人教版七年级下册教案第八章 二元一次方程组

第八章二元一次方程组

8.1二元一次方程组

教材分析

二元一次方程组是第八章第一节的内容，在此之前，学生已学习了一元一次方程，这为过渡到本节的学习起着

铺垫作用.本节内容主要学习和二元一次方程组有关的几个概念.本节内容既是前面知识的深化和应用，又是今后

用二元一次方程组解决生活中的实际问题的准备知识，占据重要的地位，是学生新的方程建模的基础课，为今后学

习一次函数以及其他学科（如：物理）的学习奠定基础，同时建模的思想方法对学生今后的发展有引导作用，因此本

节课具有承上启下的作用.

备课素材

。新课导入国B

【情景导入】

古老的“鸡兔同笼问题”

“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡、兔各几何？”

方法一：算数方法

把兔子都看成鸡，则多出94-35X2=24只脚，每只兔子比鸡多出两只脚，由此可先求出兔子有24+2=12（只），

进而求出鸡有35—12=23（只）.

方法二：列一元一次方程求解

设有x只鸡,则有（35-x）只兔子.根据题意,得2x+4（35-x）=94.

问题：上面的问题可以用一元一次方程来解，还有其他方法吗？

【说明与建议】说明：以古老的数学名题引入，可以增强学生的民族自豪感，激发学生学习数学的兴趣.能

用方法一来解的学生算术功底比较好，应给予高度赞赏.方法二既是对一元一次方程的复习与巩固，又为二元一次

方程组的引出做好了铺垫.建议：教师利用课件出示问题，学生思考，自行解答，教师巡视.最后，在学生动手动

脑的基础上，通过讨论给出各种解决方案.

【置疑导入】

播放多媒体：姚明和刘翔的合影照片.已知姚明比刘翔高37cm刘翔身高的2倍比姚明高152c加，则他们的

身高分别是多少？

假设姚明的身高为xcnu刘翔的身高为ycm,你能得到怎样的方程？能列几个？

【说明与建议】说明：由同学们熟悉的姚明和刘翔的身高，为新课的引入做准备，还可以调节气氛，给学生

以轻松的感觉，以对话的形式再次引出方程问题，让学生再次经历建模的同时，以相对轻松的状态进入后面的学

习.建议：引导学生回答问题，小组今作完成题目，教师参与并指导.

命题角度1认识二元一次方程（组）

1.下列方程中，为二元一次方程的是(D)

A.2x+3=0B.3x—y=2zC.x2=3D.2x—y=5

2.若关于x,y的方程7xm+（m—l）y=6是二元一次方程，则m的值为（A）

A.-1B.0C.1D.2

3.下列方程组中，是二元一次方程组的是（D）

3x—y=5fx+3=l5x+2y=lx+y=2

A.-B.C.I).

2y—z=61y=x~2xy=—1y—2x=4

命题角度2二元一次方程（组）的解

2x—3y=-8,

4.在下列各组数中，是方程组I。°的解的是（D）

,x+2y=3

x=4,

5.已知是关于x,y的二元一次方程x-ay=3的一个解，则a的值是1.

ly=l

命题角度3建立二元一次方程（组）模型

6.“今有50鹿进舍，小舍容4鹿，大舍容6鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有50只鹿

进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求所需圈舍的间数.设需要大圈舍

x间，小圈舍y间，则列二元一次方程为6x+4y=50.

7.某公司要购买办公桌，A型办公桌每张500元，B型办公桌每张300元，购买10张办公桌共花费4200元.设

x+y=10

购买A型办公桌x张，B型办公桌y张，则根据题意可列方程组为……一

500x+300y=4200

教学设计”

课题8.1二元一次方程组授课人

1.了解二元一次方程（组）及其相关概念，会设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系.

素养目标

2•会用数学的思维判断一对数值是不是某个二元一次方程组的解.

1.了解二元一次方程（组）及其相关概念.

教学重点

2♦会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.

1.会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.

教学难点

2•会设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.方程2x-3=l是二元二次方程，其解是x=2,有j_个解.

通过简单的提问，

2.下列方程中，解为x=4的方程是(C)

帮助学生回顾一元

回顾A.X—1=4B.4x=l

一次方程，为学习

C.4x—l=3x+3D.2(x—1)=1

新课做好准备.

师生活动：学生独立完成，班内统一答案.师生共同回顾一元一次方程及其解.

【课堂引入】

活动一：对话

老牛喘着气吃力地说：“累死我了！”

小马说：“你还累？这么大的个，才比我多驮了2个.”

老牛气喘吁吁地说：“哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！”

小马天真而不信地说：“真的？”

它们各驮了多少包裹呢？

根据学生的生活实

际和认知实际，创

屈;侪晒陶品

活动一：设具体的问题情

|一就1底而2伸］

创设情境，让学生经历建

至适驮r多少但Q

境、导入模的同时，调节心

新课设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹，你能得到怎样的方程？能列儿个？情，以相对轻松的

问题1：老牛驮的包裹数比小马驮的多2个，由此你能得到怎样的方程？状杰进入后面的学

问题2：若老牛从小马背上拿来1个包裹，老牛的包裹数就是小马的包裹数的2习.

倍，由此你又能得到怎样的方程？

活动二：多媒体展示公园门票问题，学生认真观看图片，部分学生开始在练习本

上计算.

［昨天.我们8个人］［藕腔生3倡

1门一气看七1|依"仁、'几

uB

设他们中有X个成人，y个儿童，由此你能得到怎样的方程？

【探究新知】

1.二元一次方程的概念

上面两个问题中，我们分别得到方程x—y=2,x+l=2(y—1)和x+y=8,5x

+3y=34.

(1)观察以上几个方程，它们各含有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？

与一元一次方程有何异同？

(2)能否仿照一元一次方程的定义给这几个方程起个名？

归纳：L学生通过类比学

二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方习，抓住二元一次

程叫做二元一次方程.方程的关键特征，

它有3个特征：(1)含有两个未知数；(2)所含未知数的项的次数都是1；(3)方归纳、概括得出二

程的两边都是整式.元一次方程的概

师生活动：先让学生通过观察归纳其中的共性，并用自己的语言进行描述，然后念.

再组织学生交流.2.通过分组讨论得

活动二：

判断一个方程是不是二元一次方程，要从元和次两个方面去判断，首先要看元，到二元一次方程组

实践探

即未知数是否有两个；其次要看次，即未知数的次数，含有未知数的项的次数必的概念，提高学生

究、交流

须都是1.这个概念分别在元和次两个方面进行了限定，这两个方面缺一不可.学习的积极性，同

新知

2.二元一次方程组的概念时增强学生的语言

对于公园门票问题：x+y=8和5x+3y=34这两个方程，其中x的含义是什么？组织能力.

y呢？两个方程中x,y的含义一样吗？3.深刻理解二元一

总结：两个方程中x,y的含义是一样的.次方程(组)的解的

x,y必须同时满足两个方程，所以我们把它们联立起来，在前面加一个大括号，概念，体会二元一

x+y=8，次方程的解的不唯

组成方程组.

5x+3y=34.一性.

含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样

的方程组叫做二元一次方程组.

师生活动：总结归纳出二元一次方程组的定义后，注意引导学生理解未知数X

和y表示的意义相同，弃规范方程组的表示方法.最后让学生尝试自己举例.

二元一次方程组的判断要点：首先要看方程中是不是含有两个未知数；其次要看

含有未知数的项的次数是否都为1.这两个重要条件必须同时满足的两个方程组

成的方程组才能称为二元一次方程组.

3.二元一次方程(组)的解

做一做：

(l)x=6,y=2适合方程x+y=8吗？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你还能

找到其他x,y的值适合方程x+y=8吗？

(2)x=5,y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2,y=8呢？

(3)你能找到一组x,y的值同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗?

总结：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方

程的解.

x=5，x=5，

x=5,y=3是二元一次方程x+y=8的一个解，记作|同样|也是

[y=3.〔y=3

二元一次方程5x+3y=34的一个解.

x=59x=5，

c同时适合方程x+y=8和5x+3y=34,那么，我们就说°是二元

ly=3[y=3

x+y=8，

一次方程组,的解.

5x+3y=34

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

师生活动：学生分组讨论后进行回答，教师帮助学生对比得到二元一次方程(组)

的解的定义，并引导学生理解一个二元一次方程一般有无数个解.

【典型例题】

例1下列方程有哪些是二元一次方程：(1)(3)(6).

(l)x+3y-9=0；(2)3x:-2y+12=0；

(3)3a—4b=7；(4)3x—^=1；

1.典型例题进一步

(5)mn+m=7；(6)^-5n=1；巩固新知，提高学

活动三：

生的应用能力.

开放训(7)xy—1=0；(8)x+y+z=2.

2变.式训练拓展学

练、体现例2下列方程组中，属于二元一次方程组的是(A)

生思维，进一步提

应用x+y=51x+y=2[xy=4fx2-1=0

A.]B/C.\D.1

,y=21y—z=6[y=1[x+y=5高学生分析问题、

解决问题的能力.

例3下列四组数中，哪些是二元一次方程2x+y=10的解？

x=-2，fx=3，[x=4fx=6，

(1)((2),(3)。(4).

ly=6；[y=4；ly=3；(y=-2.

解：(2),(4)是二元一次方程2x+y=10的解.

x+2y=10»

例4二元一次方程组的解是(C)

y=2x

x=4x=3[x=2x=4

A：B.C.iD.

ly=3y=6ly=4ly=2

例5某旅店一共有70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人,

480个学生刚好住满.设大房间有x个，小房间有y个，则列出方程组为

x+v=7()

8X+6Y=480・

【变式训练】

1.若(a—l)x+4y、=3是二元一次方程，则@=二］_.

2.小明在解题时发现二元一次方程Dx—y=3中，x的系数已经模糊不清(用

x=-2，

“口”表示)，但查看答案发现是这个方程的一组解.，则“口”表示的

ly=5

数为二

师生活动：学生先独立思考并作答，然后分小组交流讨论，派学生代表进行讲解,

教师最后进行完善.

【课堂检测】

1.下列各组数中，不是x+y=5的解的是(B)

x=2[x=lfx=-2[x=0

AJB.IC.D.]

y=3ly=6ly=7ly=5

2x—y=1x=2，x+y=0，xy=l»

2.在方程组

y=3z+1；3y—x=l；3x-y=5；x+2y=3；

针对本课时的主要

是二元一次方程组的有⑴

问题，分层次进行

活动四：A.2个B.3个C.4个D.5个

检测，达到了解课

课堂检测x+3y=7，

3.下列各组数是二元一次方程组］的解的是(A)堂学习效果的目

y—x=l

的.

x=lx=0x=7X=1

A/B.C.D.

y=2y=iy=0y=-2

4.如图,设他们中有x个成人，y个儿童，根据图中的对话可得方程组(C)

昨天，我们8个人每张成人票30元.每张几女

去看电影,美门票IS之，他们到底去了几个

票花了195元.成人、几个儿立？

x+y=30fx+y=195

AJB

■[30x4-15y=195130x+15y=8

x+y=8[x4-y=15

ClD

130x+15y=195,匕Ox+I5y=195

5.若方程/—3产1=5是关于x,y的二元一次方程，则m+n=2.

师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.

1.课堂小结：

注重课堂小结，激

(1)二元一次方程组及其解的概念是怎样的？

发学生参与课堂总

(2)如何检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解？

课堂小结结的主动性，为每

2.布置作业：

一个学生的发展与

(1)教材第89页练习.

表现创造机会.

(2)教材第90页习题8.1第1,2,3,5题.

反思，更进一步提

教学反思

升.

经典导学设计

详见电子资源

8.2消元——解二元一次方程组

第1课时用代入消元法解方程组

教材分析

本课时是在学习了一元一次方程及其解法以及二元一次方程组的基本概念之后进一步学习解二元一次方程组

的第一种方法一一代入消元法.本节课通过探索、尝试、比较等活动来学习代入消元法，在学习的过程中要注意让

学生体会消元思想在解决数学问题中的应用.

备课素材

GWWXWJ

【情景导入】

情境：某商场有如图所示的一则广告.

问题：你知道•个茶杯和•瓶可乐各多少钱吗？

【说明与建议】说明：现实而直观的情境是使学生主动参与的最佳途径，同时让学生体验数学与生活的紧密

联系.建议：以此例引出课题，使学生对新知识的学习有所期待，为顺利地完成教学内容做了思想上的准备.

【置疑导入】

问题：体育节要到了，篮球是七年级（1）班的拳头项目.为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到4（）

分.已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分.那么七年级（1）班应该胜、负各几场？

你会用二元一次方程组解决这个问题吗？

根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以很容易地列出方程组：

x+y=22,①

2x+y=40.②

那么有哪些方法可以求得这个二元一次方程组的解呢？

【复习导入】

（D下列方程是二元一次方程吗？

①x+3y=7：②2y+2=0；③2x—3=5；④3x+y=9.

（2）你能把上面的二元一次方程改写成用x表示y（或用y表示x）的形式吗？

[x++yy==22,。的解是

⑶二元一次方程组

【说明与建议】说明：通过对已有知识的I可顾和思考，学生既感自然乂倍添新奇，有跃跃欲试的心情.由易

到难，引出课题，展示学习目标，培养学生养成回顾已学知识的习惯，并在回顾的过程中学会思考和质疑，通过质

疑，自然地引出我们要研究和解决的问题.建议：培乔学生独立完成回顾和探究的好习惯，如果学生确实感觉自己

完成会比较困难，可小组内讨论解决.

命题角度1用一个未知数表示另一个未知数

1.方程5x-3y=7,变形可得*=与^，丫="」・

命题角度2用代入法解二元一次方程组

2.用代入消元法解关于x,y的方程组xA=、4—y-3y3=,—1时’代入正确的是S)

A.2(4y-3)-3y=-lB.4y-3-3y=-l

C.4y-3-3y=lD.2(4y-3)~3y=l

2x—y=l,①

3.用代入法解方程组/时，下列变形正确的是(B)

6y—3x=5②

y+1

A.由①，得y=2x+lB.由①，得x=f—

C.由②，得丫=六二2D.由②，得

b—3

4.用代入消元法解二元一次方程组：

2x+3y=0,7=1,

⑴⑵〈34'

x—y=5；

3x—4y=2.

2x+3y=0,①

(1)

X—y=5,②

由②，得*=丫+5.③

把③代入①，得2(y+5)+3y=0.

解得y=-2.

把y=-2代入③，得x=3.

x=3,

故原方程组的解为°

ly=-2.

,J4x—3y=12,①

(2)方程组整理,得3x—4y=2.②

①+②，得7x—7y=14,

即x-y=2.

贝ijx=2+y.③

把③代入②，得3(2+y)-4y=2.

解得y=4.

把y=4代入③，得x=6.

故原方程组的解为一‘

y=4.

命题角度3用代入法解二元一次方程组的简单应用

5.草特基地对收获的草转分拣成A,B两个等级销售，每千克4级草箍的价格比B级的2倍少4元，3千克A

级草莓比5千克B级草蒋多卖4元.求草卷基地销售A,B两个等级的草蒋每千克各是多少元？

解：设草莓基地销售A等级草莓每千克为x元，销售B等级草莓每千克为y元，

x=2y—4,x=28,

根据题意，得一.解得

y=16.

答：草莓基地销售A等级草莓每千克是28元，销售B等级草莓每千克是16元.

教学设计.

课题8.2第1课时用代入消元法解方程组授课人

1.会用代入消元法解二元一次方程组.

素养目标2•初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”.

3•在解决问题的过程中学会交流与合作，感受二元一次方程组的实用价值.

教学重点会用代入消元法解二元一次方程组.

教学难点如何灵活地“消元”，壬“二元”转化为“一元”.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.下列方程是二元一次方程吗？

XV

(1)x4-3y=7；(2)2y+2=0；(3)2x—3=5；(4)^—-=1.回顾旧知，为学习新

J乙

回顾

2.你能把上面的二元一次方程改写成用x表示y(或用y表示x)的形式吗？知做好准备.

3.解一元一次方程的步骤是什么？

【课堂引入】

通过提出实际问题，

活动一：上节课我们学习了老牛和小马驮包裹的问题，经过大家的共同努力，得出了二

充分调动学生的积

创设情境、元一次方程组「二一：：“它们分别驮了多少包裹呢？这就需要我们

极性，激发学生的学

导入新课[x+l=2(y—1)，

习动力和兴趣.

去解这个二元一次方程组.我们会解一元一次方程，那么二元一次方程组如何

解呢？

【探究新知】

问题1:老牛和小马驮包裹的问题中，你能否列一元一次方程？如何求解？

解：设老牛驮了X个，则小马驮了(X—2)个.根据题意，得

x+l=2(x—2—1),

x+l=2x—4—2,

x-2x=-4—2—1,

—x=—7,

x=7.

1.通过利用一元一

问题2：如果设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹，你还记得怎么列的方

次方程解决实际问

程组吗？

题，引导学生将求解

x-y=2»

二元一次方程组的

1x4-1=2(y—1).

问题转化为消“二

问题3：针对同样的问题，如何求二元一次方程组'’的解呢？元”为“一元”，调

[x+l=2(y—1)

动学生思考问题的

活动二：实提示：(1)对照一元一次方程的解法，问题2比问题1多了一个未知数y,y相

积极性，同时提高学

践探究、交当于问题1中的____________.

生分析问题、解决问

流新知(2)一元一次方程会解，如何解二元一次方程呢？能否化成一元一次方程？换

题的能力.

句话说，多出来的未知数y可以转化成____________,然后代入_____________.

2.通过问题罗列及

学生自己分析求解，教师规范解题格式.

小组讨论，让学生发

x—y=2»①

解.•挥学习的主动性，同

•x+l=2(y-l).②

时让学生养成学会

由①，得y=x-2.③

观察、分析、归纳的

将③代入②，得x+l=2(x—2—l).解得x=7.

好习惯.

把x=7代入③，得y=5.

x=7»

所以原方程组的解为

ly=5.

探索与归纳：

(1)给前面解方程组的方法取个什么名字好？

(2)解方程组的基本思路是什么？

(3)解方程组的主要步骤有哪些？

代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的

式子表示出来，再代入另一个方程，从而消去一个未知数，化二元一次方程组

为一元一次方程.这种好方程组的方法叫代入消元法，简称代入法.

基本思路：二元一次方程组。一元一次方程

解二元一次方程组的第一种解法一一代入消元法，其主要步骤：

第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数

用含有另一个未知数的代数式表示出来.

第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.

笫三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.

第四步：回代求出另一个未知数的值.

第五步：把方程组的解表示出来.

第六步：检验，即把求得的解代入每一个方程看其是否成立.

代入法解二元一次方程组的小窍门：

用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1

的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1,则选取系数的绝对值较

小的方程变形.

【典型例题】

1.进一步熟悉解二

X—y=3，①

例1(教材第91页例1)用代入法解方程组人元一次方程组的基

[3x-8y=14.②

本思路，熟练解二元

解：由①，得乂=丫+3.③

一次方程组的基本

把③代入②,得3(y+3)-8y=14.

步骤和过程.

解得y=-L

2.让学生解决数学

把y=-1代入③，得x=2.

问题，将新知识融入

活动三：开x=2，

所以这个方程组的解是学生已有的认知结

放训练、体y=-i-

构中，提高认识知识

现应用例2(教材第92页例2)根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶

的效率，促进学生能

装(250g)两种产品的销售数最(按瓶计算)比为2：5.某厂每天生产这种消毒液

运用所学知识和技

22.5t,这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？

能解决问题，同时为

两种产品的销售数量比为2：5,即销售的大瓶数目与小瓶数目的比为2：5.这

学生提供充分发挥

里的数目以瓶为单位.

创造力的空间，更大

【分析1问题中包含两个条件：

地调动学生的积极

大瓶数：小瓶数=2：5,

性.

大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生产量.

解：设这些消毒液应分装X大瓶和y小瓶.根据题意，得

j5x=2y，©

|500x+250y=22500000.②

由①，得丫="③

5

把③代入②，得500x+250X：x=22500000.解得x=20000.

把x=20000代入③，得y=50000.

x=20000，

所以这个方程组的解是

y=50000.

答：这个工厂一天应生产20000大瓶和50000小瓶消毒液.

总结：上面解方程组I向过程可以用下面的框图表示：

二产50000

元

一―20000|

次

方

程

组一元一次方程

500x+250x-^-.x=22500000

【变式训练】

1.用代入法解下列方程组:

2x+3y=-195①[2x+3y=16，①

(1)(2)-

[x=l-5y；②[x+4y=13.②

解：(1)把②代入①，得2(1—5y)+3y=-19.解得y=3.

把y=3代入②，得x=l—5X3=-14.

x=—14，

所以方程组的解为J

y=3.

(2)由②，得x=13-4y.③

把③代入①.得2(13—4y)+3y=16.解得y=2.

把y=2代入③，得x=13—4X2=5.

所以方程组的解为x-5'

[y=2.

2.游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽.如果每

位男孩看到的蓝色游泳帽是红色游泳帽的两倍•，而每位女孩看到的蓝色游泳帽

比红色游泳帽多12顶，你知道男孩与女孩各有多少人吗？

解：设游泳池里男孩有x人，女孩有y人，根据题意，得

fx—1=2y，[x=21，

解得《

(x—(y—1)=12♦ty=10.

答：游泳池里男孩有21人，女孩有10人.

师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.

【课堂检测】

X-2y=75

1.用代入法解方程组时，代入正确的是(C)

y=1-x

A.x-2-x=7B.x-2-2x=7

C.x-2+2x=71).x-2+x=7

2s+t=l»①

2.用代入法解方程组[「＜不下面四个选项中正确的是(C)

A.由②，得再代入①

□

只—

B.由②.得s=—,再代入①

C.由①，得t=l-2s,再代入②

D.由①，得s-,再代入②

通过设置课堂检测，

3.用代入法解方程组：

促进学生进一步巩

活动囚：y=2x—3，①[2x—y=55①

(1"(2)