线方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2).22m222x2所以3m28k28=0，所以k2=≥0因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线， 所求的圆为x2+y2=，而当切线的斜率不存在时切线为x=±与椭圆的两个交点为(，±)满足OA丄OB其实与综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，2|x 综上，|AB|的取值范围为[，2]23．在平面直角坐标系xOy中，已知F(2,0)，M(—2,3)，动点P满足2|OF.MP|=|PF|.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点D(1,0)作直线AB交C于A，B两点，若ΔAFD的面积是ΔBFD的面积的2倍，2即动点P的轨迹C的方程为y2=8x.（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，2y1224．过抛物线y2=2px(p>2)的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，已知点M(1,2)，O为