2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：空间向量与立体几何（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：空间向量与立体几何（10题）一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•青羊区校级模拟）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都为1，E为AB的中点，则（）A．直线BC1与直线A1E为异面直线 B．BC1∥平面A1EC C．二面角A1﹣EC﹣A的正弦值为55D．若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为7π（多选）2．（2024•岳阳模拟）已知矩形ABCD中，AD=3AB=23，△ABD沿着BD折起使得形成二面角A′﹣BD﹣C，设二面角A′﹣BD﹣CA．在翻折的过程中，A′、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球的表面积为12π B．存在θ，使得A′B⊥CD C．当tanθ=22时，|D．当cosθ=13时，直线A′C与直线BD的夹角为（多选）3．（2024•香坊区校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（）A．异面直线AD与PB所成的角为90° B．在棱PD上存在点M使得PB∥平面ACM C．平面PAB⊥平面PBC D．二面角P﹣BC﹣A的大小为45°（多选）4．（2024•新县校级模拟）在平面四边形ABCD中，AB=AD=2，AB⊥AD，△BCD为等边三角形，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，设二面角A1﹣BD﹣C的大小为αA．当α＝150°时，M，N分别为线段BD，A1C上的动点，则|MN|的最小值为2114B．当α＝120°时，三棱锥A1﹣BCD外接球的直径为133C．当α＝90°时，以A1C为直径的球面与底面BCD的交线长为33D．当α＝60°时，AD绕D点旋转至A1D所形成的曲面面积为2（多选）5．（2024•安徽模拟）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为3的正方形，SD⊥平面ABCD，△SAD为等腰三角形，E为棱SD上靠近D的三等分点，点P在棱SB上运动，则（）A．SB∥平面AEC B．直线CE与平面SBC所成角的正弦值为55C．AP+CP≥D．点E到平面SAC的距离为3（多选）6．（2024•云浮校级模拟）如图所示，棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A．D1P⊥AB1 B．当A1P＝2PB时，点C1到平面D1AP的距离为1 C．AP→•DCD．D1P与AC所成的角可能是π（多选）7．（2024•故城县校级模拟）如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，AB，CD分别为上、下底面的直径，AC，BD为圆台的母线，E为弧AB的中点，则（）A．圆台的侧面积为6π B．直线AC与下底面所成的角的大小为π3C．圆台的体积为3 D．异面直线AC和DE所成的角的大小为π（多选）8．（2024•辽宁模拟）如图，圆锥SO的底面圆O的直径AC＝4，母线长为22，点B是圆O上异于A，CA．SC与底面所成角为45° B．圆锥SO的表面积为42C．∠SAB的取值范围是(πD．若点B为弧AC的中点，则二面角S﹣BC﹣O的平面角大小为45°（多选）9．（2024•威宁县校级模拟）如图，P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点，则下列说法正确的有（）A．当P在线段B1C上运动时，四棱锥P﹣AA1D1D的体积不变 B．当P为线段AC的中点时，D1P与A1C1所成角为π2C．使得直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π+42D．若F是棱A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面B1CD1时，PF的最小值是7（多选）10．（2024•天心区校级模拟）一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直角棱长分别a，b，c，直角顶点到斜面的距离为d，其内切球的半径为r，三个直角面的面积分别为S1，S2，S3，三个直角面与斜面所成的角分别为α，β，y，斜面的面积为S，则（）A．直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心 B．cos2α+cos2β+cos2γ＝1 C．S＜D．1

2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：空间向量与立体几何（10题）参考答案与试题解析一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•青羊区校级模拟）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都为1，E为AB的中点，则（）A．直线BC1与直线A1E为异面直线 B．BC1∥平面A1EC C．二面角A1﹣EC﹣A的正弦值为55D．若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为7π【考点】二面角的平面角及求法；球的体积和表面积；异面直线的判定；直线与平面平行．【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算．【答案】ABD【分析】利用异面直线的判定定理即可判断A；连接AC1与A1C交于点O，连接OE，易证OE∥BC1，继而可证得BC1∥平面A1EC，从而判定B；易证CE⊥平面ABB1A1，利用线面垂直的性质可得CE⊥AE，CE⊥A1E，则∠AEA1为二面角A1﹣EC﹣A的平面角，再利用sin∠AEA1=AA1A1E求解即可判定C；将上下底面ABC与【解答】解：对于A，因为B∈平面ABB1A1，C1∉平面ABB1A1，B∉A1E，A1E⊂平面ABB1A1，所以直线BC1与直线A1E为异面直线，故A正确；对于B，连接AC1与A1C交于点O，连接OE，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都为1，则ACC1A1为正方形，则点O为A1C中点，又E为AB中点，所以OE∥BC1，又OE⊂平面A1EC，BC1⊄平面A1EC，所以BC1∥平面A1EC，故B正确；对于C，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，又CE⊂底面ABC，所以AA1⊥CE，又正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都为1，则△ABC为正三角形，E为AB中点，所以CE⊥AB，又AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面ABB1A1，所以CE⊥平面ABB1A1，又AE，A1E⊂平面ABB1A1，所以CE⊥AE，CE⊥A1E，所以∠AEA1为二面角A1﹣EC﹣A的平面角，又AE=12AB=所以sin∠所以二面角A1﹣EC﹣A的正弦值为255，故对于D，将上下底面ABC与A1B1C1的外心连接，其中点即为外接球球心，设球的半径为R，则R2则该球的表面积为4πR2=故选：ABD．【点评】本题考查异面直线的判定，考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查二面角，考查球，属难题．（多选）2．（2024•岳阳模拟）已知矩形ABCD中，AD=3AB=23，△ABD沿着BD折起使得形成二面角A′﹣BD﹣C，设二面角A′﹣BD﹣CA．在翻折的过程中，A′、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球的表面积为12π B．存在θ，使得A′B⊥CD C．当tanθ=22时，|D．当cosθ=13时，直线A′C与直线BD的夹角为【考点】二面角的平面角及求法；球的体积和表面积；异面直线及其所成的角．【专题】转化思想；向量法；空间角；逻辑推理．【答案】BCD【分析】A．矩形的圆心O到四个顶点的距离相等，得球心是O，求出球的表面积进行判断即可．B．根据线面垂直的判定定理，只需要判断A′B⊥平面A'CD即可．C．利用向量法表示出A'D．求出向量数量积，利用向量法进行求解判断即可．【解答】解：A．在矩形中，过A，C分别作BD的垂线AM，CN，∵AD=3AB=23，∴AB＝CD＝2，BD则AM•BD＝AB•AD，即4AM＝2×23，得AM＝CN=3则BM＝DN=22-(3)2=1，则MN＝4OA＝OB＝OC＝OD=12×4在翻折的过程中，∠BA'D＝∠BCD＝90°，则BD是球的一条直径，则O是球心，球半径R＝2，则A′、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球的表面积为4π×22＝16π，故A错误．B．∵A'B⊥A'D，∴若A′B⊥CD，则只需要A′B⊥平面A'CD即可，即A'B⊥A'C，即可，则A'C=BC2此时二面角是存在的，即存在θ，使得A′B⊥CD，故B正确．C．∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴＜MA'→，NC若tanθ=22时，则cosθ=13，即cos＜∵A'C→=A'M→+MN→+NC→，∴平方得A'C→2=＝3+4+3﹣2NC→•MA'→=10﹣2|MA'→||NC→|cos＜MA'→，NC→即|A'C|＝|A'C→|=8=D．当cosθ=13，即cos＜MA'→，NC→＞=13，由C知|A'CA'C→•BD→=（A'M→+MN→+NC→则cos＜A'C→，则＜A'C→，BD→＞故选：BCD．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据向量夹角和二面角的关系，利用向量法进行求解证明是解决本题的关键，是中档题．（多选）3．（2024•香坊区校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（）A．异面直线AD与PB所成的角为90° B．在棱PD上存在点M使得PB∥平面ACM C．平面PAB⊥平面PBC D．二面角P﹣BC﹣A的大小为45°【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面平行；平面与平面垂直．【专题】对应思想；综合法；空间角；数学运算．【答案】ABD【分析】选项A，由AD∥BC，知∠PBC或其补角即为所求，取AD的中点O，连接OP，OB，连接BD，证明BC⊥平面OPB，从而知∠PBC＝90°；选项B，当M是PD的中点时，可使PB∥平面ACM，利用中位线的性质和线面平行的判定定理，即可证明；选项C，反证法，假设平面PAB⊥平面PBC，由面面垂直的性质定理可证BC⊥AB，与题意相矛盾；选项D，根据三垂线定理知∠PBO即为所求，再利用OP＝OB，即可作出判断．【解答】解：选项A，因为菱形ABCD，所以AD∥BC，所以∠PBC或其补角即为异面直线AD与PB所成的角，取AD的中点O，连接OP，OB，连接BD，则OP⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以OP⊥BC，因为菱形ABCD，且∠DAB＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以OB⊥AD，即OB⊥BC，又OP∩OB＝O，OP、OB⊂平面OPB，所以BC⊥平面OPB，因为PB⊂平面OPB，所以BC⊥PB，即∠PBC＝90°，所以异面直线AD与PB所成的角为90°，即选项A正确；选项B，当M是PD的中点时，PB∥平面ACM，理由如下：连接AC，交BD于G，连接MG，则G是BD的中点，所以MG∥PB，因为MG⊂平面ACM，PB⊄平面ACM，所以PB∥平面ACM，即选项B正确；选项C，由选项A可知，BC⊥PB，若平面PAB⊥平面PBC，因为平面PAB∩平面PBC＝PB，BC⊂平面PBC，所以BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以BC⊥AB，这与题意相矛盾，即选项C错误；选项D，由选项A可知，OP⊥平面ABCD，OB⊥BC，所以∠PBO即为二面角P﹣BC﹣A的平面角，因为△PAD与△ABD均为等边三角形，所以OP＝OB，所以∠PBO＝45°，即选项D正确．故选：ABD．【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，异面直线夹角、二面角的求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．（多选）4．（2024•新县校级模拟）在平面四边形ABCD中，AB=AD=2，AB⊥AD，△BCD为等边三角形，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，设二面角A1﹣BD﹣C的大小为αA．当α＝150°时，M，N分别为线段BD，A1C上的动点，则|MN|的最小值为2114B．当α＝120°时，三棱锥A1﹣BCD外接球的直径为133C．当α＝90°时，以A1C为直径的球面与底面BCD的交线长为33D．当α＝60°时，AD绕D点旋转至A1D所形成的曲面面积为2【考点】二面角的平面角及求法；球的体积和表面积．【专题】数形结合；综合法；立体几何；直观想象；数学运算．【答案】ACD【分析】取BD中点E，连接A1E，CE，即确定∠A1EC是二面角A1﹣BD﹣C的平面角，对于A，当M与E点重合，且MN⊥A1C时，|MN|的值最小，由等面积法计算即可；对于B，设出三棱锥A1﹣BCD外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理即可求解；对于C，求出以A1C为直径的球的半径，确定该球与底面的交线，由弧长公式即可求解；对于D，当α＝60°时，AD绕D点旋转至A1D，转过的曲面为圆锥的13【解答】解：取BD中点E，连接A1E，CE，因为AB＝AD，即A1B＝A1D，所以A1E⊥BD，因为，△BCD为等边三角形，所以CE⊥BD，所以∠A1EC是二面角A1﹣BD﹣C的平面角，即∠A1EC＝α．对于A，当M与E点重合，且MN⊥A1C时，|MN|的值最小，因为AB=2，AB⊥AD，所以BD＝2，A1E＝1，所以CE=在△A1EC中，由余弦定理得：A1即A1E2=1+3-2×1×3×(-由等面积法可得|MN|min=对于B，设三棱锥A1﹣BCD外接球的球心为O，△BCD外接圆圆心为G，A1在平面BCD上的射影为F，因为α＝120°，所以∠A1EF＝60°，所以EF=12，A1F=32，设因为G是圆心，所以CG=233，GE=则d2+(233)对于C，如图，设以A1C为直径的球球心为O1，过O1作O1O2⊥CE，因为α＝90°，则O2为CE中点，且O1O2=12，A1设球与△BCD的一个交点为H，则O1H=3过O2作O2I⊥CD，O2I=34，球与底面△交线长为2π3×3对于D，因为α＝60°，AD绕D点旋转至A1D，转过的曲面为圆锥的13侧面，该圆锥母线长为2，底面半径为1故面积为π⋅2⋅故选：ACD．【点评】本题考查了二面角的平面角，考查了空间几何体的表面积及外接球半径的计算，考查了数形结合思想，属于难题．（多选）5．（2024•安徽模拟）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为3的正方形，SD⊥平面ABCD，△SAD为等腰三角形，E为棱SD上靠近D的三等分点，点P在棱SB上运动，则（）A．SB∥平面AEC B．直线CE与平面SBC所成角的正弦值为55C．AP+CP≥D．点E到平面SAC的距离为3【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算；直线与平面平行．【专题】转化思想；转化法；立体几何；数学运算．【答案】BC【分析】连接EO，若SB∥平面AEC，证得SB∥EO，得到DE=12SD，与题设矛盾，可判定A错误；过点E作EF⊥SC，根据线面垂直的判定定理，证得EF⊥平面SBC，得到直线CE与平面SBC所成的角为∠ECF，可判定B正确；将平面SAB翻折至与平面SBC共面，连接AC，结合AP+CP≥AC，可判定C正确；根据VE﹣SAC＝VA﹣ESC，求得高h【解答】解：对于A中，连接BD，交AC于点O，连接EO，如图所示，若SB∥平面AEC，因为平面SBD∩平面AEC＝OE，且SB⊂平面SBD，所以SB∥EO，因为O为BD的中点，所以DE=1又因为E为棱SD上靠近D的三等分点，所以矛盾，所以A错误；对于B中，过点E作EF⊥SC，垂足为F，因为SD⊥平面ABCD，且BC⊂平面ABCD，所以SD⊥BC，又因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥BC，因为SD∩CD＝D，且SD，CD⊂平面SCD，所以BC⊥平面SCD，又因为EF⊂平面SCD，所以BC⊥EF，因为SC∩BC＝C，且SC，BC⊂平面SBC，所以EF⊥平面SBC，则直线CE与平面SBC所成的角为∠ECF，由题可知cos∠所以B正确；对于C中，将平面SAB翻折至与平面SBC共面，且点A，C在直线SB的两侧，连接AC，则AP+CP≥AC=2×对于D中，设点E到平面SAC的距离为h，则VE-SAC=解得h=23故选：BC．【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系的应用，属于中档题．（多选）6．（2024•云浮校级模拟）如图所示，棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A．D1P⊥AB1 B．当A1P＝2PB时，点C1到平面D1AP的距离为1 C．AP→•DCD．D1P与AC所成的角可能是π【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角．【专题】转化思想；转化法；立体几何；数学运算．【答案】ABC【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明判断A；利用点面距离的向量求法判断B；求出数量积判断C；借助反证法思想计算判断D．【解答】解：因为棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，所以以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D1（0，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），A（3，0，0），C（0，3，0），D（0，0，0），由P为线段A1B上的动点，设P（3，a，3﹣a），（0＜a＜3），则D1P→则D1P→⋅AB1→=3×0+a×3+(-a)×3=0，则当A1P＝2PB时，P（3，2，1），D1A→=(3，设平面D1AP的法向量为m→由D1A→⋅m→=3x-3z=0AP→⋅m→=2y+z=0，令z点C1到平面D1AP的距离d=|C1AP→=(0，则AP→⋅D由AC→得cos〈若D1P与AC所成的角是π6即|cos〈D1即2(9-整理得（2a+3）2＝0，所以a=-32，与0＜a＜3故选：ABC．【点评】本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．（多选）7．（2024•故城县校级模拟）如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，AB，CD分别为上、下底面的直径，AC，BD为圆台的母线，E为弧AB的中点，则（）A．圆台的侧面积为6π B．直线AC与下底面所成的角的大小为π3C．圆台的体积为3 D．异面直线AC和DE所成的角的大小为π【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；异面直线及其所成的角．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．【答案】ABD【分析】由圆台的侧面积公式以及体积公式可判断AC；由线面角的定义可判断B；由异面直线所成角的定义可判断D．【解答】解：由题意可得上底面半径为r1＝1，下底面圆半径为r2＝2，母线l＝2，则圆台的侧面积为S＝π（r1+r2）•l＝π（1+2）×2＝6π，故A正确；作圆台的轴截面如图所示，作CM⊥AB，DN⊥AB，则直线AC与下底面所成角为∠CAB，且CD＝MN＝2，则AM＝BN＝1，且AC＝2，则cos∠CAB=AMAC=12∵上底面圆的面积S1=πr12=π，S2=πr22=则圆台的体积为V=13（S1+S2+S1⋅S2）h=取AB中点O，连接OD，OE，DE，由E为弧AB的中点，可得OE⊥AB，过点D，作DH⊥AB，连接EH，则OH=12OB＝1，且OA＝CD＝2，OA∥则四边形AODC为平行四边形，∴AC∥OD，∴异面直线AC和DE所成角∠ODE即为OD与DE所成角，∵DH＝h=3，EH=∴DE=D在△ODE中，OD＝DE＝2，DE＝22，∴△ODE为直角三角形，则∠ODE=π4故选：ABD．【点评】本题考查圆台侧面积、体积、线面角定义、异面直线所成角定义等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．（多选）8．（2024•辽宁模拟）如图，圆锥SO的底面圆O的直径AC＝4，母线长为22，点B是圆O上异于A，CA．SC与底面所成角为45° B．圆锥SO的表面积为42C．∠SAB的取值范围是(πD．若点B为弧AC的中点，则二面角S﹣BC﹣O的平面角大小为45°【考点】二面角的平面角及求法；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【专题】数形结合；综合法；立体几何；数学运算．【答案】AC【分析】由线面角定义，可得∠SCO即为SC与底面所成角，求其大小即可判定A；由圆锥的表面积公式即可判断B；求出∠ASB的范围，再利用2∠SAB+∠ASB＝π，求范围即可判断C；取BC的中点D，证得BC⊥面SOD，则∠SDO为二面角S﹣BC﹣O的平面角，求解可判断D．【解答】解：如图，在Rt△SOC中，SC=SO2+OC2=2对于A，由线面角定义，∠SCO即为SC与底面所成角，满足cos∠SCO=OCSC=222=对于B，圆锥SO的侧面积为：πrl=42π，底面积为πr2＝4故圆锥表面积为(42+4)π，故对于C，当点B与点A重合时，∠ASB＝0为最小角，当点B与点C重合时，∠ASB=又因为B与A，C不重合，则∠ASB∈（0，π2又2∠SAB+∠ASB＝π，可得∠SAB∈(π对于D，取BC的中点D，连接OD，SD，又O为AC的中点，则OD∥AB，∵AB⊥BC，∴BC⊥OD，∵SO⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴BC⊥SO，∵SO∩OD＝O，∴BC⊥面SOD，∵SD⊂面SOD，BC⊥SD，故∠SDO为二面角S﹣BC﹣O的平面角，∵点B为弧AC的中点，AB=22，OD=则tan∠SDO=SO故选：AC．【点评】本题考查线面角，二面角，空间几何体表面积等知识，属难题．（多选）9．（2024•威宁县校级模拟）如图，P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点，则下列说法正确的有（）A．当P在线段B1C上运动时，四棱锥P﹣AA1D1D的体积不变 B．当P为线段AC的中点时，D1P与A1C1所成角为π2C．使得直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π+42D．若F是棱A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面B1CD1时，PF的最小值是7【考点】几何法求解直线与平面所成的角；棱锥的体积；直线与平面平行．【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算．【答案】ABC【分析】根据锥体的体积公式，线线角的求法，线面角的概念，面面平行的判定定理，即可分别求解．【解答】解：∵B1C∥平面AA1D1D，且P∈B1C，∴P到平面AA1D1D的距离为正方体棱长，故四棱锥P﹣AA1D1D的体积不变，∴A选项正确；∵当P为AC的中点时，根据三垂线定理可得D1P⊥A1C1，∴B选项正确；∵P在正方体表面上，又直线AP与平面ABCD所成的角为45°，∵AA1＝2，A1P＝2，∴在Rt△AA1P中，∠A1PA=π4，即直线AP与平面A1B1C1又平面A1B1C1D1∥平面ABCD，∴直线AP与平面ABCD所成的角为45°，∴P的轨迹为对角线AB1AD1，以及在平面A1B1C1D1内以A1为圆心、2为半径的14故P的轨迹长度为π+42，∴C分别取A1D1DD1，BC，B1B，CD的中点M，N，S，E，P，由正方体的性质可知：M，N，S，E，P，F六点共面，且为正六边形MNPSEF，由中位线定理可知MF∥B1D1，又B1D1⊂平面B1CD1，∴MF∥平面B1CD1，同理可得MN∥平面B1CD1，又MF∩MN＝M，MF，MN⊂平面MNPSEF，∴平面MNPSEF∥平面B1CD1，∴FP所在的平面为如图乙所示的正六边形：∴当P为BC的中点时，FP的长最小，最小为6，∴D选项错误．故选：ABC．【点评】本题考查立体几何的综合应用，属中档题．（多选）10．（2024•天心区校级模拟）一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直角棱长分别a，b，c，直角顶点到斜面的距离为d，其内切球的半径为r，三个直角面的面积分别为S1，S2，S3，三个直角面与斜面所成的角分别为α，β，y，斜面的面积为S，则（）A．直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心 B．cos2α+cos2β+cos2γ＝1 C．S＜D．1【考点】直线与平面所成的角；棱锥的结构特征．【专题】数形结合；转化思想；定义法；立体几何；逻辑推理；数学运算．【答案】BCD【分析】设该直角四面体为四面体P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，直角顶点P在斜面上的射影为O，连接PO，得出PO⊥平面ABC，再对选项中的命题真假性判断即可．【解答】解：设该直角四面体为四面体P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，直角顶点P在斜面上的射影为O，连接PO，则PO⊥平面ABC．对于A，连接AO，由PA，PB，PC两两垂直，可得PA⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC，又PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PO⊥BC，BC⊥平面PAO，又AO⊂平面PAO，所以BC⊥AO，连接BO，同理可得AC⊥BO，所以O为△ABC的垂心，但不一定为△ABC的内心，选项A错误．对于B，由选项A知PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAO，延长AO交BC于点F，连接PF，则PA⊥PF，BC⊥PF．在△PBC中，PF=bcb2+c令S1=12bc，S2=12ac，S3=12ab，直角面PBC，PAC同理可得cosβ=S2S，cosγ=S3S，所以cos对于C，由射影的性质知，S＜S1+S2+S3，由3S2-(S1+S2+S3)2=3(对于D，直角四面体的体积为V=16abc=13Sd=1故选：BCD．【点评】本题以新定义“直角四面体”为背景设题，考查了线面位置关系、三角形的面积、几何体的体积等知识，也考查了空间想象能力、逻辑思维能力及综合运用所学知识分析、解决问题的能力．

考点卡片1．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征棱柱1根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．2．棱锥的结构特征【知识点的认识】1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．2．认识棱锥棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．3．棱锥的结构特征棱锥1根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．4．棱锥的分类棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．5．棱锥的体积公式设棱锥的底面积为S，高为h，V棱锥=133．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【知识点的认识】侧面积和全面积的定义：（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）S圆柱表＝2πr（r+l），S圆锥表＝πr（r+l），S圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）4．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的认识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥=135．棱锥的体积【知识点的认识】棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=1﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．【命题方向】﹣棱锥的体积计算：考查如何根据底面面积和高度计算棱锥的体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱锥体积计算．6．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积【知识点的认识】旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．1．圆柱①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．②认识圆柱③圆柱的特征及性质圆柱1圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．④圆柱的体积和表面积公式设圆柱底面的半径为r，高为h：V圆柱2．圆锥①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．②认识圆锥③圆锥的特征及性质圆锥1与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2④圆锥的体积和表面积公式设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：V圆锥3．圆台①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．②认识圆台③圆台的特征及性质圆台1平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．④圆台的体积和表面积公式设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：V圆台7．球的体积和表面积【知识点的认识】1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．2．球体的体积公式设球体的半径为R，V球体=3．球体的表面积公式设球体的半径为R，S球体＝4πR2．【命题方向】考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．8．异面直线及其所成的角【知识点的认识】1、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，π2]．当θ＝902、求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：9．异面直线的判定【知识点的认识】（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理．10．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已