专题08 二次函数-线段之差最值问题（原卷版）

第八讲二次函数--线段之差最值问题

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必备知识点

（1）在直线l同侧有两点A、B，在直线L上找一点P，使|PA﹣PB|最大；

（2）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最大；

（3）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最小．

（1）如图所示：

（2）如图所示：

（3）如图所示：

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考点一线段之差最值问题

1．如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c与x轴从左到右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点B

的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接AC，BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点，连接PA，PB，PC，设点P的纵坐标为h，试探究：

当h为何值时，|PA﹣PC|的值最大？并求出这个最大值．

2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），其

顶点D的坐标为（﹣1，4）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PA﹣PC|的值最大，若存在，请直接写出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

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3．如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1与x轴从左到右依次交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐

标为（3，0），连接AC、BC．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接PA、PB、PC，设点P的纵坐标表示为m．

试探究：

①当m为何值时，|PA﹣PC|的值最大？并求出这个最大值．

4．如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；

（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最

大值．

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5．如图，已知抛物线y＝x2+x+3与直线y＝x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、

BC．

（1）求点A，点C坐标；

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；

6．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点C，点D为

该抛物线的顶点，连接AC．

（1）如图1，连接DA、DC，求点D的坐标和△ACD的面积；

（2）如图2，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P

作PF⊥AC，垂足为F，当△PEF周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QD|的值最大，请求出这

个最大值以及点P的坐标；

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7．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点，点C是二次函数

图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交

直线BC于F．

（1）当△PEF面积最大时，在x轴上找一点H，使|BH﹣PH|的值最大，求点H的坐标和|BH﹣PH|的最

大值；

8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线

的对称轴与直线BC交于点D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；

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9．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动

点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．

①求点M和点N的坐标；

②在抛物线的对称轴上找一点Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，请直接写出点Q的坐标；

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2x与x轴交于A、B两点（点A在点B

的左侧），与y轴交于点C．

（1）求△ABC的周长；

（2）如图1，P为抛物线上第二象限的点，连接PA、PC，当四边形APCO面积最大时，在对称轴l上

找一动点Q，使得|PQ﹣BQ|的值最大，并求出此时点Q的坐标及|PQ﹣BQ|的最大值．

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11．如图1，二次函数y＝的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），与

y轴交于点C，直线l是它的对称轴．

（1）求直线l与直线AC交点的坐标；

（2）如图2，在直线AC上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，与直线AC

交于点E，过点P作直线AC的垂线，垂足为点F，当△PEF的周长最大时，在对称轴l上找点M，使

得|BM﹣PM|的值最大，求出|BM﹣PM|的最大值，并求出对应的点M的坐标；

12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左

侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．

（1）求直线BC的解析式；

（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于