专题07 二次函数-面积最大值问题（解析版）

第七讲二次函数--面积最大值问题

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一三角形面积的最大值.........................................................................................................................1

考点二四边形面积的最大值.........................................................................................................................7

考点三图形面积和、差、比的最大值.......................................................................................................13

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必备知识点

考点一三角形面积的最大值

1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l

与抛物线交于A、D两点，点D的坐标为（4，n）．

（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；

（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标

及该面积的最大值；

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【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx﹣3，

，

解得：

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3；

把点D的坐标为（4，n）代入y＝﹣x2+x+3得n＝3，

设直线l函数关系式为：y＝mx+n，

把点（﹣2，0）和（4，3）代入，

，

解得：，

∴直线l的函数关系式为：y＝x+1

（2）设P（m，﹣m2+m+3），过P点作PM∥y轴交直线l于N交x轴于M，

则点N的坐标为（m，m+1），

22

∴S△PAD＝S△APN+S△DPN＝×（﹣m+m+3﹣m﹣1）（4+2）＝﹣m+m+6＝﹣（m﹣1）

2+；

∴当m＝1时，△PAD面积最大，

此时，点P的坐标为（1，），该面积的最大值为；

2．如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，

0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．

（1）求此抛物线的解析式；

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（2）若点P在直线BC下方的抛物线上运动，求点P运动到何处时，△PBC的面积最大？

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、C（0，﹣8），

∴

解得：

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8；

（2）如图1，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．

在抛物线y＝x2﹣2x﹣8中，令y＝0，则x2﹣2x﹣8＝0，

解得：x1＝4或x2＝﹣2，

∴B（4，0）．

由点B（4，0）和C（0，﹣8），可得直线BC的解析式为y＝2x﹣8．

设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣8），则点F的坐标为（n，2n﹣8），

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由题知0＜n＜4，

∴PF＝（2n﹣8）﹣（n2﹣2n﹣8）

＝﹣n2+4n．

∵S△PBC＝S△PBF+S△CPF＝OB•PF

＝×4×（﹣n2+4n）

＝﹣2n2+8n

＝﹣2（n﹣2）2+8．

∵0＜2＜4，

∴当n＝2时，S△PBC取得最大值，

此时，点P的坐标为（2，﹣8）；

3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣

2，0），直线BC的解析式为y＝x﹣4．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，

过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大

值及此时点P的坐标．

【解答】解：（1）∵B点在x轴上，且B点在y＝x﹣4上，

∴B（8，0），

∵A（﹣2，0），B（8，0），都在抛物线y＝ax2+bx﹣4上，

∴x＝﹣2，x＝8是方程ax2+bx﹣4＝0的两个根，

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∴﹣16＝﹣，＝6，

∴a＝，b＝﹣，

∴y＝x2﹣x﹣4；

（2）∵AD∥BC，直线BC的解析式为y＝x﹣4，

∴直线AD的解析式为y＝x+1，

过点B作BG⊥AD交点G，

∵QR⊥BC，

∴QR＝BG，

在Rt△ABG中，AB＝10，tan∠BAG＝，

∴BG＝2，

设P（m，m2﹣m﹣4），R（n，n﹣4），则Q（m，m+1），

∵QR＝2，

∴20＝（m﹣n）2+，

∴n﹣m＝2，

∴R（m+2，m﹣3），

222

S△PQR＝×（m+1﹣m+m+4）×2＝﹣m+2m+5＝﹣（m﹣4）+9，

∴当m＝4时，S△PQR有最大值9，

∴P（4，﹣6）；

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4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P点为一象限内抛物线上的一个动点，D点是BC中点，连接PD，BD，PB．求△

BDP面积的最大值以及此时P点坐标；

【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），

∴OA＝1，

∵，

∴OC＝3，

∴C（0，﹣3），

将A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，

∴，

解得

∴y＝x2﹣2x﹣3；

（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，

解得x＝﹣1或x＝3，

∴B（3，0），

∵D点是BC中点，

∴D（，﹣），

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

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∴，

∴，

∴y＝x﹣3，

过点P作PG∥y轴，交BC于点G，

设P（a，a2﹣2a﹣3），则G（a，a﹣3），

∴PG＝﹣a2+3a，

2

∴S△BDP＝×PN×（3﹣）＝﹣（a﹣）+，

∵0＜a＜3，

∴当a＝时，△BDP面积的最大值为，

此时P（，﹣）；

考点二四边形面积的最大值

5．如图，抛物线y＝﹣x2+mx+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线x

＝交x轴于点D．

（1）求m的值；

（2）点E是线段BC上的一个动点．过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，与x轴相交于点

H，连接CF、BF、OE．当四边形CDBF的面积最大时，请你说明四边形OCFE的形状．

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【解答】解：（1）∵对称轴直线x＝，

∴m＝；

（2）∵BD＝，

∴S△BCD＝BD×OC＝××2＝，

∵S四边形CDBF＝S△BCD+S△BCF，

∴当S△BCF最大时，S四边形CDBF就最大，

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得，

∴y＝﹣x+2，

设F（m，﹣m2+m+2），则E（m，﹣m+2），

∴EF＝﹣m2+m+2+m﹣2＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，

∴当m＝2时，EF最大，此时S△BCF最大，

∴F（2，3），E（2，1），

∴EF＝2，

∵OC＝2，

∴CO∥EF，CO＝EF，

∴四边形COFE是平行四边形；

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于

点C，且OC＝3．

（1）求该抛物线的解析式；

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（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB的面积的

最大值，以及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）∵OC＝3，

∴C（0，﹣3），

将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，

得，

解得，

∴y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC，

∴当S△PBC面积最大时，S四边形PCAB的面积最大，

设BC的直线解析式y＝kx+b，

∴，

解得，

∴y＝x﹣3，

过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，

设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t，t﹣3），

∴当PQ最大时，S△PBC面积最大，

∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，

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当t＝时，PQ取最大值，

∴P（，﹣），

∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），

∴AB＝4，

∴S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），

交y轴于点C，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线交于B、D两点，已知cos∠ABD＝．

（1）求点D的坐标；

（2）点F是抛物线的顶点，连接BF．P是抛物线上F、D两点之间的任意一点，过点P作PE

∥BF交BD于点E，连接PF、PD、FE．求四边形PFED面积的最大值及相应的点P的坐标；

【解答】解：（1）当y＝0时，＝0，

解得x＝﹣1或x＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

如图，设BD与y轴交于点G，则cos∠ABD＝＝，

∴＝，

∴BG＝2，

∴OG＝3，

∴G（0，﹣2），

将B，G的坐标代入直线y＝kx+b，

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∴，解得，

∴直线BD的解析式为：y＝x﹣2，

令x﹣2＝，

解得x＝﹣2或x＝4（舍），

∴D（﹣2，﹣3）．

（2）如图，连接PB，

∵PE∥BE，

∴S△PBE＝S△PEF，

∴S四边形PFED＝S△PED+S△PFE＝S△PED+S△PBE＝S△PBD，

过点P作PH∥y轴交BD于点H，

∴S△PBD＝•PH•（xB﹣xP）+•PH•（xP﹣xD）＝•PH•（xB﹣xD），

设P（x，﹣x2+x+2），则H（x，x﹣2），

∴PH＝﹣x2+x+2﹣（x﹣2）＝﹣x2+x+4，

22

∴S四边形PFED＝S△PBD＝•PH•（xB﹣xD）＝•（﹣x+x+4）×（4+2）＝x+3x+12，

∵＜0，

∴当x＝＝1时，S四边形PFED有最大值，

此时P（1，3）．

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8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线交于x轴上的点B，

y轴上的点C，且其对称轴为直线．该抛物线与x轴的另一交点为点A，顶点为M．

（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）如图2，长度为的线段DF在线段BC上滑动（点D在点F的左侧），过D，F分别作y

轴的平行线，交抛物线于E，P两点，连接PE．求四边形PFDE面积的最大值及此时点P坐标；

【解答】解：（1）对，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝4，

∴点B（4，0），点C（0，2），

将点B和点C的坐标代入y＝ax2+bx+c，得

，化简得：，

∵对称轴为直线x＝，

∴﹣＝，即有b＝﹣3a，

∴﹣4a﹣＝﹣3a，

∴a＝﹣，b＝，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，

∴顶点M的坐标（，）．

（2）如图2，过点F作FQ⊥PF于点Q，过点P作PN⊥DE于点N，

∵PF⊥x轴，ED⊥x轴，

∴∠DQF＝∠BOC＝90°，∠QDF＝∠OBC，DQ＝PN，

∴△DQF∽△BOC，

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∵B（4，0），C（0，2），

∴OB＝4，OC＝2，

∴BC＝2，

∵DF＝，

∴，即，

∴DQ＝PN＝2，FQ＝1，

设点D的坐标为（x，﹣x+2），则点E（x，﹣x2+x+2），F（x+2，﹣x+1），P（x+2，﹣x2

﹣x+3），

∴ED＝﹣x2+2x，PF＝﹣x2+2，

222

∴S四边形PFDE＝S△DPF+S△PDE＝＝PF+ED＝﹣x+2﹣x+2x＝﹣x+2x+2＝

﹣（x﹣1）2+3，

∴当x＝1时，四边形PFDE面积的最大值为3，

此时，点E的坐标为（1，3），点P坐标为（3，2）．

考点三图形面积和、差、比的最大值

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣，0）、B（1，0）两点，

与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC，BC，点D是线段AC上一点，过点D作DE∥BC交线段AC上方的抛物线于点E，

过点E作EM∥y轴交直线AC于点M，过点D作DN⊥EM于点N，求阴影部分面积S的最大值

和此时点E的坐标．

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【解答】解：（1）把A（﹣，0）、B（1，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，

解得．

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+．

（2）如图，延长ED交y轴于点P，

∵DE∥BC，

∴∠PCB＝∠CPE，

∵EM∥y轴，

∴∠MEP＝∠CPE，

∴∠PCB＝∠MEP，

∵DN⊥EM，

∴△END∽△COB，

∴EN：ND＝CO：OB，

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把x＝0代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝，

∴C（0，），

∴OA＝OC＝，

∴EN：ND＝：1，即EN＝ND，∠ACO＝45°，

∵EM∥y轴，

∴∠DMN＝∠ACO＝45°，

∴NM＝DN，

∴EM＝EN+NM＝ND+ND＝ND，

把A（﹣，0），C（0，）代入AC：y＝kx+b得，

直线AC的解析式为：y＝x+．

设E（x，﹣x2﹣x+），M（x，x+），

∴EM＝﹣x2﹣x+﹣（x+）＝﹣x2﹣x＝ND，

∴ND＝﹣x2﹣x，

22

∴S阴影＝×ND×OC＝ND＝﹣x﹣x＝﹣（x+）+，

此时E（﹣，）．

综上可知，S的最大值为；此时E（﹣，）．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B

的左侧），与y轴交于点C．

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（1）求点A的坐标；

（2）如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于

E点，连接EO，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的

坐标；

【解答】解：（1）∵抛物线，与x轴交于A、B两点，

令y＝0，得，解得x1＝﹣3，x2＝1，

∵点A在点B的左侧，

∴点A的坐标为（﹣3，0）；

（2）如图1，延长DE交x轴于点K，

∵抛物线与y轴交于点C，

∴C（0，﹣2），

设直线AC的函数表达式为y＝kx+n（k≠0），

∵A（﹣3，0），C（0，﹣2），

∴，

解得，

∴直线AC的函数表达式为，

设，其中﹣3＜t＜0，

∴，K（t，0），

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∴DE＝﹣t2﹣2t，

∵＝（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣3t，

＝（t+2）＝t+3，

222

∴S1﹣S2＝﹣t﹣3t﹣t﹣3＝﹣t﹣4t﹣3＝﹣（t+2）+1，

∴当t＝﹣2时，S1﹣S2取得最大值，最大值为1，

此时点D的坐标为（﹣2，﹣2）；

11．已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点C（0，﹣2），顶点坐标为（，）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面

积为S1，△ABE的面积为S2，当最大时，求D点坐标；

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣）2﹣，

∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，

第17页共21页.

∴抛物线的解析式为y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣x﹣2；

（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，

∴AK∥DG，

∴△AKE∽△DFE，

∴，

∴＝＝＝，

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得，

∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，

∵A（﹣1，0），

∴y＝﹣﹣2＝﹣，

∴AK＝，

设D（m，m2﹣m﹣2），则F（m，m﹣2），

∴DF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m．

∴＝＝＝．

∴当m＝2时，有最大值，最大值是；

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12．如图，