《用勾股定理解决最短路径问题》期末常考题型专练

《用勾股定理解决最短路径问题》期末常考题型专练类型一平面上的最短路径问题1.如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为1km和3km，且C、D相距3km，则铺水管的最短长度是()A.5kmB.4kmC.3kmD.6km2.如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP的值最小，求EP+BP的最小值.类型二几何体上的最短路径问题3.如图所示的是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是50cm、30cm、10cm，A和B是这个台阶的两个相对的顶点，A点有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，则这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬()A.13cmB.40cmC.130cmD.169cm4.(2022河南郑州四中第一次月考)如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路程为20cm，则该圆柱的底面周长为()A.12cmB.14cmC.20cmD.24cm5.如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，长方体的高为3cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短为多少.

答案全解全析1.A如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'与直线l交于点P，此时PA+PB的值最小.作A'E∥l，交BD的延长线与点E，则BE⊥A'E，在Rt△A'BE中，∵A'E=3km，BE=1+3=4(km)，∴A'B2=A'E2+BE2=32+42=25，∴A'B=5km，∵PA+PB=PA'+PB=A'B=5km，∴PA+PB的最小值为5km，即铺水管的最短长度是5km.2.解析如图，连接BD交AC于点O，连接ED与AC交于点P，连接BP，此时EP+BP的值最小.易知B、D关于直线AC对称，∴BP=PD，∴EP+BP=EP+PD=ED.在Rt△ADE中，AE=3，AD=AB=1+3=4，由勾股定理得ED2=32+42=25=52，∴ED=5，∴EP+BP的最小值为5.3.C将台阶面展开，连接AB，如图，线段AB即为这只壁虎所爬的最短路线.由题意知BC=30×3+10×3=120(cm)，AC=50cm，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=16900，所以AB=130cm.所以这只壁虎至少需爬130cm.4.D如图，将容器侧面展开，则EG为上底面圆周长的一半，作A关于直线EG的对称点A'，连接A'B交EG于F，连接AF，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路程为AF+BF的长，即AF+BF=A'B=20cm，过A'作A'D⊥BG交BG的延长线于D，∵AE=A'E=DG=4cm，BG=16-4=12cm，∴BD=16cm，在Rt△A'DB中，由勾股定理得A'D2=A'B2-BD2=202-162=144，∴A'D=12cm，∴该圆柱的底面周长为24cm.5.解