2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差课时作业含解析新人教A版选修2-3

课时作业15离散型随机变量的方差时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共计40分)1．已知随机变量ξ的分布列为：ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)则在下列式子①E(ξ)＝－eq\f(1,3)，②D(ξ)＝eq\f(23,27)，③P(ξ＝0)＝eq\f(1,3)中，正确的有(C)A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：由分布列可知P(ξ＝0)＝eq\f(1,3)，依据公式可求得E(ξ)＝－eq\f(1,3)，D(ξ)＝eq\f(5,9)，所以①③正确．2．随机变量X听从二项分布X～B(100,0.2)，那么D(4X＋3)的值为(B)A．64 B．256C．259 D．320解析：由题意知，D(X)＝100×0.2×(1－0.2)＝16，所以，D(4X＋3)＝42×D(X)＝16×16＝256.3．已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝eq\f(2,3)，P(X＝a)＝eq\f(1,3)，E(X)＝eq\f(4,3)，则D(2X－1)＝(D)A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,9)C.eq\f(4,3) D.eq\f(8,9)解析：由题意，知1×eq\f(2,3)＋a×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，解得a＝2，∴D(X)＝(1－eq\f(4,3))2×eq\f(2,3)＋(2－eq\f(4,3))2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9)，∴D(2X－1)＝22D(X)＝4×eq\f(2,9)＝eq\f(8,9).4．设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105，随机变量X1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量X2取值eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(x2＋x3,2)，eq\f(x3＋x4,2)，eq\f(x4＋x5,2)，eq\f(x5＋x1,2)的概率也均为0.2，若记D(X1)，D(X2)分别为X1，X2的方差，则(A)A．D(X1)>D(X2)B．D(X1)＝D(X2)C．D(X1)<D(X2)D．D(X1)与D(X2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关解析：由题意可知E(X1)＝E(X2)，又由题意可知，X1的波动性较大从而有D(X1)>D(X2)．5．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.4)，则E(η)和D(η)分别是(B)A．2和2.4 B．4和2.4C．6和2.4 D．4和5.6解析：因为ξ～B(10,0.4)，所以E(ξ)＝10×0.4＝4，D(ξ)＝10×0.4×(1－0.4)＝2.4.又ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ，所以E(η)＝8－E(ξ)＝8－4＝4，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.6．已知ξ听从二项分布B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n，p的值为(B)A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1解析：E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3np＋2＝9.2，∴np＝2.4.D(3ξ＋2)＝9D(ξ)＝12.96.∴D(ξ)＝1.44，即np(1－p)＝1.44.∴1－p＝0.6.∴p＝0.4，n＝6.7．同时抛掷两枚匀称硬币10次，设两枚硬币同时出现反面对上的次数为X，则D(X)等于(A)A.eq\f(15,8) B.eq\f(15,4)C.eq\f(5,2) D．5解析：由题意知，离散型随机变量X听从二项分布，设事务A＝“两枚硬币同时出现反面对上”，则P(A)＝Ceq\o\al(2,2)(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4)，所以X～B(10，eq\f(1,4))，故D(X)＝10×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(15,8).8．已知A1，A2为两所高校实行的自主招生考试，某同学参与每所高校的考试获得通过的概率均为eq\f(1,2)，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参与其他高校的考试，设该同学通过考试的高校个数为随机变量X，则D(X)＝(A)A.eq\f(3,16) B.eq\f(5,4)C.eq\f(25,64) D.eq\f(19,64)解析：由已知X的取值可能为0,1.P(X＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，∴E(X)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)，D(X)＝eq\f(9,16)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,16)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,16).二、填空题(每小题6分，共计18分)9．若随机变量ξ的分布列如下：ξ01xPeq\f(1,5)peq\f(3,10)若E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝0.49.解析：先确定x、p，由分布列性质得p＝1－(eq\f(1,5)＋eq\f(3,10))＝eq\f(1,2)，E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,2)＋x×eq\f(3,10)＝1.1，解得x＝2，可得D(ξ)＝(0－1.1)2×eq\f(1,5)＋(1－1.1)2×eq\f(1,2)＋(2－1.1)2×eq\f(3,10)＝0.49.10．随机变量ξ的分布列为：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝eq\f(1,3)，则D(ξ)的值是eq\f(5,9).解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,a＋c＝2b，,－1×a＋0×b＋1×c＝\f(1,3).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,6)，,b＝\f(1,3)，,c＝\f(1,2).))所以，D(ξ)＝(－1－eq\f(1,3))2×eq\f(1,6)＋(0－eq\f(1,3))2×eq\f(1,3)＋(1－eq\f(1,3))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).11．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事务是相互独立的，并且概率都是eq\f(2,5)，设ξ为途中遇到红灯的次数，则离散型随机变量ξ的方差为eq\f(18,25).解析：由题意知ξ～B(3，eq\f(2,5))，所以D(ξ)＝3×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(18,25).三、解答题(共计22分)12．(10分)有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ξ，求E(ξ)与D(ξ)．解：这3张卡片上的数字和ξ这一随机变量的可能取值为6,9,12，且“ξ＝6”表示取出的3张卡片上都标有2，则P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)；“ξ＝9”表示取出的3张卡片上有两张为2，一张为5，则P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)；“ξ＝12”表示取出的3张卡片上有两张为5，一张为2，则P(ξ＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).∴ξ的分布列为ξ6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)则期望E(ξ)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝7.8，方差D(ξ)＝eq\f(7,15)×(6－7.8)2＋eq\f(7,15)×(9－7.8)2＋eq\f(1,15)×(12－7.8)2＝3.36.13．(12分)如图所示是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市中随机抽取3位居民(看作有放回抽样)，求月均用水量在3吨至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差．解：(1)由频率分布直方图，知0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意，知X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×0.93＝0.729，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×0.13＝0.001.故X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001E(X)＝3×0.1＝0.3，D(X)＝3×0.1×(1－0.1)＝0.27.——素养提升——14．(5分)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取1球，有放回地摸取5次，设摸得白球的个数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(B)A.eq\f(8,5) B.eq\f(6,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(2,5)解析：由题意知X～B(5，eq\f(3,m＋3))，所以E(X)＝5×eq\f(3,m＋3)＝3，解得m＝2，所以X～B(5，eq\f(3,5))，故D(X)＝5×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5).15．(15分)有A，B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：其中ξA，ξB分别表示A，B两种钢筋的抗拉强度，在运用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A，B两种钢筋哪一种质量较好．解：先比较ξA与ξB的均值，因为E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.