考研：线性代数（基础篇）

代

四目录

第一章行列式

模块一行列式....................................3

第二章矩阵

模块二矩阵的定义及运算.........................19

模块三逆矩阵...................................31

模块四初等矩阵.................................39

模块五矩阵的秩.................................44

第三章向量和线性方程组

模块六线性方程组...............................51

模块七向量的线性相关与线性表出................59

■

模块八向量组的秩...............................69

模块九线性方程组解的结构.......................75

第四章特征值和特征向量

模块+特征值、特征向量.........................88

模块十一矩阵的相似.............................98

模块十二实对称矩阵............................107

第五章二次型

模块十三二次型及其合同标准形.................114

模块十四惯性指数与合同规范形................T123

模块十五正定二次型...................................................128

第一章行列式

历年考频

数学一

年份19871988198919901991199219931994

题数01000001

分值040000010

年份19951996199719981999200020012002

题数11001000

分值104004000

年份20032004200520062007200820092010

收数01110000

分值04440000

年份20112012201320142015201620172018

题数00.5111100

分值05444400

数学二

年份19871988198919901991199219931994

题数00000000

分值,00000000

年份19951996199719981999200020012002

题数00001000

分值00004000

年份20032004200520062007200820092010

■ft01110001

分值04440004

年份20112012201320142015201620172018

的数00.5111100

分值05444400

2基础线代讲义

数学三

落模块一行列式

【考点框架】

定义:不同行不同列〃项元素乘积的代数和

［行列式的行和列互换后，行列式的值不变

性质］某行（或某列）有公倍数3可以将k提出

［某行（或某列）的A倍加至另一行（或列），行列式的值不变

件14+曲&+—+华4.=0.（阜4）

按行展开，W

,A*\0.1Al+〃A+…=\A\,（i=A）

展开定艰

。14小+/八柒+…+七4・=0,6当）

按列展开，s

1

a\Au+…+o1tA.=\A,（：=4）

|A|=|Ar|.|M|=^|AMAB|=|A||B|=|a4|

行

列心=I4T，IA・|=IA|I

式常见

,ACA0oB.x.cB.x.

公式=|AB|,=（-1）-IAIIBI

OBCB4x・C

特征值：MI=TU

i-i

矩阵A可逆0|川Ko

A4-=A-A=|A|E

,e4“r=b有唯一解QlAlXO

应用

n维向垃组q，…,a.线性无关Ola，…,a1X0

计算矩阵A的特征值,您一川=0

实对称矩阵正定的充要条件:顺序主子式全为正

基础线代讲义

【考点精析】

一、必备知识点

1.基本概念

【定义1.U由〃个自然数1,2,3…5组成的无重复有序实数组3,1…,i.称为一个〃

级排列.；

【定义1.2］在一个〃级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，我们就称这两个

数构成一个逆序.我们称一个n级排列i>H，…,i.中逆序的总数为此〃级排列的逆序数.记

作T(i|til•••••!.).

如果〃级排列…七的逆序数是偶数，则称正足，…为偶排列；如果〃级排列

。山，…a的逆序数是奇数,则称&由一・・,力为奇排列.

a幻•••唯

【定义1.3】〃阶行列式是一种运算法则，它是行列式中所有取自不

••••••••••••

a.ia国…%.

同行不同列〃项元素乘积的代数和.它由n!项组成，其中每一项都是行列式中不同行不同

列〃项元素的乘积•将这月项的行数按照自然顺序排列，假设此时其列数为h，“，…h•当

iiui.-t.为偶排列时，符号为正，当h，k，・・・i.为奇排列时，符号为负，也即，

ana\i…aXm

M而a”d,L-

=X(T)此“•吗…a，・

..........................—

a.ia4•••a・

行列式的本质是一个运算法则,其计算结果是一个数字，我们对其定义大段的描述实质上

是在解释该运算法则.我们可以这样来理解该运算法则：从n阶行列式/个数中去除n

不，这〃《必须是不同行不同列的，将这〃不按照行指标从1到〃的自然■亭排列起来.

根据此时列指标的排列XJ序是奇排列还是偶排列决定加上负号还是正号，最后，将所有这

样的〃子桌积加起来•所得到的计算结果蜕是行列大的值.

【定义L4】将〃阶行列式中元素%所在的行和列划掉之后得到1阶行列式•称之为

元素劭的余子式，记作M.,

第一章行列式

fillan•**A!(/-1>as”…au

an•**…au

••••••••••••••••••

MQ=

<2(H-l>(/-♦-1)…a《rHh»

•••••••••••••••••••••

-a.

a.i0a2•**«•</-1>

给余子式加上符号则成为代数余子式，记作A.=（-1

rai

余子式也是行列式，阶数比原先的行列式臭低一阶.

2.基本性质

性质一将行列式的行和列互换后，行列式的值不变•也即

•••

anai.Oila：ia.i

••••••

anana12an电

••••••••••••••••••••••••

•••

心ai.aua-

【注】

嫉性质告诉我们行列式中行和列是等价的.因此，我们在讨论行列式的性质时，只要说到

行，那么杞相美性质中的行成成列也是成立的.

性质二将行列式的任意两行（或两列）互换位置后，行列式改变符号.

推论1如果行列式有两行（或两列）相同，则行列式的值为0.

性质三将行列式的某一行（或某一列）乘以一个常数k后，行列式的值变为原来的

4倍.

推论2如果一个行列式的某一行（或某一列）全为0,则行列式的值等于0.

推论3如果一个行列式的某两行（或某两列）元素对应成比例,则行列式的值等于0.

性质四如果行列式某一行（或某一列）的所有元素都可以写成两个元素的和，则该行

列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行（或列）分别为对应两个加数.其余行

（或列）与原行列式相等,即

•••

anan5.anan…anoit-

•••

ananOn3•••a-即an・・・

••••••••••••••••••••・•••••••••••••••

十

41+6,1999以・+

6.a.iaababa,*•b.

••••••••••••••••••・•••••••••••••••••

•••

a3a-a.ias…a.a.ia4a。

二量工乳基础线代讲义

推论4将行列式的一行（或列）的k倍加到另一行（或另一列）上，行列式的值不变.

3.常用公式定理

1）常见的计算公式

a）低阶行列式的计算公式

ab

=ad-bc.

aia：4

b\bi63a1与门+。2与c】+。3仇0-a361cl-a261c3-563。

ci

b）上三角或下三角行列式

anan00

00

工。“。然…a

••••••••••••

00

•••囚・0•••0

•••

・一100

••••••••••••

••••••

00*1・・

c）范健・行列式

111•••

••••••

•••1(勺-a)

•••

d）拉普拉斯展开定理

已知A为m阶矩阵,B为〃阶矩阵•则

AOA»

D==|A||B|,D==(-l)-x-|A||B|.

*BOBB

2）行列式的展开定理

行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和•

(t=L2»-»n)

\A\=at\Aa+a2An+…+a.A.

—QUA1/+。沙&+・・・+。3,(j=1.2,…，〃)

推论行列式的一行（或列）所有元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积之

和为零,即

第一通行列式7

==a“Au+a,；A*2

_・

.a”A/—=U|HA|*+。"“+…+aj\.=O・(iXA).

二、典型例题

1.对逆序的考查

［例1］计算下列排列的逆序数.

(Dr《4.5・2.3.1)1,2,…•〃-1)

(3)r(».n-1•••••1)

【思路分析】

直接计算每个敕后面有f少个比自己小的.再求和.

2.对行列式定义的考查

【例2】卬―为四阶行列式中的一项•符号为负•试求i.j.

【例3】试用定义推导二阶行列式与三阶行列式的计算公式.

a”"i?<iu

以“a\t

(1)(2)«»an

"21"32

“JI«U

【思路分析】

直接代人定义•注意不同行不同列的限制以及符号的计算.

18基础线代讲义

anan外・

0an•••Q&

【例4］试用定义推导上三角行列式的计算公式.

・•••••••••••

00a.

3.低阶行列式的计算

［例5］计算行列式

123ai+仇勿|一仇4al+5仇

(1)99201302(2)Q?+比2a2f4az+5优

1244+⑤2aLS4aj+56j

【思路分析】

观察行列式的数据检点•先利用行列式的性质进行简化再代入计算公式.

•小结：

1.三阶行列式可以直接计算.但一般可以根据行列式性盾Si化计算发展开为二阶行列式

之后再进行计算，

2.日阶行列式需要先展开，再计算,整个计算过程可以小结为：找1•化0,展开.

第一盲行列式J[9

【例6】计算行列式

仇

1一仇仇

1-九

i0

【思路分析】

所需要计算的行列式彩式都与上三角行列式比税接近.故可以考虑先“三角化”再计算.

•小结：

本题（2）的计算方法可以推广.考生用类似的方法不难计算彩4,

1%a.1

的行列式.我们把这种集里的行列式形象地称为“爪型'•行列式•它修的计算方法都是把

对用线以上或以下的元素全化为0•成为上三用或下三角行列式,也即所谓的“三角化二

，高阶行列式的计算

【例7】计算行列式

【思路分析】

通过现寒•不难发现行列式元卡排布的两个料点：每行及每列所有元素之和均为〃+a；大

多数元素（对角点以外）均为1.利用这两个特点•结合行列式的性质.可以得到本题的求

解思路.

B础线代讲义

1+a1

22+a

【例8】计算

•小结:

1.如果行列式的每行或每列的和一样,可以考虑本题的方法一:将所有行（列）加到第一行

（列），再将公借数提出.

2.对该行列式的进一步分解，本题的矩阵实质上是由一个秋为1的矩阵（各行和列相同或

1+a1•••

22+a

成比例）将对角矩阵的元素变化之后得到的.例如妊障可以看

11•••1

22—2

成姮阵把对角段上的元素各加0所得.考试中这种堤型的矩阵很多，

考生要熟练掌握其转征.我们可以把这种行列式称为“对角线型”的行列式,计算这料行列

式,最通用的方法是方法二，即利用各行（列）的比例关系将其中一行（列）的若干倍加到其

它行（列）将其化为“瓜型”行列式，再进行计算.

bia2.0

［例9］计算行列式

第一章行列式M11

【例1。】计算行列式

b.।ba26;8+工

・小结：

在推导递推公式时,要注意观察行列式的抬构•找出数据排列的规律，从而将到口।或

D.r的表达式.

5.范德蒙行列式

【例11】计算行列式

1]1•••1

1234

22225…2”

1223242

(1)(2)33:33…3'

1233se

・•••••••••••

5432

nn:〃，•••n"

【思路分析】

本期的两个行列式从形式上都与范徒蒙行列式比较接近.但又不能直接利用公式•故可以

考虑先利用行列式的性质进行变册•变成篦德蒙行列式的形式•再进行计算.

J2j|基础线代讲义

6.拉普拉斯展开定理

0a60

a00b

【例皿【20MT234分的列式。一

0

cQQd

(A)(ad-加)'(C)a^-^c2(D)"/一"/

•小结：；

本题用到了分块矩阵行列式的计算公式，也即拉普拉斯展开式.它在行列式计算中的作用

与行列式的展开定理臭似,都是将行列式降阶•进而降低计算难度.而通常情况下，它降阶

的速度往往比及开定理更快.一般来说,当行列式中有校多的零时，就可以考虑利用行列

式的性质将芈集中起来,组成分块矩阵再进行计算.

7.有关代数余子式的计算

1-235

3421

【例13］设|4|=,,

1-123

1211

(1)试求A"-2A勿+3A、+5Ax,(2)求M”+M(+M0.

【思路分析】

注意计算行列式的余子式时都要将该元素所在的行划掉.

8.克拉默法则

X|+r：-X3=l

【例14)方程组J2为+4+5=2的解是

i\-r：+3xs=0

第一章行列式J[13

【课后作业】

I.计算下列行列式

2+工222

103100204

(1)199200395

301300600

2.计算下列行列式

基础线代讲义

3.计其下列行列式

00-010ba0•••00

00-20006a•••00

••••••••••

(1)•・••••(2)・•••••

20090—000000•••6a

00—002010<200•••06

111•••Oo

••

•••

(3)D=a«-21,(q#0.i=l,2,3,…•加

第一章行列式3<1<熨壬啸鬲

【模块总结】

1.低阶行列式的计算方法

二阶和三阶行列式有计算公式•可以直接计算,三阶以上的行列式，一般可以运用行列

式按行或按列的展开定理展开为低阶的行列式再进行计算,对于较复杂的三阶行列式，也可

以考虑先进行展开.

在运用展开定理时，一般需要先利用行列式的性质将行列式化为某行或某列只有一个

非零元的形式，再进行展开.

特殊的低阶行列式可以直接利用行列式的性质求解.

2.高阶行列式的计其方法

基本思路有两个8—是利用行列式的性质进行“三角化”，也即将行列式化为上三角或下

三角行列式，二是运用按行或按列的展开定理.其中运用展开定理的行列式一般要求有某行

或某列的仅有一个或两个非零元•如果展开之后仍没有降低计算睢度•则可以观察是否能得

到递推公式,再进行计算.

考试对高阶行列式的要求不高,只要掌握几种常见情形的计算方法即可.

3.范德蒙行列式的应用

如果要计算的行列式与范德蒙行列式有类似的结构，则可以考虑使用公式.一般来说,

我们需要先对行列式进行适当的变形,才能利用范德蒙行列式进行计算.

4.克拉默法则

〃个未知量〃个方程的线性方程组•在系数行列式不等于零时的行列式解法，通常称为

克拉BUCBI"）法则.

定理（克拉默法则）设线性非齐次方程组

qg4-allxt+-+fliez.=6|，

anxi+aaxt+-+al（rrw=62，

.（•）

+・"+Q—・=b.，

,

或简记为X与“尸4，3=12.

j-i

anai.

_d2\<222•**fl2a

其系数行列式D=...#0，

•••••

a.ia”….・

则方程组（*）有唯一解巧=将,产1,2,…，儿

其中。是用常数项伍出，…,6・替换D中第，列所成的行列式.

基础线代讲义

例邈参考答案

..**-—-一一

1.【例1】(D8(2)n-l(3)必尹.

2.【例2】i=2,j=4.

3.【例3】⑴5]砧一

(2)。“。22。)3+a12at3。31+。13°21。12一0"。23。1：—012^21^X3-<2|3^«^31»

anan•••at.

0an,,,Qu

4.[例4]-Q“5・・a・・

・•••••••••••

00a.

5.【例5】(1)3(2)0(3)-9.

6.【例6】(1)1(2)(四一工一工一工)收64.

\at4/

7.【例7】(n+a)a--1.

8.【例8】»+a

9.[例9]a]。]…a.+(-1)…6也…

10.[例10]^+d-电+d期+式以+…+动1+仇・

11.【例11](1)-72(2)n!(n-D!(n-2)!-l!.

12.IM12]B

13.[«131(1)0(2)-3.

14.[例14]©=).12=1,工3=4*.

44

第二章矩阵

历年考频

数学一

年份19871988198919901991199219931994

■数10112111

分值10041014444

年份19951996199719981999200020012002

■数22210110

分值81414401040

年份20032004200520062007200820092010

s»01111211

分值044441444

年份20112012201320142015201620172018

总数12001022

分值480040814

数学二

年份19871988198919901991199219931994

■ft00000000

分值00000000

年份19951996199719981999200020012002

00121111

分值0010141041010

年份20032004200520062007200820092010

胭数21111120

144444480

年份20112012201320142015201620172018

・数12002002

5Ht4800140014

18J基础线代讲义

数学三

年份1987198819891990199119921993199：

■故222)1112

分值M81110444K

年份19951996>99719981999200020012002

®tt11221020

分值441184080

年份2(X)32004200520062007200820092010

题数21L511120

分值84944480

年份20112012201320H2015201620172018

图数12002022

分值480014014

模块二矩阵的定义及运算

【考点框架】

基本概念:mXr,的数表

।内容:A+B.y'AB

定义及运

矩阵的运算.云JABKB4

西''AB=O时•不一定有A=O或5=0

【考点精析】

一、必备知识点

1.基本概念

1)矩阵

【定义2.1］由mX〃个数a«(i=l,2,…=.…，n)排成的m行力列数表

研…01・

21?”称为mXri矩阵,简记为A=(4)・x・・当桁=〃时•也称A为力阶方阵,

••••••••••••

*1…展

|4|称为4的行列式.

两个矩阵A=(%)・x・，B=(d),x「如果m=s,〃=A,则称它们为同型矩阵.

如果两个同型矩阵4=(%)“.，8=(d)皿对应的元素相等，即Q.=6.G=1,…，皿

j=l,则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B.

raj

要注意区分矩阵与行列式.首先，从概念上讲，行列式是一个运算法则，其运算结果是一个

数字，而矩阵是一个数袅•二者从本质上是不一样的，其次，从形式上讲•行列式中行数和

列数必须相同(必须是正方形的)，而矩阵的行数和列数可以是任意的.

秒”基础线代讲义

2）特殊的矩阵

零矩阵mXri个元素全为零的矩阵称为零矩阵•记作0・

方阵当时•称A为〃阶矩阵（或n阶方阵）.

单位矩阵主对角线元素全为1,其余元素全为零的〃阶矩阵,称为n阶单位矩阵（简称

单位阵），记作L或I或E,即

a

1

**

1

数量矩阵主对角线元素全为非零数人其余元素全为零的n阶矩阵，称为n阶数量矩

阵，记作H■或H或AE,即

1\!

对角阵除主对角线上的元素之外，其余元素皆为零的n阶矩阵,称为n阶对角矩阵

（简称对角阵），记作人即

上、下三角矩阵〃阶矩阵A=Q3.x.,当时,％=0。=1.2「・・切-1）的矩阵称为

上三角矩阵，当i<J时,4=0。=1,2,…历一1）的矩阵称为下三角矩阵.即

是一个n阶矩阵，如果勺=。*0,，=1,2」・・,#,则称A为对称矩阵；如果a.=一4（人

j=l,2,…,〃），则称A为反对称矩阵.

第二章矩阵J［外

2）矩阵的运算

矩阵运算包括:矩阵加减法、矩阵数乘、矩阵乘法以及矩阵转置运算.

【定义2・2】设4=（4）,8=（九）是两个mX〃矩阵，定义矩阵C=（o）=Q,+d）为矩

阵A与矩阵B的和，记作C=A+S.

rai

相加的两个矩阵必须是同型的.

【定义2.3】设A=（%）是一个mX/r矩阵/为任意实数，则定义乂=（乂。）（i=1.2,

…,=称之为矩阵的数乘.

【定义2.4］设A=Q&）・x..B=（d）.“（注意A的列数和B的行数相等），定义矩阵C=

（Q.…其中阳M+…S。也，称为矩阵A与矩阵5的乘积，记作

C=AB.

如果矩阵A为方阵，则定义*=A-A…A为矩阵A的n次幕.

【注】

不是任意两个矩阵A与B都能相臬的，必须有A的列数和b的行数相等.矩阵染法AB

才能进行.姮降A与8相臬的结果仍然是矩阵，其第i行第j列的元盘.是由矩阵A的第

i行元素与矩阵B第，列的元素对应相泉再相加的结果•也即尚,+阳与+…+*

【定义2.5］设4=（即）是一个mX〃矩阵，定义〃Xm矩阵B=（%）=QQ（i=1.2，….

〃“=】,2,…,m）为矩阵A的转置,记作B=Ar.

简单地说•转置就是将矩阵原先的行换为对应的列之后得到的矩阵.

4

例如：5

45

6

3）分块矩阵

【定义2.6】用水平和垂直的直线将矩阵A分成很多小块•每一块称之为A的一个子矩

阵，则A称为以这些子矩阵为元素的分块矩阵.

①大多数情况下，我们只需要掌握分成4块的分块矩阵就可以了，即如下形式的矩

-AB-

阵:

CD一

对分块矩阵也有相应的加法•数乘等运算

-AB--A：Bin「A〕+ABI4~B-j-AB->「£4kB-

,CDJLC,D|J-LCI+CDI+DJ*LCDJLkCkD.

基础线代讲义

~AB-rA>B\-i「AAi+BC]AHI+BDL「AB]T_pVCT-

S+DD」'〔CD_LBTDT.

.CDJLC,D「1S+DG

【注】

一般来说，当A,B.C.D中至少有一块为本矩阵时•对短阵进行分块可以起到简化计算的

作用.例如：假设A与B,C与D均为同阶方阵•则有

②另一种常见的分块方式•是将矩阵投行或按列分块，

聘11

氏

也即将矩阵A写成A=（a,。2,…，a）或4='其中a：，a,…,a.和%也，…,A分

A

别代表矩阵A的列向ft和行向量.

这种情况下的加法、数乘和转置运算和前面类似•我们着重济一下乘法:

设A=（a].<124・・,（1.）,假设B=（bq）为nXm矩阵，则

BA=B（ai»a?»­»aJ=（Bai-

仇ibX2…仇.

btibn…必

AB=（ai，妣，…，。.）

•••

=（仇1。］+庆1图+~+6.1。（,,如。1+如a+…+6垃（1・，…+^wrz+…+6”・）

2.常用公式定理

1.加法与数集

G）交换律:A+B=B+A,

Gi）结合律式4+B）+C=A+（B+Ch

（位）数量乘法/（“）=（〃）Ad（A+b）=M+4•柒

2.乘法

1）成立的运算法则

（D结合律：（AB）C=A（BO।

（"）分配律8c（4+5）=04+。，（4+8）0=%。+阮.（乂）8=4（必）="45）.

2）不成立的运算法则

G）不满足交换律:ABWbA,

（”）不满足消去律:AB=64A=O或B=O.

第二章矩阵23

3）方幕

AEA-=/V*r.(A-).=Ae

3.转置

(A-FB)T=Ar+B7\(M)7

4.分块矩阵

AOyB()O

()CDOc-

5.方阵的行列式

1）设为〃阶方阵，且A为一实数，则有

2）拉普拉斯展开定理

ACAB()

-Ml«l.=I4HI-工(-1尸A||Ii.

()BCB

女中A.6分别为加阶•〃阶方阵.

二、典型例题

1.对矩阵运算法则的考查

【例1】设A.8均为对称矩阵,求A8仍为对称矩阵的充要条件.

【思路分析】

矩阵AB为时林矩阵的充要条件是（从小了=AB.

【例2】设A为〃阶矩阵.试证明，

（1）A+A,为对称矩阵,A一4.为反对称拉阵；

（2）/1可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.

【思路分析】

（】）利用定义检险M2）利用（1）的结论.

24J|基础线代讲义

121

【例3】设a为3维列向状・aa-212.求aa.

121

【思路分析】

设出a,代人矩阵乘法的定义/L抽检脸.

【例4】设。（川.<<・・・・・〃.）'.0（〃・/）・…•并假设afi

求a4

・小结:

假设a./J均为〃维列向量（〃工1矩阵）.根据矩阵乘法.a尸与即为〃•〃矩阵.而af与

flla则为实数.二者虽然形式上比较接近.但去质上却是别很大.备要考生注意.不要•足

湾.而通过【例3】与【例I】我们还可以得到一个常用的结论:aP与即为矩阵a/T与

伙J时向线元步的和.该结论在后面解题中还会发理史要作用•考生可以记住.

2•方阵〃次幕的计算

【例