2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：尺规作图（10题）

第1页（共1页）2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：尺规作图（10题）一．解答题（共10小题）1．（2024•陕西）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角△ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）2．（2024•山西模拟）阅读与思考下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题：如图1，给定不在同一直线上的三个点A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点B，C之间画一条过点A的直线，且点B和点C到这条直线的距离相等？下面是我的解题步骤：如图2，第一步：以点B为圆心，以AC的长为半径画弧；第二步：以点C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点D；第三步：作直线AD，则点B和点C到直线AD的距离相等．下面是部分证明过程：证明：如图3，连接BD，CD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，连接BC交AD于点O．由作图可知AB＝CD，AC＝BD，∴四边形ABDC是平行四边形．（依据1）∴BO＝CO．（依据2）……于是我得到了这样的结论：只要确定线段BC的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线．任务：（1）填空：材料中的“依据1”是指；“依据2”是指．（2）请将小明的证明过程补充完整．（3）尺规作图：请在图4中，用不同于材料中的方法，在点B和点C之间作直线AM，使得点B和点C到直线AM的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）3．（2024•吉安三模）在10×6的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（6，3），C（4，6）仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图．（1）在CB上找点D，使AD平分∠BAC；（2）在AB上找点F，使∠CFA＝∠DFB；（3）在BC上找点M、N，使BM＝MN＝NC．[（1）（2）画在图1中，（3）画在图2中]．4．（2024•惠阳区二模）已知：如图，在矩形ABCD中，E是边CD上的点，连接AE．（1）尺规作图，以BC为边，C为顶点作∠BCF＝∠DAE，CF交线段AB于点F．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．（2）求证：四边形AFCE为平行四边形5．（2024•吉安一模）如图是由小正方形组成的9×10网格，每个小正方形的顶点叫作格点．已知⊙O的圆心在格点上，圆上A，B两点均在格线上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图1中，点C在圆上，请在直径AB下方的圆上画出点E，使∠ACE＝45°；并在网格中找点F，使△ACF为等腰直角三角形，且∠CAF＝90°．（2）在图2中，D为格点，在直径AB下方的圆上画出点G，使得OG∥AD；并在线段AD上画出点H，使得AH＝AB．6．（2024•克什克腾旗一模）如图，∠ACB＝90°，AC＝AD．（1）过点D作AB的垂线DE交BC与点E，连接AE．（尺规作图，并保留作图痕迹）（2）如果BD＝8，BE＝10，求BC的长．7．（2024•重庆）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：（1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．（不写作法，保留作图痕迹）（2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①，∠OCF＝∠OAE．∵点O是AC的中点，∴②．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③．又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．8．（2024•龙亭区一模）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E，F．（1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作PO的垂线AB，垂足为D，交⊙O于点B．（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接PB，试判断PB与⊙O的位置关系，并给出证明．9．（2024•铜梁区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）尺规作图：在CB的延长线上截取BE＝BC，连接AE，再过点B作AE的垂线交AE于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：四边形AOBF为矩形．（补全证明过程）证明：∵四边形ABCD是菱形∴AO＝OC，AC⊥BD∴∠BOC＝∠BOA＝90°∵，AO＝OC∴OB为△ACE的中位线∴∴∠EAO＝∠BOC＝90°∵BF⊥AE∴∴∠EAO＝∠BOA＝∠BFA＝90°∴四边形AOBF为矩形．（）进一步研究上述问题发现，当BC和CD满足位置关系：时，四边形AOBF为正方形．10．（2024•招远市模拟）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．小明的作法如下：1、如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．2、以点D为圆心，DG的长为半径画弧，交AB于点E．3、在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．请结合小明的作法，解决以下问题：（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．（2）若小明所作的四边形DEFG恰好是正方形，你能求出线段CD的长吗？

2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：尺规作图（10题）参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2024•陕西）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角△ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）【考点】作图—复杂作图．【专题】尺规作图；应用意识．【答案】见作图．【分析】以A为圆心画弧交l于M、N，分别以M、N为圆心大于12MN长为半径画弧交于D，作射线AD，交l于C，以C为圆心AC长为半径画弧交l于B，连接AB，△ABC【解答】解：如图△ABC即为所求作的三角形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，关键是掌握过直线外一点作已知直线垂线的方法．2．（2024•山西模拟）阅读与思考下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题：如图1，给定不在同一直线上的三个点A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点B，C之间画一条过点A的直线，且点B和点C到这条直线的距离相等？下面是我的解题步骤：如图2，第一步：以点B为圆心，以AC的长为半径画弧；第二步：以点C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点D；第三步：作直线AD，则点B和点C到直线AD的距离相等．下面是部分证明过程：证明：如图3，连接BD，CD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，连接BC交AD于点O．由作图可知AB＝CD，AC＝BD，∴四边形ABDC是平行四边形．（依据1）∴BO＝CO．（依据2）……于是我得到了这样的结论：只要确定线段BC的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线．任务：（1）填空：材料中的“依据1”是指两组对边分别相等的四边形是平行四边形；“依据2”是指平行四边形的对角线互相平分．（2）请将小明的证明过程补充完整．（3）尺规作图：请在图4中，用不同于材料中的方法，在点B和点C之间作直线AM，使得点B和点C到直线AM的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）【考点】作图—应用与设计作图；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【专题】作图题；几何直观；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质解决问题；（2）见解析（1）；（3）连接BC，作线段BC的垂直平分线垂足为O，作直线AM即可．【解答】（1）证明：如图3，连接BD，CD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，连接BC交AD于点O．由作图可知AB＝CD，AC＝BD，∴四边形ABDC是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），∴BO＝CO（平行四边形的对角线互相平分），在△BEO和△CFO中，∠BEO=∴△BEO≌△CFO（AAS），∴BE＝CF；故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分；（2）证明过程见（1）中．（3）如图4中，直线AM即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．（2024•吉安三模）在10×6的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（6，3），C（4，6）仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图．（1）在CB上找点D，使AD平分∠BAC；（2）在AB上找点F，使∠CFA＝∠DFB；（3）在BC上找点M、N，使BM＝MN＝NC．[（1）（2）画在图1中，（3）画在图2中]．【考点】作图—复杂作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．【专题】作图题；几何直观．【答案】见试题解答内容【分析】（1）取格点E使AE＝AC＝5，作出CE的中点P，利用等腰三角形的性质得到AP平分∠CAE，延长AP交BC于D；（2）取C点关于AB的对称点Q，连接DQ交AB于F，利用对称得到∠CFA＝∠QFA，利用对顶角相等得到∠DFB＝∠QFA，所以∠CFA＝∠DFB；（3）利用平行线分线段成比例定理，线段BC与平行格线的交点为M、N．【解答】解：（1）如图1，点D为所作；（2）如图1，点F为所作；（3）如图2，点M、N为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．4．（2024•惠阳区二模）已知：如图，在矩形ABCD中，E是边CD上的点，连接AE．（1）尺规作图，以BC为边，C为顶点作∠BCF＝∠DAE，CF交线段AB于点F．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．（2）求证：四边形AFCE为平行四边形【考点】作图—基本作图；平行四边形的判定；矩形的性质．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法作图即可；（2）由矩形得到AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AF∥CE，再证明△ADE≌△CBF得到DE＝BF，进而得到CE＝AF，即可求证【解答】（1）解：如图所示，∠BCF即为所求；（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∠B＝∠D＝90°，∴AF∥CE，在△ADE和△CBF中，∠D=∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF，∴CD﹣DE＝AB﹣BF，即CE＝AF，∴四边形AECF为平行四边形．【点评】本题考查了作一个角等于已知角，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，正确作出图形是解题的关键．5．（2024•吉安一模）如图是由小正方形组成的9×10网格，每个小正方形的顶点叫作格点．已知⊙O的圆心在格点上，圆上A，B两点均在格线上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图1中，点C在圆上，请在直径AB下方的圆上画出点E，使∠ACE＝45°；并在网格中找点F，使△ACF为等腰直角三角形，且∠CAF＝90°．（2）在图2中，D为格点，在直径AB下方的圆上画出点G，使得OG∥AD；并在线段AD上画出点H，使得AH＝AB．【考点】作图—应用与设计作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；圆周角定理．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）（2）作图见解析部分．【分析】（1）在直线AB的下方取一点E，使得∠AOE＝90°，作直径CD，连接AD，延长AD交CE的延长线于点F，点E，点F即为所求；（2）构造平行四边形AMNO，连接ON交⊙O于点G，连接BG交AD于点H，点G，点H即为所求．【解答】解：（1）如图1中，点E，点F即为所求；（2）如图2中，点G，点H即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．6．（2024•克什克腾旗一模）如图，∠ACB＝90°，AC＝AD．（1）过点D作AB的垂线DE交BC与点E，连接AE．（尺规作图，并保留作图痕迹）（2）如果BD＝8，BE＝10，求BC的长．【考点】作图—复杂作图；直角三角形全等的判定．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）作图见解析部分；（2）16．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）解直角三角形求出DE，再证明EC＝DE，可得结论．【解答】解：（1）如图所示即为所求作的图形．（2）∵ED垂直AB，∴∠ADE＝∠EDB＝90°，在Rt△BDE中，DE=B在Rt△ADE和Rt△ACE中，AC=ADAE=AE∴Rt△ADE≌Rt△ACE（HL），∴EC＝ED＝6，∴BC＝BE+EC＝16．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．7．（2024•重庆）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：（1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．（不写作法，保留作图痕迹）（2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①∠OFC＝∠OEA，∠OCF＝∠OAE．∵点O是AC的中点，∴②OC＝OA．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③OF＝OE．又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④四边形AECF是菱形．【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）∠OFC＝∠OEA，OC＝OA，OF＝OE，四边形AECF是菱形．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①∠OFC＝∠OEA，∠OCF＝∠OAE．∵点O是AC的中点，∴②OC＝OA．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③OF＝OE．又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④四边形AECF是菱形．故答案为：∠OFC＝∠OEA，OC＝OA，OF＝OE，四边形AECF是菱形．【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定与性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．8．（2024•龙亭区一模）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E，F．（1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作PO的垂线AB，垂足为D，交⊙O于点B．（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接PB，试判断PB与⊙O的位置关系，并给出证明．【考点】作图—复杂作图；圆周角定理；直线与圆的位置关系；切线的性质．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】（1）见解析；（2）PB为⊙O的切线，理由见解析．【分析】（1）运用过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；（2）连接OB，则OP垂直平分AB，根据等边对等角得到∠OAB＝∠OBA，∠PAB＝∠PBA，既可以解题．【解答】解：（1）如图，直线AB即为所作；（2）结论：PB为⊙O的切线．理由：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，又∵AB⊥OP，∴OP垂直平分AB，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，又∵PA为⊙O的切线，∴∠AOP＝90°，∴∠OBP＝∠OBA+∠PBA＝∠OAB+∠PAB＝∠AOP＝90°，∴PB为⊙O的切线．【点评】本题考查尺规作垂线，切线的性质和判定，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握切线的性质，是解题的关键．9．（2024•铜梁区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）尺规作图：在CB的延长线上截取BE＝BC，连接AE，再过点B作AE的垂线交AE于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：四边形AOBF为矩形．（补全证明过程）证明：∵四边形ABCD是菱形∴AO＝OC，AC⊥BD∴∠BOC＝∠BOA＝90°∵BE＝BC，AO＝OC∴OB为△ACE的中位线∴BF∥AC∴∠EAO＝∠BOC＝90°∵BF⊥AE∴∠AFB＝90°∴∠EAO＝∠BOA＝∠BFA＝90°∴四边形AOBF为矩形．（有三个角是90°的四边形是矩形）进一步研究上述问题发现，当BC和CD满足位置关系：BC⊥CD时，四边形AOBF为正方形．【考点】作图—复杂作图；三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定；正方形的判定．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据要求作出图形；（2）根据三个角是90°是四边形是矩形证明即可．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC，AC⊥BD，∴∠BOC＝∠BOA＝90°，∵BE＝BC，AO＝OC，∴OB为△ACE的中位线，∴BF∥AC，∴∠EAO＝∠BOC＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠EAO＝∠BOA＝∠BFA＝90°，∴四边形AOBF为矩形（有三个角是90°的四边形是矩形）．进一步研究上述问题发现，当BC和CD满足位置关系：BC⊥CD时，四边形AOBF为正方形．故答案为：BE＝BC，BF∥AC，∠AFB＝90°，有三个角是90°的四边形是矩形，BC⊥CD．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．（2024•招远市模拟）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．小明的作法如下：1、如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．2、以点D为圆心，DG的长为半径画弧，交AB于点E．3、在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．请结合小明的作法，解决以下问题：（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．（2）若小明所作的四边形DEFG恰好是正方形，你能求出线段CD的长吗？【考点】作图—复杂作图；菱形的判定与性质；正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）能求出线段CD的长；线段CD的长为3637时，四边形DEFG【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；（2）当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．利用勾股定理示得CD=35x，AD=54x，由AD+【解答】（1）证明：∵DE＝DG，EF＝DE，∴DG＝EF，∵DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形，∵DG＝DE，∴四边形DEFG是菱形．（2）解：能求出线段CD的长；理由如下：当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．如图，∴DG∥AB，∴∠CGD＝∠CBA，∴sin∠CGD＝sin∠CBA，∴CDDG在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=3∴CDx∴CD=3同理可求得：AD=5∵AD+CD＝AC，∴35∴x=60∴CD=3∴线段CD的长为3637时，四边形DEFG【点评】本题考查菱形的判定和性质，作图﹣复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度．

考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．直角三角形全等的判定1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．4．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE5．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．7．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．8．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：29．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=1210．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．11．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．12．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、13．菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．14．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．15．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边