2025年高考一轮复习 专题26 双曲线（七大题型+模拟精练）（解析版）

专题26双曲线（七大题型+模拟精练）目录：01双曲线的的定义02双曲线的的标准方程03双曲线的的顶点，虚、实轴，渐近线方程等04双曲线的的离心率05等轴双曲线06双曲线的应用07解答综合题01双曲线的的定义1．设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．5或13【答案】B【分析】先求出，然后根据双曲线的定义结合可求得.【解析】双曲线的，由双曲线的定义可得．因为，所以，得或17，若，则在右支上，应有，不成立；若，则在左支上，应有，成立．故选：B．2．若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（

）A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．充分不必要条件【答案】D【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.【解析】，当点在左支时，的最小值为，当点在右支时，的最小值为，因为，则点在双曲线的左支上，由双曲线的定义，解得；当，点在左支时，；在右支时，；推不出；故为充分不必要条件，故选：D.3．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（）A．16 B．18 C．21 D．26【答案】D【分析】如图，根据题意和双曲线的定义直接得出结果.【解析】如图所示，由双曲线的定义知，，(1)，(2)又，(3)所以由(1)，(2)，(3)得，故的周长为.故选：D.4．已知双曲线的两个焦点分别为，，为坐标原点，若为上异于顶点的任意一点，则与的周长之差为（）A．8 B．16 C．或8 D．或16【答案】D【分析】将双曲线转化成标准方程，得到，根据双曲线的定义得出结论.【解析】的方程可化为，所以，易知与周长差的绝对值为，故与的周长之差为或16.故选：D.02双曲线的的标准方程5．已知双曲线C：的焦点为，则C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的标准方程计算即可.【解析】因为双曲线C的焦点为在纵轴上，所以，且双曲线C方程满足，故，则C的方程为．故选：D．6．若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案.【解析】根据题意，若曲线表示双曲线，则有，解得.故选：C7．若双曲线的渐近线方程为，实轴长为，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的性质求解.【解析】由题可得，解得，因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为.故选:C.03双曲线的的顶点，虚、实轴，渐近线方程等8．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由双曲线的方程可求得，计算可判断每个选项的正确性.【解析】由双曲线，可得，所以，所以双曲线的左顶点，右焦点，故AB错误；虚轴长，故C错误；离心率，故D正确.故选：D.9．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知先求得参数，进一步即可得解.【解析】已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，所以，解得，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B.10．已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据焦距可求，从而可求渐近线的方程.【解析】因为焦距为，故，故，故故渐近线方程为，故选：C.11．已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得，，由，解得，可得，求出渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．【解析】由题意可得，，焦点为，则，解得，又，则双曲线的渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为．故选：B．12．已知双曲线：与：，则（

）A．与的实轴长相等 B．与的渐近线相同C．与的焦距相等 D．与的离心率相等【答案】C【分析】根据给定条件，求出两条双曲线实半轴长、虚半轴长、半焦距，渐近线方程及离心率即可判断得解.【解析】双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距，渐近线方程为，离心率，双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距，渐近线方程为，离心率，因此与的焦距都是，只有C正确，ABD错误.故选：C13．已知双曲线的右焦点为，直线过点，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的方程为B．双曲线的离心率为C．双曲线的实轴长为D．双曲线的顶点坐标为【答案】A【分析】根据直线与曲线有且只有一个公共点可知渐近线方程，再根据焦点坐标可得双曲线方程，进而判断各选项.【解析】由直线过点，得，，所以，又直线与双曲线只有一个公共点，当直线与双曲线渐近线平行时，，可得，双曲线方程为，当直线与双曲线渐近线不平行时，联立直线与双曲线，得，，即，又，则，无解，所以双曲线方程为，A选项正确；离心率，B选项错误；顶点坐标为，D选项错误；实轴长为，C选项错误；故选：A.04双曲线的的离心率14．双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】利用双曲线的性质计算即可.【解析】由双曲线方程易知C的渐近线为，所以，则.故选：C15．设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求的值.【解析】由椭圆，可得，所以，所以椭圆的离心率，又，所以双曲线的离心率为，又双曲线，所以，所以，解得.故选：B.16．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据渐近线方程及离心率公式可得解.【解析】双曲线的渐近线方程为，又渐近线过点，即，则，所以离心率，故选：A.17．已知双曲线方程为，，是双曲线的两个焦点，点A是双曲线上任意一点，若A点关于的对称点为点，点关于的对称点为点，线段的长度是8，则双曲线的离心率是（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】分析可知，即可得，，进而可得离心率.【解析】由题意可知：、分别为、的中点，则，即半焦距，由方程可知：，则，所以离心率.故选：B.18．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】设，则，，再根据双曲线的定义求出，从而求出离心率.【解析】设，因为为等边三角形，则，，又，所以双曲线的离心率.故选：A05等轴双曲线19．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解【解析】由题意可设双曲线方程为，，由得，则，，不妨假设，则，由图象的对称性可知，可化为，即，解得，故双曲线方程为：，故选：C20．已知双曲线，点、为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的值为．【答案】【分析】首先根据定义得到，再结合勾股定理求出，最后平方即可求解.【解析】双曲线化为标准方程为，由定义知①，又因为，由勾股定理可知，②，①式平方得③，联立②③得，则，则.故答案为：21．已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点的直线与交于两点．若，且的面积为2，则的焦距为．【答案】【分析】由题意可知双曲线为等轴双曲线，四边形为矩形，设双曲线的半焦距为，利用双曲线的定义和勾股定理，及的面积为2，求出与的值即可得双曲线的焦距.【解析】双曲线为等轴双曲线，设双曲线的半焦距为，则由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形，，不妨设点在的右支上，，则，所以，得，所以，得，又，所以的焦距为．故答案为：．22．已知反比例函数的图象是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线.设、为双曲线的两个顶点，点、是双曲线上不同的两个动点.则直线与交点的轨迹的方程为；【答案】【分析】设直线与交点为，通过和可构造等式，将代入等式且进行消即可求解【解析】由题意可得双曲线的两个顶点，，因为点、是双曲线上不同的两个动点，则且，设直线与交点为，，且，，所以，①，，且，，所以，②，因为点在双曲线上，则，且，将代入①式化简可得③，将代入②式化简可得④，③式与④式相乘可得，可得，因此，轨迹的方程为.故答案为：06双曲线的应用23．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论．【解析】设，，，由题意知，，，所以，，，所以，又，所以，解得，所以.故选：B.24．在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，，不妨设双曲线的标准方程为，，结合双曲线的定义和勾股定理求出m，即可求解.【解析】因为，所以，得，不妨设双曲线的标准方程为，设，则．所以，解得或（舍去）．所以．故选：D．25．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒：若，则的长轴长与的实轴长之比为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】设出椭圆方程和双曲线方程，由椭圆定义和双曲线定义得到相关方程，求出的周长和的周长，进而根据题意得到方程，求出，得到答案.【解析】设椭圆方程为，双曲线方程为，由图①可得，其中，故上面两式相减得，由图②可得，故，由题意得，即，即，解得，故的长轴长与的实轴长之比为.故选：C07解答综合题26．求下列各曲线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线的左顶点，求抛物线标准方程．(2)已知椭圆与圆，双曲线与椭圆有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的标准方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据双曲线的性质求出抛物线的焦点坐标，可得抛物线的标准方程.（2）利用椭圆和双曲线的几何性质，得到双曲线的焦点，然后，列出的相关方程进行求解即可.【解析】（1）对双曲线：，其左顶点为.对抛物线，焦点为，所以抛物线的标准方程为：.（2）椭圆：的焦点坐标为：，.如图：直线与圆：相切，设直线的倾斜角为，则.所以对双曲线焦点在轴上，且.所以双曲线的标准方程为：.27．已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4．(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值．【答案】(1)(2)23【分析】（1）利用点到直线的距离公式列方程得到，根据焦距得到，然后根据得到即可得到双曲线的方程；（2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可.【解析】（1）的一条渐近线的方程为，即，点Fc,0到的距离，又因为，所以，所以，所以双曲线的方程为．（2）记双曲线的左焦点为，则，，当三点共线时，最小，且最小值为．故的最小值为．28．已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线上两点，代入方程解方程组即可得解；（2）利用“点差法”可得直线斜率与斜率关系，再由圆的性质可得斜率的关系，化简即可得证.【解析】（1）代入双曲线上两点得，，故，解得，，故双曲线C标准方程为：.（2）如图，设，，由题知，相减得，又，所以，由为圆的一条非直径的弦，为中点得，故，因此为定值.一、单选题1．（2024·福建福州·模拟预测）以为渐近线的双曲线可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解.【解析】对于选项A，由得渐近线方程为，所以选项A错误，对于选项B，由得渐近线方程为，所以选项B正确，对于选项C，由得渐近线方程为，所以选项C错误，对于选项D，由得渐近线方程为，所以选项D错误，故选：B.2．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据渐近线方程解得，再由离心率公式求解即可.【解析】解：因为双曲线的一条渐近线为()，即,所以渐近线的斜率为，即，解得，所以双曲线的离心率.故选：A.3．（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据点到直线得距离公式求出，在和中，求出，利用余弦相反构造的齐次式，即可得解.【解析】，点到渐近线的距离为，即，因为，所以，，在中，由余弦定理得：.在中，由余弦定理得：.因为，所以，所以，又，所以，所以.故选：D4．（2024·湖南·三模）双曲线的上焦点到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（

）A． B．4 C． D．2【答案】A【分析】由点到直线的距离公式、焦点、渐近线以及的关系即可求解.【解析】由对称性，不妨设，双曲线的渐近线是，则由题意，解得，故所求为.故选：A.5．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解.【解析】由题意可知：圆的圆心为O0,0，半径，设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为，若圆与圆外切，则，，可得；若圆与圆内切，则，，可得；综上所述：，可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则，所以动点P的轨迹方程为.故选：B.6．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得.【解析】对于双曲线，则，根据双曲线定义有，又，，故．故选：B

7．（2024·河南·二模）双曲线的左､右焦点分别为，过作圆：的切线，切点为，该切线交双曲线的一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，连接，则，，由，得，，进而可求得点的坐标，结合点在渐近线上求解即可．【解析】如图，连接，则，，

，为的中点，，，，设,，，，，点在渐近线上，，离心率．故选：B．8．（2024·福建泉州·二模）双曲线，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如图，已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则下列命题正确的是（

）A．存在直线l，使得B．当且仅当直线l平行于x轴时，C．存在过的直线l，使得取到最大值D．若直线l的方程为，则双曲线C的离心率为【答案】D【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A项判断；设直线分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出和坐标，从而可对B、C项判断；根据，求出，从而可对D项判断.【解析】解：对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误；对于B项：设直线，与双曲线联立，得：，其中，设，由根与系数关系得：，所以线段PQ中点，将直线，与渐近线联立得点S坐标为，将直线与渐近线联立得点R坐标为，所以线段RS中点，所以线段PQ与线段RS的中点重合．所以，对任意的直线l，都有，故B项不正确；对于C项：因为为定值，当k越来越接近渐近线的斜率时，趋向于无穷，所以会趋向于无穷，不可能有最大值，故C项错误；对于D项：联立直线l与渐近线，解得，联立直线l与渐近线，解得由题可知，，，解得，所以，故D项正确．故选：D．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.二、多选题9．（2024·河南新乡·模拟预测）已知，则双曲线与有相同的（

）A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线【答案】CD【分析】由双曲线的几何性质逐一判断即可；【解析】对于选项A、B：设，易知的左、右焦点坐标分别为和，而的标准方程为，故其左、右焦点坐标分别为和，显然和的焦点和焦距均不相同，故A，B错误；对于选项C、D：和的离心率均为，渐近线方程均为，故C，D正确．故选：CD.10．（2024·河北保定·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（

）A． B．C．的离心率为 D．直线的斜率为【答案】ACD【分析】设，，结合双曲线的定义与勾股定理可以求得的值，即可判断出A，B选项；再结合勾股定理可以求得的关系，再求出离心率；求直线的斜率，在直角三角形中，用斜率的定义求正切值可以求得直线的斜率.【解析】如图，由，可设，.因为，所以.设，，则，，，解得，则，，所以，故A选项正确；，故B选项错误；在中，由，得，则，从而的离心率为，故C选项正确.又，所以直线的斜率为，故D选项正确.故选：ACD.11．（2025·安徽·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为与轴的交点为，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（

）A．若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为2或B．若，且，则双曲线的离心率为C．若，则的取值范围是D．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为【答案】ABD【分析】根据基本量运算直接得出离心率判断A，结合双曲线定义判断B,结合内切圆性质判断C，结合定义及余弦定理计算可得离心率判断D.【解析】对于A，双曲线渐近线的夹角为，则或者故或．对于B，设，则．故，解得．又，故．对于C，令圆切分别为点，则，，令点，而，因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为，即直线的方程为，设直线的倾斜角为，那么，在中，在中，，渐近线的斜率为．因为均在右支上，故．如图所求，．对于D，，故，而．故，由余弦定理可知，故．故选：ABD.【点睛】关键点点睛：1.根据几何性质确定的横坐标都是，2.设倾斜角为，将表示为的三角函数.三、填空题12．（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为．【答案】【分析】根据条件及离心率的定义，得到，即可求解.【解析】因为，即，解得，所以的虚轴长为，故答案为：.13．（2024·山西长治·模拟预测）已知抛物线、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则b＝.【答案】【分析】根据题意可知，，根据题意，列出方程求解即可.【解析】如图所示，因为抛物线所以，因为抛物线的准线过双曲线的左焦点，所以，所以，又因为双曲线的一条渐近线，所以，因为，所以即，化简得，又因为，联立解得故答案为：.14．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，，与在第一象限内交于点，且，与的离心率分别为，．则，的取值范围是．【答案】【分析】利用椭圆以及双曲线定义联立方程组可得，因此可求得；求出的表达式再根据三角形三边关系可求得，利用函数单调性即可求得结果.【解析】如下图所示：

根据椭圆定义以及双曲线定义可得，解得；显然，可得；又且，其中；可得，所以，即；所以．令，则．因为，所以．又，所以有，所以有；又，所以有，所以有，所以可得．设函数，则，函数在区间上单调递增，所以，所以．即可得的取值范围是.故答案为：；.【点睛】易错点点睛：在求解椭圆以及双曲线离心率问题时，最容易忽略利用它们的定义来求得线段长度表达式，再进行相关问题求解.四、解答题15．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）将点代入双曲线方程即可求解；（2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果.【解析】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：；又因为点在双曲线上，所以，解得：，所以双曲线的标准方程为：（2）设，Qx由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即，联立，消去可得：，所以，，所以16．（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.(1)求双曲线的标准方程；(2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或．【分析】（1）设所求双曲线方程为，，把点代入，即可得出答案．（2）根据题意设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案．【解析】（1）因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以双曲线为等轴双曲线，所以设所求双曲线方程为，，又双曲线经过点，所以，即，所以双曲线的方程为，即．（2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点，所以直线的方程为，所以原点到直线的距离，联立，得，所以且，所以，且，所以，所以的面积为，所以，解得，所以，所以直线的方程为或．17．（2024·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为．(1)求的方程．(2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由渐近线的斜率设，再将代入求解即可；（2）分两种情况证明，当直线的斜率存在，设，与双曲线联立，根据韦达定理及得出，设点到直线的距离为，则由等面积法即可证明；当直线的斜率不存在，设直线的斜率为1，分别求出，即可证明．【解析】（1）由题可设双曲线的方程为．因为经过点，所以，解得，故的方程为．（2）若直线的斜率存在，设，由，消去得，则，即，设Ax1,因为，所以，即，所以，整理得，设点到直线的距离为，则由等面积法得，所以，又，所以；若直线的斜率不存在，则直线的斜率为，不妨设直线的斜率为1，则，将点的坐标代入方程，得，所以，所以．综上，为定值．18．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，等轴双曲线和的中心均为O，焦点分别在x轴和y轴上，焦距之比为2，的右焦点F到的渐近线的距离为2．(1)求，的方程；(2)过F的直线交于A，B两点，交于D，E两点，与的方向相同．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求面积的最小值．【答案】(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【分析】（1）根据双曲线特征