期末复习之与勾股定理有关的常见几何模型（解析版）

与勾股定理有关的常见几何模型（热考+压轴必刷50题13种题型专项训练）构造直角三角形蚂蚁爬行模型直角三角形翻折模型【扩展】特殊四边形的翻折模型构造直角三角形求代数式的最值利用勾股定理解决将军饮马问题勾股树模型面积法求高赵爽弦图梯子模型勾股差模型垂美四边形见特殊角，作垂线一．构造直角三角形（共4小题）1．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，某小区在相邻两楼之间修建了一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，其中AD=2.1米，CD=2米，现有一辆装满家具的卡车高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否顺利通过这个通道？请说明你的理由．【答案】卡车能通过，理由见解析【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，如图，卡车能否通过，关键是车高2.5米与EG的比较，EF为2.1米，只需求GF，在直角三角形OFG中，半径OG为1米，车宽的一半为OF=0.8米，运用勾股定理求出GF即可．【详解】解：卡车能通过，理由如下，如图，设点O为半圆的圆心，则AB的中点为点O，OG为半圆的半径，∵AB=CD=2米，∴OG=1，OF=1.6÷2=0.8米，在Rt△OFG中，OGF=O∴EG=EF+GF=2.1+0.6=2.7米，∵2.7>2.5，∴卡车能通过．2．（2022八年级·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3和S4．若S1=4，【答案】8【分析】连接AC，构造Rt△ABC和Rt△ADC，然后在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC2，在Rt【详解】如图，连接AC，∵在Rt△ABC中，A∴AC∵在Rt△ADC中，A∴AC解得：S4【点睛】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．3．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，在△ABC中，CD是△ABC的中线，CD=5，AC=8，BC=6．(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)点E在CD上，且AE=BC，求证：∠AED=∠B．【答案】(1)△ABC是直角三角形，理由见详解(2)见详解【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形斜边中线定理、勾股定理逆定理及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、直角三角形斜边中线定理、勾股定理逆定理及等腰三角形的性质是解题的关键；（1）延长CD，使得DF=CD=5，连接AF，由题意易得△ADF≌△BDCSAS，则有AF=BC=6,∠F=∠BCD，然后可得A（2）由（1）可知：∠F=∠BCD，AF=BC=6，∠ACB=90°，则有∠DCB=∠B，然后可得∠AED=∠F=∠BCD，进而问题可求证．【详解】（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下：延长CD，使得DF=CD=5，连接AF，如图所示：∵CD是△ABC的中线，∴AD=BD，∵∠ADF=∠BDC，∴△ADF≌△BDCSAS∴AF=BC=6,∠F=∠BCD，∴AF∥BC，∵AC=8，CF=2CD=10，∴AF∴△AFC是直角三角形，即∠CAF=90°，∵AF∥BC，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形；（2）解：由（1）可知：∠F=∠BCD，AF=BC=6，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，∴CD=BD，∴∠DCB=∠B，∵AE=BC=AF，∴∠AED=∠F=∠BCD，∴∠AED=∠B．4．（24-25八年级上·山西运城·期中）阅读与思考：下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务．××年××月××日星期三巧用方程解决三角形求高问题法国数学家笛卡尔在《指导思维的法则》一书中写道：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数学问题，而一切代数学问题又都可以转化为方程问题”．可见方程思想对于数学学习的重要性．今天数学课上，老师提出问题：在△ABC中，已知边AB,AC,BC的长，求点A到BC边的距离．小亮画出的图形如图①所示：在△ABC中，已知：AB=13,AC=5,BC=12，小亮的同桌小明思索片刻就得出：点A到BC边的距离为5；小明画出的图形如图②所示：在△ABC中，已知：AB=15,BC=14,AC=13，经过小组讨论，大家得出了如下的解题思路：请你根据小亮的日记内容完成下列各题：(1)写出小明得出图①中点A到BC距离为5的理由；(2)根据小亮小组讨论的思路，写出图②中点A到BC的距离为；(3)根据（2）的解题思路解决下面的问题：如图③，某商场楼梯长4m(AB=4m)，商场准备改善原有楼梯的安全性能，将楼梯长度加长2m【答案】(1)见解析(2)12(3)455【分析】题目主要考查勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，理解题意，作出辅助线，熟练掌握勾股定理是解题关键．（1）根据勾股定理逆定理确定△ABC是直角三角形，即可求解；（2）根据题干思路，利用勾股定理代入求解即可；（3）作AD⊥BC交CB的延长线于D，根据题意得出AC=4+2=6m，设BD=xm，BC=3【详解】（1）解：∵在△ABC中，AB=13,AC=5,BC=12，∴AC2∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°∴AC⊥BC，∴AC是点A到BC边的距离，即点A到BC边的距离为5；（2）解：如图②，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=BC-BD=14-x，∵Rt△ABD中，AD2=AB2∴AB2∴152解得：x=9，即BD=9，∴AD2∴点A到BC的距离为12，故答案为：12；（3）解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，∵AB=4m∴AC=4+2=6m，设BD=xm，BC=3则CD=3+xm∵Rt△ABD中，AD2=AB2∴AB2∴42解得：x=116，即∴AD=AB∴楼梯的高度为4556二．蚂蚁爬行模型（共5小题）5．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，

(1)请你在所给的网格中，画出蚂蚁爬行的所有不同的直线路径；(2)分别求出这几种路径的距离；(3)求蚂蚁爬行的最短路程是多少？【答案】(1)见解析(2)从正面和上面：5；从左面和上面：29；从正面和右面：29(3)5【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，（1）按照从正面和上面；左面和上面；右面和上面，画出图形即可；（2）根据勾股定理即可解答；（3）将（2）中求得的距离进行比较，即可，本题的重点在于准确进行展开，将立体图形转化为平面图形进行计算，进行分类讨论．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：从正面和上面：AC从左面和上面：AC从正面和右面：AC（3）解：根据（2）中可得，最短路径为5．

6．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为5、3、1，A和B是一个台阶两个相对的端点．【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到AB长度即为最短路程，则AB=；（直接写出答案）【变式探究】（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高10厘米，底面周长为24厘米，在杯内壁离杯底2厘米的点A处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1厘米，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）【答案】（1）13；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是25厘米；（3）蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是15厘米【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．（1）直接利用勾股定理进行求解即可；（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；（3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B'，作B'D⊥AE，交AE延长线于点D，连接A【详解】解：（1）由题意得：BC=5，AC=1+3∴AB=A故答案为：13；（2）将圆柱体侧面展开，如下图：由题意得：AC=12×48=24∴AB=A∴该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B'，作B'D⊥AE，交AE延长线于点D，连接由题意得：DE=12B∴AD=AE+DE=8+1=9cm∵底面周长为24cm∴B'∴AB由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是AB7．（23-24七年级上·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行．(1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由．(2)如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的（A）1cm（B）2cm（C）3cm（D）这样的最短路径有条．(3)如果将正方体换成长AD=3cm，宽DF=3cm，高AB=1cm的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A【答案】(1)沿线段AB爬行；理由见解答过程(2)D；6(3)蚂蚁爬行的最短路线是沿面AF和面FC展开后所连接的线段AE；理由见解答过程【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．（1）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可；（2）根据图形可得出最短路径为5cm（3）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可．【详解】（1）解：沿线段AB爬行；理由如下：如图所示，根据两点之间线段最短，沿线段AB爬行即可；（2）解：如图所示：最短路径的长度为d=2∵2<5<3，即如图所示：∴路线有6条，故选：D；6；（3）解：蚂蚁爬行的最短路线是沿面AF和面FC展开后所连接的线段AE；理由如下：如图2.1和图2.2所示作图，分别连接AE，图2.1中AE=B图2.2中AE=A∵37∴图2.2中的路径最短．8．（24-25八年级上·广东深圳·期中）【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（π取3）素材1：如图1，圆柱体的高AC为12cm，底面直径BC为6cm，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是12+6=18cm．将圆柱沿着AC将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是cm；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线（用“一”或“二”素材2：如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6cm，高为10（1）两种路线路程的长度如表所示（单位：cm）：圆柱高度沿路线一路程x沿路线二路程y比较x与y的大小511106x>y41097x>y3a3b（2）填空：表格中a的值是；表格中b表示的大小关系是；（3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？【答案】素材1：15，二；（2）9，x<y；（3）当r=4【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键．（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可；（2）利用圆柱形木块的高为3，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小；（3）构造方程h+2r=h【详解】解：（1）图2中画出蚂蚁爬行的最短路径为：展开后，半圆长为12根据勾股定理，此时最短路程为12∵15<18，由此可知，蚂蚁爬行的最短路径为路线二；故答案为：15，二；（2）a=3+6=9，∵9<310∴表格中b表示的大小关系是x<y，故答案为：9，x<y；（3）根据题意可得h+2r=h即h2∴r=4故当r=49．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？(4)如图③，圆柱形玻璃杯的高9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁【答案】(1)A(2)20(3)8(4)10【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；（2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可；（3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及14的高为直角三角形的斜边长的4（4）如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B'，根据两点之间线段最短可知A【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C．故选：A；（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长12，圆柱的高AB=8，∴该长度最短的金属丝的长为2AC=28（3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及14的高为直角三角形的斜边长的4412（4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B'，作B'D⊥AE，交AE延长线于点D

由题意得：DE=1∴AD=AE+DE=6cm∵底面周长为16cm∴B∴AB由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB三．直角三角形翻折模型（共4小题）10．（24-25八年级上·山西晋中·期中）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B'(1)如图1，如果点B'和顶点A重合，求CE(2)如图2，如果点B'落在AC的中点上，求CE【答案】(1)7(2)55【分析】本题考查折叠问题以及勾股定理，熟练掌握折叠的基本性质是解题关键；（1）设CE=x，则BE=8-x，在Rt△ACE（2）根据中点性质，先得到CB'=【详解】（1）解：设CE=x，则BE=8-x．由折叠可得：AE=BE=8-x．在Rt△ACE由CE得：x2解得：x=7即CE的长为74（2）∵点B'落在AC∴CB设CE=y，则B'在Rt△由CE得y2解得：y=55即CE的长为551611．（20-21八年级下·福建南平·阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△BDE沿直线DE折叠，使B落在AC【答案】CE的长度为154或【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出△B'CE的三边的长度，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设CE=x，则BE=BC-CE=8-x，再根据翻折的性质可得B【详解】解：设CE=x，则BE=BC-CE=8-x，∵△BDC沿直线DE折叠B落在B'∴B∵点B'为AC的三等分点，AC=6∴B'C=2当B'C=2时，在B'C2解得：x=15当B'C=4时，在B'C2解得：x=3，综上所述，CE的长度为154或312．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，点H为AB边上的一点，AH=15，CH=8，AC=17，BH=6．(1)求BC的长；(2)已知点E为线段AB上一点，△BCE为等腰三角形，求线段HE的长度；(3)点P是直线AB上任意一点，把△ACH沿着直线CP翻折，直接写出当AP为何值时，点H翻折后的对应点H'恰好落在直线AC【答案】(1)10(2)6或4或7(3)515或【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质和判定，翻折变换，熟练掌握勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质、及分类讨论是解题的关键．（1）根据勾股定理逆定理判断△ACH是直角三角形，在根据勾股定理即可解答；（2）当CB=CE时，根据等腰三角形的性质可解答；当点E在线段AB上，且BC=BE时，根据HE=BE-BH可得答案；当EB=EC时，根据勾股定理可得答案；（3）设AP=a，分别当点P在线段AB上时，或点P在AB延长线上时，根据PH'=PH【详解】（1）∵AH=15，CH=8，AC=17，∴AH2+C∴AH∴△ACH是直角三角形，且∠AHC=90°，∴CH⊥AB，∴∠BHC=90°，∵BH=6，CH=8，∴BC=∴BC的长为10；（2）①当CB=CE时：∵CB=CE，CH⊥AB，∴H为BE中点，∵BH=6，∴HE=BH=6；②当点E在线段AB上，且BC=BE时：∵BC=10，∴BE=BC=10，∴HE=BE-BH=10-6=4，③当EB=EC时：如图在Rt△CHE∵HE2+CH∴HE∴HE=综上所述，线段的长度为6或4或73（3）①当点P在线段AB上时，如图：设AP=a，则PH∵CH∴AH在Rt△AP根据勾股定理可得92解得a=51∴AP=51②当点P在AB延长线上时，如图：设AP=a，则PH∵CH∴AH在Rt△AP根据勾股定理可得252解得a=85∴AP=85综上所述，AP的值为515或8513．（24-25八年级上·福建三明·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°(1)如图1，把△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕交AB于点D，交BC于点E．求证：D是AB的中点；(2)如图2，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点D，交BC于点F．求BF的长；(3)如图3，M为BC边上一点，△ABM沿着AM折叠，得到△AB1M，边AB1交BC于点N【答案】(1)证明见解析(2)BF=(3)BM=2【分析】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键．（1）先证CD=BD,∠B=∠BCD，再证明∠A=∠ACD进而得出AD=BD即可；（2）设AF=BF=x，则CF=8-x，在Rt△ACE（3）先求出∠AMB=135°，得出∠AMC=45°，进而求出AC=MC=6，即可求出结论．【详解】（1）解：∵折叠后点B与点C重合，∴CD=BD,∠B=∠BCD，在Rt△ABC中，∴∠BCD+∠ACD=∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ACD，∴AD=CD，∴AD=BD，即D是AB的中点；（2）解：∵直线DF是对称轴，∴AF=BF，∵AC=6,BC=8，设AF=BF=x，则CF=8-x在Rt△ACF中，∠C=90°∴AC∴62解得x=25∴BF=25（3）解：由题意得：∠AMB=∠AMB1，∴∠BMB∴∠AMB=∠AMB∴∠AMC=180°-135°=45°，∵∠C=90°，∴∠CAM=∠CMA=45°，∴AC=MC=6，∵BC=8，∴BM=8-6=2．四．【扩展】特殊四边形的翻折模型（共4小题）14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点D'处，折痕为EF(1)求证：△ABE≌△AD(2)若AB=4cm，EF=5cm，求【答案】(1)证明见解析；(2)BC的长为163【分析】（1）利用全等判定方法ASA证明全等三角形即可；（2）过点F作FG⊥BC交BC于G，先用勾股定理求出EG=3cm，设DF=xcm，用x表示出AF的长，进而在Rt△AD'【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AB=CD,∠BAC=∠B=∠C=∠D=90°，由折叠知，CD=AD∴AB=AD∴∠BAD-∠EAF=∠EAD∴∠BAE=∠D在△ABE和△AD∠B=∠D∴△ABE≌△AD（2）解：如图，过点F作FG⊥BC交BC于G，又∵∠BAC=∠B=90°，∴四边形ABGF是矩形，∴AB=CD=FG=4cm，BG=AF在Rt△EFG中，∠EGF=90°∴EF∴EG=E设DF=xcm，则D'∵△ABE≌△AD∴BE=D∴AF=BG=BE+EG=3+x在Rt△AD'∴AF即3+x2解得：x=7∴BC=AD=AF+FD=3+x+x=3+7∴BC的长为163【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握翻折变换的性质、全等三角形的判定和性质，学会作垂直辅助线构造直角三角形，以及在直角三角形中运用勾股定理是解题的关键．15．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形ABCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为(10,8)．(1)写出点F的坐标．(2)求EF的长．【答案】(1)F(6,0)(2)EF=5【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．（1）由点D的坐标可知AD=OC=10，AO=CD=8，根据翻折的性质可知AF=10，由勾股定理可求得OF=6，进而可求出点F的坐标．（2）设EF=x，由折叠得DE=x，则CE=8-x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵点D的坐标为10,8，在矩形AOCD中，∴AD=OC=10，AO=CD=8，由折叠的性质的可知：AF=AD=10ED=EF，在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF=∴F6,0（2）解：设EF=x，由折叠得DE=x，则CE=8-x，∵OF=6，∴CF=10-6=4，在Rt△ECF中，42解得：x=5，∴EF=5．16．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10，AD=BC=4，AB∥CD，AD∥BC．N是边CD上一点，CN=2．若M为AB边上一个动点，将四边形BCNM沿MN折叠，点B、C的对应点分别为点B'、C'，若线段MB'与边(1)如图1，证明：△EMN为等腰三角形；(2)如图2，当点M与点A重合时，求线段DE的长；(3)点M从点A向点B运动的过程中，①线段DE的最大值为_________；②请直接写出点E运动的路径长为_________．【答案】(1)见解析(2)3(3)①4；②2【分析】本题考查翻折变换，等腰三角形的判定，勾股定理与折叠问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）由折叠的性质得∠BMN=∠EMN，又AB∥CD，有∠ENM=∠BMN，故∠EMN=∠ENM，EM=EN，知△EMN为等腰三角形；（2）设DE=x，在Rt△ADE中，可得42+（3）①由题意可知，DE=8-EN，则当EN最小时，DE取得最大值，由垂线段最短可知，如图，当点M运动到MB'⊥AB时，此时N②如图，当点M运动到点B落在CD时，此时点B'与E″重合，求得此时DE″=8-25，根据点M从点A向点【详解】（1）证明：由折叠的性质得∠BMN=∠EMN，∵AB∥CD，∴∠ENM=∠BMN，∴∠EMN=∠ENM，∴EM=EN，∴△EMN为等腰三角形；（2）解：设DE=x，∵CD=10，AD=4，CN=2，∴EN=8-x，由（1）知AE=EN=8-x，在Rt△ADE中，A∴42∴x=3，即DE=3；（3）①由折叠可知，BC=B'C由题意可知，DE=CD-CN-EN=10-2-EN=8-EN，则当EN最小时，DE取得最大值，由垂线段最短可知，如图，当点M运动到MB'⊥AB∴此时E'N最小，且E'N=B则此时DE即DE的最大值为4，故答案为：4；②如图，当点M运动到点B落在CD时，此时点B'与E∴B'此时DE点M从点A向点B运动的过程中，点E的运动轨迹为E→E则其运动路径为：DE故答案为：2517．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=16．(1)如图①，将矩形纸片沿AN折叠，点B落在对角线AC上的点E处，求BN的长：(2)如图②，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F、且MG=GF，求BM的长：(3)如图③，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在AD边上的点E处，折痕所在直线同时经过AB、BC(包括端点)，请直接写出DE的最大值和最小值．【答案】(1)6(2)48(3)DE的最小值为4，最大值为4【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定；（1）设BN=x，在Rt△ENC（2）由ASA证明△GAM≌△GEF，得出GM=GF，AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，因此DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）当折痕所在直线经过点A时，如图1所示；此时DE最小=AD-AB；当折痕所在直线经过点C时，如图2所示：此时DE最大，由勾股定理即可求解．【详解】（1）解：设BN=NE=a，NC=16-a，AC=AB2在Rt△ENC中，由勾股定理得：a解得：a=6，∴BN=6；（2）解：设BM=x，由折叠的性质得：∠E=∠B=90°=∠A，在△GAM和△GEF中，∠A=∠EAG=GE∴△GAM≌△GEFASA∴GM=GF，∴AF=ME=BM=x，EF=AM=12-x，∴DF=16-x，CF=16-12-x在Rt△DFC中，由勾股定理得：(x+4)解得：x=485∴BM=485（3）当折痕所在直线经过点A时，如图1所示：此时DE最小=AD-AB=16-12=4；当折痕所在直线经过点C时，如图2所示：此时DE最大，CE=CB=16，由勾股定理得：DE=16综上所述，DE的最小值为4，最大值为47五．构造直角三角形求代数式的最值（共4小题）18．（21-22八年级下·广西桂林·期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，(1)求当x等于何值时，AC=CE?(2)当x=4时，求AC+CE的长．(3)利用图形求代数式x2【答案】(1)11(2)2(3)6【分析】本题考查了勾股定理，线段和最小，数形结合思想（1）根据题意，AC=CE时，AC2=CE2，继而得到A（2）当x=4时，BC=BD-CD=12-x=8，利用勾股定理计算即可．（3）根据x2+16+构造AB＝2，DE＝4，【详解】（1）根据题意，AB⊥BD，当AC=CE时，AC∴AB∵AB＝∴BC=BD-CD=12-x，∴4+12-x解得x=11（2）根据题意，AB⊥BD，∴AC∵AB＝∴当x=4时，BC=BD-CD=12-x=8，∴AC=A故AC+CE=217（3）根据x2+16+构造AB＝当A，C，E三点共线时，最小，延长ED到点F，过点A作AF⊥DF于点F，则四边形ABDF是矩形，故AF=BC=12,AB=DF=4,EF=CD+DF=6．故AE=A19．（2024八年级上·全国·专题练习）[探究]已知a，b均为正实数，且a+b=3，求a2+4+b2+9的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，AB=3,AC=2,BD=3,AC⊥AB,BD⊥AB，且C,D两点在直线AB的异侧．点E是线段①用含a的代数式表示CE=_______，用含b的代数式表示DE=________；②据此求出a2【答案】①a2+4，b2+9【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，最短距离等知识点，①根据图形，运用勾股定理即可求解，②运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键．【详解】①∵△ACE和△BDE是直角三角形，∠A=∠B=90°∴在Rt△ACE中，AC=2，AE=a∴CE=A∴在Rt△BED中，BD=3，BE=b∴DE=B故答案为：a2+4，②如图所示，过点D作AB的平行线交CA延长线于点G，∴AG=BD=3，DG=AE+BE=AB=3，当点C，E，D三点共线时，a2∴CE+DE=a在Rt△CDG中，CG=CA+AG=2+3=5，DG=AB=3∴CD=C∴a2+4+20．（23-24八年级上·福建泉州·期末）我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．【知识应用】如图1，点G为线段AD上的一点，分别过点A、D作AE⊥AD于A，DF⊥AD于D，连结（1）若AE=1，DF=5，AD=8，设AG=x，用含x的代数式表示GE+GF的长；（2）参照（1）的思想方法，构图求代数式x2【能力迁移】（3）如图2，正方形ABCD中，点E在BC边上，点G在AD边上，且AF⊥EG．已知DF=3,AB=8，求AE+FG的最小值．【答案】（1）GE+GF=1+x2+8-x2+25（【分析】本题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．（1）根据勾股定理分别列代数式表示GE、（2）作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数式x2+4+12-x2（3）作EH⊥AD，垂足为H，证明△DAF≌△HEG，设DG=x，则AH=8-3-x=5-x，得出AE+FG=5-x2+【详解】解：（1）∵AE⊥AD，DF⊥AD，AE=1，DF=5，AD=8，设AG=x，在Rt△AEG中，GE=在Rt△FDG中，GF=∴GE+GF=1+（2）如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数式x2过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=2，所以AE=A即x2+4+（3）作EH⊥AD，垂足为H，在正方形ABCD中，AD=AB,∠DAB=∠ABE=∠D=90°，∴四边形ABEH为矩形，∴EH=AB=AD=8,BE=AH，∵AF⊥EG，∴∠EGH+∠DAE=∠EGH+∠HEG=90°，∴∠DAE=∠HEG，∴△DAF≌△HEG，∴DF=GH=3，设DG=x，则AH=8-3-x=5-x，在Rt△DFG中，FG=在Rt△AHE中，AE=∴AE+FG=5-x与（2）同理得：AE+FG最小值为5221．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题：(1)如图，请你用两种不同方法表示梯形ABCD的面积，从而验证勾股定理．(2)如图，在直线l的同侧有两个点C、D，已知点C和点D到直线l的距离分别为2和5，且CD=73．现要在直线l上取点P，使得PD+PC①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）②直接写出PC+PD的最小值为_________；(3)借助上面的思考过程，直接写出9+x2+【答案】(1)见解析(2)①见解析；②113(3)41【分析】本题考查轴对称—最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．（1）由梯形，三角形面积公式即可证明问题；（2）①根据轴对称的性质，作D关于直线l的对称点D'，连接CD'与直线l②根据勾股定理求出CM，根据矩形的性质分别求出CH，D'H，根据勾股定理求出CD（3）作A关于直线l的对称点A'，连接CA'与直线l交于点P，则PA+PC【详解】（1）证明：由题意可知，梯形ABCD的面积第一种表示方法：S梯形ABCD=S△ADE第二种表示方法：S梯形ABCD=12AD+BCAE+BE则ab+1∴a2（2）①作D关于直线l的对称点D'，连接CD'与直线l由轴对称可知，PD=PD∴PD+PC=PD'+PC≥CD'故，点P即为所求；②作CH⊥l，D'H⊥CH，相交于点H，作CM⊥DD'于点则D'H=MC，在Rt△CDM中，CD=73，∴CM=C在Rt△CD'∴PD+PC的最小值为113，故答案为：113；（3）如图，作AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，AB=3，CD=1，BD=5，PB=x，则PD=5-x，∴PA+PC=x作A关于直线l的对称点A'，连接CA'与直线l交于点P，类比（2）可知，此时PA+PC作A'E⊥CD于E，则BD=由勾股定理得，CA'=A'∴x2+9+故答案为：41．22．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）阅读并回答下列问题【几何模型】如图①，A、B是直线l同侧的两个定点，问题：在直线l上找一点P，使PA+PB值最小．方法：如图②，作B点关于l的对称点B'，连接AB'交l于P

【模型应用】如图③，若A、E两点在直线l同侧，分别过点A、E作AB⊥BD，ED⊥BD，C为线段BD上一动点，连接AC、EC．已知AB=5，DE=3，BD=15，设CD=x．

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长为______．（2）①请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，并求出最小值；②根据①中的规律和结论，直接写出代数式x2+36+【拓展应用】由x2+1+x-32+4=x-02+1+x-32+22可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点Px,0是x轴上一点，则x-0

（3）求代数式x+12【答案】（1）25+15-x2+x2+90<x<15；（2）①当A、C、E【分析】此题考查了勾股定理，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，（2）①若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，AC+CE>AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；②由①的结果利用勾股定理求得AE的值．（3）仿照例题构造直角三角形，利用勾股定理求解即可【详解】解：（1）由勾股定理知AC=25+∴AC+CE=25+15-x故答案为：25+15-x（2）①当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，如下图，

∴AC+CE=AE=AB+DE②根据①中规律可以构造出如图所示，

同理可得：x故答案为15；（3）由x+12+9+4-x2+1可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点Px,0是x轴上一点，则x+12+9可以看成点P与点A-1,3的距离，4-x2+1

x+12+9∴代数式x+12+9+【点睛】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形如x2六．利用勾股定理解决将军饮马问题（共4小题）23．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA=15km，CB=10km，现在小明要在直线AB上找到地点(1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少km处？(2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少km处？并求出DE+CE的最短距离．【答案】(1)小明所在的E站应在离A站10km(2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15km处，此时DE+CE的值为252【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键．（1）先根据垂直的定义可得∠A=∠B=90°，再根据勾股定理可得AE2+AD2=DE2，（2）作点D关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于点E'，即E'到C、D站的距离之和最短，过点D'作D'F⊥CB的延长线于点F，证明D'F=CF，由勾股定理得出【详解】（1）解：∵使得C,D两活动点到地点E站的距离相等，∴DE=CE，∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴∠A=∠B=90°，∴AE2+A∴AE设AE=xkm，则BE=AB-AE=∵DA=15km，CB=10∴x2解得：x=10，∴AE=10km则小明所在的E站应在离A站10km（2）作点D关于AB的对称点D'，连接CD'交AB即E'到C、D站的距离之和最短，过点D'作D'则∠F=90°，D'F=AB=25，∴D'∴CD∴E'C+E此时∠BCE∴∠AE∴∠AD∴AE则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15km处，此时DE+CE的值为25224．（24-25八年级上·江苏常州·期中）（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、BF．交于点P．请直接写出线段AE与BF之间的关系；（2）如图2，在（1）的条件下，连接PC，试说明PC平分∠EPF；（3）如图3，若点E、F分别是BC、CD上的动点，且AB=1，BE=DF，请直接写出AE+BF的最小值．

【答案】（1）AE=BF,AE⊥BF（2）见解析（3）5【分析】（1）证明△ABE≌△BCF，得到AE=BF，∠BAE=∠FBC，进而推出∠BPE=90°，得到AE⊥BF即可；（2）过点C作CM⊥BF,CN⊥PE，易得四边形CNPM为长方形，证明△CMF≌△CNE，得到CM=CN，即可得出结论；（3）在CD上截取CG=DF，连接AG，证明△ADG≌△BCF，得到BF=AG，连接BG，同法可得△ABE≌△BCG，得到AE=BG，延长BC至点H，使CH=BC，连接AH，易得CG垂直平分BH，得到BG=HG，进而推出AE+BF=AE+AG=AG+BG=AG+HG≥AH，利用勾股定理求出AH的长即可得出结论．【详解】解：（1）AE=BF,AE⊥BF，理由如下：∵正方形ABCD，∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴BE=1∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF，∠BAE=∠FBC，∴∠AEB+∠FBC=∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BPE=90°，∴AE⊥BF；（2）过点C作CM⊥BF,CN⊥PE，如图，

由（1）知：AE⊥BF，∴∠NPM=90°，∵CM⊥BF,CN⊥PE，∴∠CMF=∠CNP=∠CMP=∠NPM=90°，∴四边形CNPM为长方形，∴∠NCM=90°，∵∠BCF=90°，∴∠NCE=∠FCM=90°-∠ECM，∵点E、F分别是BC、CD的中点，BC=CD，∴CE=CF，∴△CMF≌△CNE，∴CM=CN，又∵CM⊥BF,CN⊥PE，∴PC平分∠EPF；（3）在CD上截取CG=DF，连接AG，∵BE=DF,BC=CD，∴CE=CF，∵AD=BC，∠D=∠BCD=90°，∴△ADG≌△BCF，∴BF=AG，∴AE+BF=AE+AG，连接BG，同法可得：△ABE≌△BCG，∴AE=BG，∴AE+BF=AE+AG=AG+BG，延长BC至点H，使CH=BC，连接AH，则：CG垂直平分BH，∴BG=HG，∴AE+BF=AE+AG=AG+BG=AG+HG≥AH，在Rt△ABH中，AB=1,BH=2BC=2∴AH=1∴AE+BF的最小值为：5．

【点睛】本题全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，中垂线的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键．25．（23-24八年级上·山西晋中·阶段练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？

大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点P，连接PB请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l上另取任一点P'，连接AP'，B∵直线l是点B，B'的对称轴，点P，P'在∴PB=______，P'B=______，（依据∴AP+PB=AP+PB'在△AP'B'中，∵∴AP+PB<AP+P'B【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为AB'与l的交点，即由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】如图④，圆柱形玻璃杯，高为14cm，底面周长为16cm．在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为【答案】PB'，P'B'【分析】由轴对称的性质和三角形三边关系解答即可；把图④的半个侧面展开为矩形EFGH，如图，作点A关于EH的对称点A'，连接A'C交EH于P，作CD⊥EF于D【详解】理由：如图③，在直线l上另取任一点P'，连接AP'，B∵直线l是点B，B'的对称轴，点P，P'在∴PB=PB'，∴AP+PB=AP+PB在△AP'B'∴AP+PB<AP+P'B故答案为：PB'，P'【模型应用】解：把图④的半个侧面展开为矩形EFGH，如图，作点A关于EH的对称点A'，连接A'C交EH于P，作CD⊥EF

∴A'由【归纳总结】可知蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为AP+PC=A∵EF=14cm∴DE=EF-DF=11cm∴A'又∵圆柱形玻璃杯底面周长为16cm∴CD=8cm∴A'∴蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为17cm故答案为：17．【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形三边关系的应用，勾股定理．理解题意，掌握轴对称的性质是解题关键．26．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．【答案】方案1路线短，更合适．理由见解析【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质，正确的作出图形是解题的关键．方案1：过点A作AE⊥BD于点E，方案2：过A'作A'H⊥BD交BD【详解】解：方案1：过点A作AE⊥BD于点E，∵BD=4,AC=1，∴BE=3，在Rt△ABE中，A∴AB=4∴AC+AB=1+5=6；方案2：过A'作A'H⊥BD交BD∵AA'∴AA∵A∴CD=A同理A'∵AC=A∴BH=BD+DH=BD+A∴∵AM∴AM+BM=A∵6<41∴方案1路线短，更合适．七．勾股树模型（共4小题）27．（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①c为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上，

(1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程）(2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1＋S(3)如图⑥所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S【答案】(1)a(2)3个(3)S1【分析】（1）A、C、D三点在同一条直线上，得∠BCE=90°，S△BCE=12c（2）如图③，S1=a2,S2=b2,S3=c2，可得S1＋S2=S3；如图④，S1=1（3）如图⑥，S1+S2=【详解】（1）解：∵A、C、D三点在同一条直线上，∴∠BCE=180°-∠ACB-∠ECD=180°-∠DEC-∠ECD=180°-90°=90°.∴S△BCE又S△BCE∴12∴a2

（2）解：如图③，S1∵a2∴S1

如图④，S1∵a2∴S1

如图⑤，如图，对于等边△GFH，若边长为a，过点D作HI⊥GF，垂足为I，Rt△GHI中，GI=12∴S△GFH∴S1同理有：S2=3∵a2∴S1

故有：3个．（3）解：S1+S

S=1=1∵a2+b∴S1【点睛】本题考查勾股定理的证明及运用；理解勾股定理所表达的直角三角形三边关系是解题的关键．28．（23-24八年级上·浙江温州·期中）项目背景我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣．素材一毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树．素材二经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边长固定为2素材三

解决问题任务一小明画出了锐角△ABC，AB=AC，BC=2，则S3S任务二小金画出了直角△DEF，∠DFE=90°，EF=2，计算S2任务三小山画出了钝角△GHI，∠GIH=120°，HI=2，则S2+项目总结综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______三角形形成的S3【答案】任务一：94；任务二：1649cm【分析】本题考查了勾股定理的应用、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题关键．任务一：先求出AB=AC=3cm，再利用正方形的面积公式求解即可得；任务二：先利用勾股定理求出DE,DF的长，再利用正方形的面积公式求解即可得；任务三：过点G作GO⊥HI，交HI延长线于点O，设GI=2xcmx>0，则GH=6-2xcm，OI=xcm，OG=3xcm，【详解】解：任务一：由题意可知，AB=AC=3cm，BC=2∴S1=B∴S故答案为：94任务二：由题意可知，DE+DF=8-2=6cm①∵∠DFE=90°，EF=2cm∴DE2-D∴DE-DF=23联立①②得：DE=10则S2任务三：如图，过点G作GO⊥HI，交HI延长线于点O，则∠OIG=60°,∠OGI=30°,∠O=90°，设GI=2xcmx>0，则∴OI=xcm，OG=∴OH=HI+OI=2+x在Rt△GHO中，OH2解得x=8∴GI=16则S2故答案为：93249项目总结：组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的S3在任务一中，S3在任务二中，S3在任务三中，S3∵22<200∴周长一定的情况下，由钝角三角形形成的S329．（23-24八年级上·山西运城·期中）综合与实践勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图2，直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c．

(1)如图3，以直角三角形的三边a，b，c为边，分别向外部作正方形，直接写出S1，S2，S3(2)如图4，以Rt△ABC的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断S1，S2(3)如图5，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为80，OC=5，直接写出该飞镖状图案的面积．【答案】(1)S1(2)S1(3)120【分析】本题考查了勾股定理的运用，正方形的面积公式，圆面积公式，关键是掌握勾股定理的灵活运用．（1）根据正方形的面积公式：边长乘边长，结合直角三角形的三边a，b，c为边，即a2（2）根据半圆的面积公式：12乘π乘半径乘半径，然后进行化简，结合直角三角形的三边a，b，c为边，即a（3）易知AB+AC=20，设AC为x，则AB=20-x，AO=x+5，根据勾股定理建立x+52【详解】（1）解：依题意：S1=a2，由勾股定理得，a2∴S1故答案为：S1（2）解：依题意，S1=12由勾股定理得，a2则π∴S1（3）解：由题意知，外围轮廓（实线）的周长为80，且四个直角三角形是全等的，∴AB+AC=80÷4=20，∵OC=5，∴OB=OC=5，设AC为x，则AB=20-x，AO=x+5，在Rt△ABO中，由勾股定理可得，x+5解得：x=7，∴AO=12，△ABO的面积=1∵该飞镖状图案的面积由四个直角三角形面积组成，∴该飞镖状图案的面积=30×4=120．30．（22-23八年级下·江西南昌·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为S1，S2，S3，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S1②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，也满足S1+S2(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+【答案】(1)①3；②满足，证明见解析(2)m【分析】（1）设两直角边分别为x，y，斜边为z，用x，y，z分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据x2+y2=z2，求解S1，S2（2）由题意知，SA=a2，SB=b【详解】（1）①解：设两直角边分别为x，y，斜边为z，则图2中，S1∵x2∴S1+S图3中，S1=πx2∵πx∴S1+S图4中，S1=12x⋅x⋅∵3x∴S1+S∴这3个图形中面积关系满足S1+S故答案为：3；②解：满足，证明如下：由题意知a2+b2=∴S1（2）解：由题意知，SA=a2，SB=b∴a2故答案为：m2【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．八．面积法求高（共3小题）31．（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．若AD⊥BC于点D，则线段AD的长为【答案】2【分析】由勾股定求出AC2=5，AB2=20，BC2=25，得到AC=5，AB=25，BC=5【详解】解：由勾股定理得：AC2=22∴AC=5，AB=25，∵AC∴Δ∵AD⊥BC，∴△ABC的面积=1∴5×2∴AD=2．故答案为：2．32．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图在2×2的方格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，则边AC上的高为．

【答案】3【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，易求△ABC的面积，再根据勾股定理可求出AC的长，进而根据面积公式即可求得AC边上的高的长．【详解】解：由题意可得S△ABC又AC=2∴AC边上的高为2×3故答案为：3533．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知在正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，格点△ABC（即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处）的三条边AB，AC，BC的长分别为5，22，17(1)在网格中画出△ABC．(2)求边AC上的高．【答案】(1)见解析(2)3【分析】本题主要考查了勾股定理和网格中三角形面积的计算，熟练掌握割补法求三角形的面积是解题的关键．（1）利用勾股定理得出格点A、B、C，再画出△ABC即可；（2）作出边AC上的高BD，先利用割补法求出S△ABC=3，再根据S△ABC【详解】（1）解：如图所示，△ABC即为所求；∵AB=12+22∴△ABC即为所求．（2）解：作边AC上的高BD，如图，∵S△ABC又∵S△ABC∴3=1∴BD=322，即边AC九．赵爽弦图（共4小题）34．（24-25八年级上·浙江·期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图1为赵爽弦图，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，连接AE交BG于点P，连接BE，得到图2，若∠ABE=∠AEB．(1)求证：EF=DF；(2)若EF=2，求PE的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理；（1）根据等角对等边得出AB=AE，进而可得AD=AE，根据三线合一，即可得证；（2）由（1）得：EF=DF，可以求得AG=HE=2，进而证明△APG≌△EPH，得出PG=PH=1，再根据勾股定理，即可求解．【详解】（1）证明：∵∠ABE=∠AEB∴AB=AE∵AB=AD∴AE=AD∵∠DFA=90°∴EF=DF（2）由（1）得：EF=DF∵EF=2，赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成，∴AG=HE=EF=2，在△APG,△EPH中，∠AGP=∠EHP∴△APG≌△EPH∴PG=PH=1，在Rt△HPE中，∴PE=35．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料，解决问题：三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图1，这是由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”．(1)在图1中，正方形ABCD的面积可表示为______，正方形PQMN的面积可表示为______（用含a，b的式子表示）；(2)请结合图1用面积法说明a+b2，ab，a-b(3)已知a+b=7，ab=5，求正方形EFGH的面积．【答案】(1)a+b2；(2)a+b2(3)正方形EFGH的面积为39【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用正方形的面积公式进行计算．（1）由正方形面积公式即可得到答案；（2）由正方形ABCD的面积=正方形MNPQ的面积+直角三角形的面积×8，即可得到答案；（3）由正方形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形的面积×4，得到正方形EFGH的面=(a+b)【详解】（1）解：正方形ABCD的面积可表示为a+b2，正方形PQMN的面积可表示为a-b故答案为：a+b2；a-b（2）解：∵正方形ABCD的面积=正方形MNPQ的面积+直角三角形的面积×8，∴(a+b)∴a+b（3）解：∵正方形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形的面积×4，∴正方形EFGH的面积=(a+b)36．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形MNKT的边长为2，正方形ABCD的边长为10，求正方形EFGH的边长．【答案】2【分析】此题考查了勾股定理的应用，完全平方公式等知识，设每个直角三角形的斜边为c，直角边分别为a、b，其中a>b，由勾股定理可得a2+b2=c2，由正方形MNKT的边长为2得到a-b=2，则a-b2=4，由正方形ABCD【详解】解：设每个直角三角形的斜边为c，直角边分别为a、b，其中a>b，则a2∵正方形MNKT的边长为2，∴a-b=2，∴a-b2∵正方形ABCD的边长为10，∴a+b=10，∴a+b∴a-b2∴c2∴c=52由题意可得，正方形EFGH的边长为c．即正方形EFGH的边长为213故答案为：237．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为24，OC=3，求该飞镖状图案的面积；(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S【答案】(1)见解析；(2)该飞镖状图案的面积是24；(3)10【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得；（2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设AC=x，依题意有x+32（3）设每个三角形的面积都为y，则S1=S2+4y，S掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键．【详解】（1）解：a-b2a2则a2（2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24，∴直角三角形的斜边长为：24÷4=6，设AC=x，依题意有x+32x14x=14，解得：x=1，12故该飞镖状图案的面积是24．（3）解：设每个三角形的面积都为y，∴S1=S∴S1又∵S1∴S2一十．梯子模型（共4小题）38．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，∠MON=90°，已知△ABC中，AC=BC=10，AB=12，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，△ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为（

）A．12.5 B．13 C．14 D．15【答案】C【分析】此题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质以及三角形的三边关系等知识，证出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．由先等腰三角形的性质得BD=12AB=6，由勾股定理求出CD=8，再由三角形的三边关系得OC≤OD+DC，则当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD【详解】解：取AB的中点D，连接CD，如图所示：∵AC=BC=10，AB=12，∵点D是AB边中点，∴BD=1∴CD=B连接OD，OC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=1∴OD+CD=6+8=14，即点C到点O的最大距离为14，故选：C．39．（20-21八年级下·贵州安顺·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=4,BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（

）A．22+2 B．26+2 C．【答案】A【分析】取AC的中点D，连接OD，BD，在运动过程中，点O、点B到AC的中点D的距离不变，根据三角形两边之和大于第三边，可得B、D、O在一条直线上时，点B到原点O的最大可得出答案．【详解】解：如图，取AC的中点D，连接OD，BD，∵OB≤OD+BD，∴当O、D、B三点共线时，OB的值最大，即OD+BD的长，∵点D为AC的中点，∴OD=CD=1在Rt△BCD中，BD=B∴点B到原点的最大距离是22故选：A.【点睛】此题主要考查了两点间的距离的最值问题，以及勾股定理的应用和直角三角形斜边上的中线性质，在解题过程中应用三角形两边之和大于第三边，正确判断当三点共线时距离最大是解决本题的关键．40．（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，射线OA⊥射线OB于点O，线段CD=6，CE=4，且CE⊥CD于点C，当线段CD的两个端点分别在射线OB和射线OA上滑动时，点E到点O的最大距离为【答案】8【分析】取CD的中点M，以O为圆心，OM为半径作EF，交OA、OB于E、F，先根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半求出OM=CM=12CD=3，进而由勾股定理求出ME=5，根据三角形的三边关系即可求出即点E到点O【详解】解：如图，取CD的中点M，以O为圆心，OM为半径作EF，交OA、OB于E、F．∵CD=6，M为CD的中点，射线OA⊥射线OB于点O，∴OM=CM=1∵CE=4，且CE⊥CD于点C，∴ME=CE∵点M在EF上运动，∴OE≤ME+OM，当M在OE与EF的交点M'∴OE≤8，即点E到点O的最大距离为8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理及三角形三边的关系，取直角三角形斜边上中点连斜边上的中线是解题的关键．41．（2021八年级上·全国·专题练习）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，求运动过程中，点D到点O的最大距离．【答案】2＋1【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得．【详解】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE＋DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB＝2，BC＝1，∴OE＝AE＝12AB＝1DE＝AD2+AE2∴OD的最大值为：2＋1．【点睛】此题考查勾股定理，三角形三边的关系，矩形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半的性质．一十一．勾股差模型（共2小题）42．（21-22八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于．【答案】69【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2），＝132−102，＝69．故答案为：69．【点睛】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2．43．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC．(1)求证：AB(2)当AB=8，BC=6，AC=213时，求AD【答案】(1)证明见解析；(2)AD=43【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键．（1）在Rt△ABD和Rt△ADC中，分别运用勾股定理可得AB2=A（2）根据第一问的结论，可求出BD2-CD2的值，利用平方差公式，结合BC=BD+CD=6，可求得BD-CD，而BD+CD=6，由此可求得BD【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，∴在Rt△ABD和RtAB2=A∴AB移项得：AB故AB（2）解：∵AB2-AC∴BD∴BD∵BC=6，即BD+CD=6，∴BD-CD=2，∴BD+CD=6BD-CD=2，解得BD=4∴AD∴AD=43一十二．垂美四边形（共3小题）44．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD=3，BC=8，则A【答案】73【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+C【详解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得：∴CB∵AB∴AB故答案为：73．45．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线AC，B