集合间的基本关系（学案）-2021-2022学年高一数学教材配套学案（人教A版2019必修第一册）含答案及解析

1.2集合间的基本关系【学习目标】素养目标学科素养1.理解子集、真子集、空集的概念；(重点)2.能用符号和Venn图表示集合间的关系；(难点)3.掌握列举有限集的所有子集的方法。1、逻辑推理2、直观想象3、数形结合【自主学习】一.子集的相关概念1．Venn图A表示：在数学中，经常用平面上______的_____代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．A优点：形象直观。2.子集、真子集、集合相等

定义符号表示图形表示子集如果集合A中的

元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A

B(或B

A)

真子集如果集合A⊆B，但存在元素_________

，就称集合A是集合B的真子集A

B(或B

A)

集合相等如果集合A的

元素都是集合B的元素，同时集合B的

元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A

B

3.子集的性质(1)任何一个集合是它本身的，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么.二.空集定义

的集合叫做空集符号用符号表示为___规定空集是任何集合的

，是任何非空集合的________【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．()(2)任何一个集合都有子集．()(3)若A＝B，则A⊆B.()(4)空集是任何集合的真子集．()2.已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是()A．0⊆AB．{0}∈AC．∅∈AD．{0}⊆A【经典例题】题型一集合间关系的判断点拨：判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．(2)集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴．例1下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1B．2C．3D．4【跟踪训练】1(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是()A．MTB．M⊆TC．M＝TD．M∈T(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．题型二子集、真子集的个数问题点拨：公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集.(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集.(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集.(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集.例2写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.例2-变式写出集合{a,b,c}的所有子集?写出集合{a,b,c,d}的所有子集?【跟踪训练】2满足{a，b}⊆A{a，b，c，d，e}的集合A的个数是()A．2B．6C．7 D．8题型三根据集合的包含关系求参数点拨：1.分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．2.借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．3.此类问题要注意对空集的讨论．例3已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A．求实数m的取值范围．【跟踪训练】3设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝eq\f(1,5)，试判定集合A与B的关系；(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．【当堂达标】1.下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个 D．3个2.已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为()A．2B．4C．6D．83.设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是()A．m>3B．m≥3C．m<3D．m≤34.已知集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|2x－5≥0}，则这两个集合的关系是________．5.已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求由实数a的值组成的集合C.6.已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．【课堂小结】1.知识点：(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断.(2)求子集、真子集的个数问题.(3)由集合间的关系求参数的值或范围.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点.【参考答案】【自主学习】一．1.封闭曲线内部2.任意一个⊆⊇x∈B，且x∉A任何一个任何一个＝3.子集A⊆C二．不含任何元素∅子集真子集【小试牛刀】1．(1)×(2)√(3)√(4)×2.D解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．【经典例题】例1B解析：(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.【跟踪训练】1(1)A解析：因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以MT.(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图例2解：集合{a,b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a,b}.真子集为∅，{a}，{b}.例2-变式：集合{a,b,c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}.集合{a,b,c,d}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}，{b,d}，{c,d}，{a,b,c}，{a,b,d}，{a,c,d}，{b,c,d}，{a,b,c,d}.【跟踪训练】2C解析：由题意知，集合A可以为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}．例3解：(1)因为B⊆A，当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B≠∅时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1<m＋1，))解得－1≤m<2，综上得m≥－1.【跟踪训练】3解：(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝eq\f(1,5)时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以BA.(2)当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅，a≠0时，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，由B⊆A得eq\f(1,a)＝3或eq\f(1,a)＝5，所以a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,5).综上所述，实数a的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(1,5)))【当堂达标】1.B解析：①空集是它本身的子集；②空集只有一个子集；③空集不是它本身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错误，④正确．2.B解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．3.B解析：因为A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.4.AB解析：A＝{x|x－3>0}＝{x|x>3}，B＝{x|2x－5≥0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(5,2))))).结合数轴知AB.5.解：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2.所以A＝{1,2}．因为B⊆A，所以对B分类讨论如下：①若B＝∅，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0；②若B≠∅，则B＝{1}或B＝{2}．当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．6.解：(1)因为B⊆A，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以