专题13 二次函数-费马点求最小值（原卷版）

第十三讲二次函数--费马点最值

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必备知识点

费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点

【结论】

如图，点M为锐角△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，

MA+MB+MC的值最小

【证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

∵△ABE为等边三角形，

∴AB＝BE，∠ABE＝60°．

而∠MBN＝60°，

∴∠ABM＝∠EBN．

在△AMB与△ENB中，

∵，

∴△AMB≌△ENB（SAS）．

连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．

∵∠MBN＝60°，BM＝BN，

∴△BMN为等边三角形．

∴BM＝MN．

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．

∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．

此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；

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∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；

∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．

分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为

△ABC的费马点。

点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值

解决办法：

第一步，选定固定不变线段；

第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。

xz

如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=y(APBPCP)，如图所示，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小

yy

值。

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例：点P为锐角△ABC内任意一点，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，连接AP、BP、CP，求3AP+4BP+5CP

的最小值

【分析】将△APC绕C点顺时针转90°到△A1P1C，过P2作P1A1的平行线，交CA1于点A2，且满足A2P2：P1A1=3：

4.

在Rt△PCP2中，设PC=a，由△CA2P2∽△CA1P1得CP2=3a/4，则PP2=5a/4。

35

∴3AP+4BP+5CP=4(APBPCP)

44

∴B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。接触BA2长度即可。

方法点拨

一、题型特征：PA+PB+PC（P为动点）

①一动点，三定点

②以三角形的三边向外作等边三角形的，再分别将所作等边三角形最外的顶点

与已知三角形且与所作等边三角形相对的顶点相连，连线的交点即为费马点。

③同时线段前可以有不为1的系数出现，即：加权费马点

二、模型本质：两点之间，线段最短。

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例题演练

1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y

＝kx+（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．

（1）求抛物线与直线的解析式；

（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH⊥AR于点H，过点P做PQ∥x轴交抛物

线于点Q，过点P做PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝2PQ，点I为第四象限

内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，当l取得最大值时，

求出点P的坐标，并求出此时m的最小值．

（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN⊥x轴，交抛物线于点

N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′

在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．

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2．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4的对称轴为x＝1，与y交于点A，与x轴负半轴交于点C，作平行四边形

ABOC并将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′O′C′．

（1）求抛物线的解析式和点A、C的坐标；

（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′O′C′重叠部分△OC′D的周长；

（3）若点P为△AOC内一点，直接写出PA+PC+PO的最小值（结果可以不化简）以及直线CP的解析

式．

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3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠ODB＝30°，

OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；

（3）点P为△ABO内的一个动点，设m＝PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，

线段AP的长．

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4．如图，抛物线y＝ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的

垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称轴上的一点，

且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点

F到二次函数图象的垂直距离．

（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否

存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

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5．如图，已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点

C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．

（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为．

（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的

坐标．

（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿

线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒