专题44 中考解答题最常考题型解直角三角形的应用（解析版）

专题44中考解答题最常考题型解直角三角形的应用（解析版）

模块一2022中考真题集训

类型一坡度坡角问题

1．（2022•菏泽）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至

30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结

果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）

3≈

思路引领：在△ABC中求出BC以及AC的长度，再求出CD，最后BD＝CD﹣BC即可求解．

解：由题意得，在△ABC中，

∵∠ABC＝37°，AB＝8米，

∴AC＝AB•sin37°＝4.8（米），

BC＝AB•cos37°＝6.4（米），

在Rt△ACD中，CD8.304（米），

𝐴

则BD＝CD﹣BC＝8.=30�4�﹣�360.4°≈≈1.9（米）．

答：改动后电梯水平宽度增加部分BD的长为1.9米．

总结提升：本题考查了坡度和坡角的知识，解题的关键是根据题意构造直角三角形，利用三角函数的知

识求解．

2．（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库

大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新

起点A与原起点B之间的距离．3

（参考数据：1.41，1.73．结果精确到0.1m）

2≈3≈

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思路引领：在Rt△BCD中，根据BC的坡度为i1＝1：1，可求出BD的长，再在Rt△ACD中，根据AC

的坡度为i2＝1：，可求出AD的长，然后利用AB＝AD﹣BD，进行计算即可解答．

解：在Rt△BCD中3，

∵BC的坡度为i1＝1：1，

∴1，

��

=

∴�C�D＝BD＝20米，

在Rt△ACD中，

∵AC的坡度为i2＝1：，

∴，3

��1

=

∴�A�D3CD＝20（米），

∴AB＝=AD3﹣BD＝20320≈14.6（米），

∴背水坡新起点A与原3起−点B之间的距离约为14.6米．

总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡度是解题的关键．

3．（2022•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进

行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便

通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．

（1）求该斜坡的高度BD；

（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）

思路引领：（1）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；

（2）在△ACD中，根据∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，求出AC＝AB，从而得出AC的长．

解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，

∴BDBA＝10（m），

1

答：该=斜2坡的高度BD为10m；

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（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，

∴∠CBA＝15°，

∴AB＝AC＝20（m），

答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m．

总结提升：本题主要考查坡度坡角的定义及解直角三角形，得到AB＝AC是解题的关键．

4．（2022•台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角为75°，梯子

AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，αcos75°≈0.26，

tan75°≈3.73）

思路引领：在Rt△ABC中，AB＝3m，sin∠BAC＝sin75°0.97，解方程即可．

𝐴𝐴

解：在Rt△ABC中，AB＝3m，∠BAC＝75°，=��=3≈

sin∠BAC＝sin75°0.97，

𝐴𝐴

解得BC≈2.9．=��=3≈

答：梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．

总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的

关键．

5．（2022•株洲）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再

从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图（Ⅱ）所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠

ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN千米．

（1）求∠ACB的度数；=2

（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路

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程．

思路引领：（1）根据坡度的概念求出∠BCN＝45°，根据平角的概念计算即可；

（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，进而得到答案．

解：（1）∵山坡②的坡度i＝1：1，

∴CN＝BN，

∴∠BCN＝45°，

∴∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°；

（2）在Rt△ACM中，∠AMC＝90°，∠ACM＝30°，AM＝0.6千米，

∴AC＝2AM＝1.2千米，

在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，CN千米，

=2

则BC2（千米），

��

∴该登=山𝑐运�∠动�爱��好=者走过的路程为：1.2+2＝3.2（千米），

答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米．

总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的

定义是解题的关键．

类型二俯角仰角问题

6．（2022•凉山州）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖

恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场

进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两

点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．

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思路引领：根据锐角三角函数和勾股定理，可以分别求得AD、CD和BC长，然后将它们相加，即可得

到压折前该输电铁塔的高度．

解：由已知可得，

BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，

∴∠E＝∠DBA＝30°，

∴AD＝8米，

∴BD8（米），

2222

∵∠C=BD�＝�45−°�，�∠=CDB1＝69−0°8，=3

∴∠C＝∠CBD＝45°，

∴CD＝BD＝8米，

3

∴BC8（米），

2222

∴AC+=CB�＝�AD++�C�D+=CB＝(8（83+)8+(883)）=米，6

答：压折前该输电铁塔的高度是（38++868）米．

3+6

总结提升：本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，求出AD、CD

和BC长．

7．（2022•陕西）端午假期，小明和小昊与家人到一山庄度假．闲暇时，他们想利用所学数学知识测量所住

楼前小河的宽．如图所示，他们先在六层房间窗台点F处，测得河岸点A处的俯角∠1的度数，然后来

到四层房间窗台点E处，测得河对岸点B处的俯角∠2的度数（AB与河岸垂直），并且发现∠1与∠2正

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好互余．其中O，E，F三点在同一直线上，O，A，B三点在同一直线上，OF⊥OA．已知OE＝15米，

OF＝21.6米，OA＝16米，求河宽AB．

思路引领：根据∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝90°，可得∠FAO+∠EBO＝90°，又OF⊥OA，

即得∠EBO＝∠AFO，故△EBO∽△AFO，有，求出OB＝20.25，从而可得河宽AB为4.25米．

15��

=

解：∵∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝1690°2，1.6

∴∠FAO+∠EBO＝90°，

∵OF⊥OA，

∴∠O＝90°，

∴∠FAO+∠AFO＝90°，

∴∠EBO＝∠AFO，

∵∠O＝∠O，

∴△EBO∽△AFO，

∴，

𝑂��

=

∵�O�E＝1�5�米，OF＝21.6米，OA＝16米，

∴，

15��

=

解得16OB2＝1.260.25，

∴AB＝OB﹣OA＝20.25﹣16＝4.25（米），

答：河宽AB为4.25米．

总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣俯角问题，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是读

懂题意，证明△EBO∽△AFO．

8．（2022•钢城区）如图，某数学研究小组测量山体AC的高度，在点B处测得山体A的仰角为45°，沿

BC方向前行20m至点D处，斜坡DE的坡度为1：2，在观景台E处测得山顶A的仰角为58°，且点E

到水平地面BC的垂直距离EF为10m．点B，D，C在一条直线上，AB，AE，AC在同一竖直平面内．

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（1）求斜坡DE的水平宽度DF的长；

（2）求山体AC的高度．（结果精确到1m．参考数据sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，

）2≈

1.41

思路引领：（1）由斜坡DE的坡度，EF＝10即可得出答案；

��1

（）作⊥，知四边形为矩=形，设＝＝，在△中，＝°≈

2EHACEFCH��2EHCFxmRtAEHAHEH⋅tan581.60x

（m），继而知AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，在Rt△ABC中，根据AC

＝BC得1.60x+10＝40+x，解之求出x的值，进一步求解可得答案．

解：（1）∵斜坡DE的坡度，EF＝10m，

��1

=

∴，��2

101

=

∴�D�F＝220．即斜坡DE的水平宽度DF长为20米．

（2）过点E作EH⊥AC于点H，则四边形EFCH为矩形，

∴HC＝EF＝10m，CF＝EH，

设EH＝CF＝xm，

在Rt△AEH中，AH＝EH•tan∠AEH＝EH•tan58°≈1.60x（m），

∴AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，

在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，

∴AC＝BC，即1.60x+10＝40+x，

解得x＝50，

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∴AH＝1.60x＝1.60×50＝80（m），

∴AC＝AH+HC＝80+10＝90（m）．即山体AC的高度为90米．

总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角

形是解答此题的关键．

9．（2022•内蒙古）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建

筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡

坡度i＝3：4，即tan，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．

3

（结果精确到0.1m，θ参=考4数据：1.732）

3≈

思路引领：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在

Rt△DEC中，根据已知可设DE＝3x米，则CE＝4x米，然后利用勾股定理进行计算可求出DE，CE的

长，再设BF＝y米，从而可得AB＝（12+y）米，最后在Rt△DBF中，利用锐角三角函数的定义求出DF

的长，从而求出AC的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即

可解答．

解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，

则DE＝AF，DF＝AE，

在Rt△DEC中，tan，

��3

θ=��=4

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设DE＝3x米，则CE＝4x米，

∵DE2+CE2＝DC2，

∴（3x）2+（4x）2＝400，

∴x＝4或x＝﹣4（舍去），

∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，

设BF＝y米，

∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，

在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，

∴DFy（米），

𝑂�

=𝑡�30°=3=3

∴AE＝DFy米3，

∴AC＝AE﹣=CE3＝（y﹣16）米，

在Rt△ABC中，∠AC3B＝60°，

∴tan60°，

��12+�

===3

解得：y＝6+�8�，3�−16

经检验：y＝6+83是原方程的根，

∴AB＝BF+AF＝138+831.9（米），

∴建筑物的高度AB约为3≈31.9米．

总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结

合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

10．（2022•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民

楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为，cos．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为

4

60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，αB，Cα，=D5在同一平面内）．

（1）求C，D两点的高度差；

（2）求居民楼的高度AB．

（结果精确到1m，参考数据：1.7）

3≈

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思路引领：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，在Rt△DCE中，可得

4

（m），再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．��=��⋅𝑐𝑜=15×5=

12

（2）过点D作DF⊥AB于F，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan30°，解得DFx，

𝑂�3

====3

在Rt△ABC中，AB＝（x+9）m，BC＝（x﹣12）m，tan60°����3，求出x的值，即

���+9

3===3

可得出答案．𝐴3�−12

解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，

∵在Rt△DCE中，cos，CD＝15m，

4

α=

∴5（m）．

4

��=��⋅𝑐𝑜=15×=12

∴5（m）．

2222

答：��C=，D�两�点−的�高�度=差为159m−．12=9

（2）过点D作DF⊥AB于F，

由题意可得BF＝DE，DF＝BE，

设AF＝xm，

在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°，

𝑂�3

解得DFx，=��=��=3

在Rt△A=BC3中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，

3

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tan60°，

���+9

===3

解得𝐴3，�−12

9

�=63+

经检验，2是原方程的解且符合题意，

9

�=63+

∴AB9≈224（m）．

9

答：居=民6楼3的+高2+度AB约为24m．

总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定

义是解答本题的关键．

11．（2022•襄阳）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革

命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小

组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C

的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：

sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）

思路引领：在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，则BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC

＝tan61°1.80，解得CD≈18，由BC＝BD+CD可得出答案．

����

解：由题意=得𝐶，=∠1B0AD≈＝45°，∠DAC＝61°，

在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，

∴BD＝AD＝10m，

在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，

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tan61°1.80，

����

解得CD=≈�1�8，=10≈

∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．

∴烈士塔的高度约为28m．

总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的

关键．

12．（2022•朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C

处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端

A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的

距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：1.7）

3≈

思路引领：延长DF交AB于点G，根据题意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，

然后设AG＝xm，在Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，从而求出DG的长，再在Rt

△ADG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．

解：延长DF交AB于点G，

由题意得：

DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，

设AG＝xm，

在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，

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∴FGx（m），

𝐴

∴DG=＝�D�F�+45F°G=＝（x+8）m，

在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，

∴tan30°，

𝐴�3

∴x＝4=4�，�=�+8=3

经检验：3x+＝44是原方程的根，

∴AB＝AG+BG≈3+12（m），

∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．

总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当

的辅助线是解题的关键．

13．（2022•鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航

天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F

到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端

G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），

在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），

请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，

cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

思路引领：设AC与GE相交于点H，根据题意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG

＝90°，然后设CH＝x米，则AH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，利用锐角三角函数的定义求出FH的

长，从而求出GH的长，最后再在Rt△AHG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算

即可解答．

解：设AC与GE相交于点H，

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由题意得：

AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，

设CH＝x米，

∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，

在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，

∴FH＝CH•tan45°＝x（米），

∵GF＝8米，

∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，

在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，

∴tan37°0.75，

���+8

解得：x＝=4，𝐺=12+�≈

经检验：x＝4是原方程的根，

∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），

∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．

总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关

键．

14．（2022•安顺）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络

全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在

坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为

30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数

据：sin53°，cos53°，tan53°）

434

（1）求坡面≈C5B的坡度；≈5≈3

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（2）求基站塔AB的高．

思路引领：（1）过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．由勾股

定理可求出答案；

（2）设DF＝4a米，则ME＝4a米，BF＝3a米，由于△ACN是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADF

中由锐角三角函数可列方程求出DF，进而求出AB．

解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．

由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．

在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，

∴CM＝40米，

∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；

（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，

∵∠ACN＝45°，

∴∠CAN＝∠ACN＝45°，

∴AN＝CN＝（40+4a）米，

∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．

在Rt△ADF中，

∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，

∴tan∠ADF，

𝑂

=��

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∴，

410+4�

=

∴解3得a4�，

15

∴AF＝10=+42a＝10+30＝40（米），

∵BF＝3a米，

45

=

∴AB＝AF﹣B2F＝40（米）．

4535

−2=2

答：基站塔AB的高为米．

35

总结提升：本题考查解2直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的

意义进行计算是常用的方法．

15．（2022•大连）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运

行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，

测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．

（1）索道车从A处运行到B处的距离约为300米；

（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）

3≈

思路引领：（1）根据路程＝速度×时间，进行计算即可解答；

（2）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函

数的定义求出CD的长，进行计算即可解答．

解：（1）由题意得：

5分钟＝300秒，

∴1×300＝300（米），

∴索道车从A处运行到B处的距离约为300米，

故答案为：300；

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（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，

∴BDAB＝150（米），

1

AD=2BD＝150（米），

在R=t△3ACD中，∠3CAD＝37°，

∴CD＝AD•tan37°≈1500.75≈194.6（米），

∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣1350×≈45（米），

∴白塔BC的高度约为45米．

总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关

键．

类型三方向角问题

16．（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，

他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，

此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在3同一平面内）

（1）求点D与点A的距离；

（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）

思路引领：（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；

（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．

解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

在Rt△ADC中，

∴（米），

答：𝐶点=D�与�×点�A��的∠�距�离�为=1300米3．×𝑡�60°=1003×3=300

（2）过点D作DE⊥AB于点E，

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∵AB是东西走向，

∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，

在Rt△ADE中，

∴（米），

2

在�R�t△=B�D�E=中�，�×𝑠�∠𝐶�=300×𝑠�45°=300×2=1502

∴（米），

∴𝑂=��×𝑡�∠𝐶�=1502×𝑡（�6米0°）=，1502×3=1506

答：��隧=道𝑂AB+的𝑂长=为(1502+1506)米．

总结提升：本题考查(了15解0直2角+三15角0形6的)应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数

值是解题的关键．

17．（2022•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C

在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，

当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结

果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．

思路引领：过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD

中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．

解：过B作BD⊥AC于D，

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由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，

在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），

∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），

在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），

∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），

答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．

总结提升：本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关

键．

18．（2022•丹东）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是

单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东

53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．

（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈

1.33．）

思路引领：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，根据题意得：EF＝BC＝33.2

海里，AG∥DC，从而可得∠ADC＝53°，然后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，

从而求出AE的长，最后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答．

解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，

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由题意得：

EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，

∴∠GAD＝∠ADC＝53°，

在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40海里，

∴AF＝AB•sin50°≈40×0.77＝30.8（海里），

∴AE＝AF+EF＝64（海里），

在Rt△ADE中，AD80（海里），

𝑂64

∴货船与A港口之间=的�距��5离3°约≈为0.80=海里．

总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键．

19．（2022•辽宁）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到

C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的

距离（结果取整数）．

（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，1.414）

2≈

思路引领：过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据题意得：∠BAC＝50°，∠BCA＝45°，然后在Rt△ABD

中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出CD

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的长，最后进行计算即可解答．

解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，

由题意得：

∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，

在Rt△ABD中，AB＝100海里，

∴AD＝AB•cos50°≈100×0.643＝64.3（海里），

BD＝AB•sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），

在Rt△BDC中，CD76.6（海里），

𝐶

∴AC＝AD+CD＝64.3=+�7�6�.64≈5°1=41（海里），

∴此时货轮与A港口的距离约为141海里．

总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键．

20．（2022•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东

60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km

内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：1.414，1.732）

2≈3≈

思路引领：过点C作CD垂直AB，利用特殊角的三角函数值求得CD的长度，从而根据无理数的估算作

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出判断．

解：安全，理由如下：

过点C作CD垂直AB，

由题意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km，

在Rt△CBD中，设CD＝BD＝xkm，则AD＝（x+30）km，

在Rt△ACD中，tan30°，

��

=

∴，𝐶

��3

=

∴𝐶3，

�3

=

解得�+：30x＝15315≈40.98＞40，

所以，这艘轮船3+继续向正东方向航行是安全的．

总结提升：本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线构建直角三角形，熟记特殊角的三角函数值

是解题关键．

类型四解直角三角形问题

21．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处

于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，

AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．

（1）求A、C两点之间的距离；

（2）求OD长．

（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2.24）

5≈

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思路引领：（1）过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和

BE，即可得出AC的长；

（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．

解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，

在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，

∵sin∠ABE，cos∠ABE，

𝑂𝑂

=��=��

∴0.60，0.80，

𝑂𝑂

==

∴A5E＝3m，BE5＝4m，

∴CE＝6m，

在Rt△ACE中，由勾股定理AC36.7m．

22

（2）过点A作AF⊥CD，垂足为=F，3+6=5≈

∴FD＝AO＝1m，

∴CF＝5m，

在Rt△ACF中，由勾股定理AF2m．

∴OD＝24.5m．=45−25=5

总结提升：5本≈题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题

的关键．

22．（2022•青海）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐

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形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型

的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的

面积．（结果保留整数，参考数据：1.414，1.732）

2≈3≈

思路引领：通过作垂线，构造矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质，

可求出BE、CE、DF、AF，进而求出AB，利用梯形面积的计算公式进行计算即可．

解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E，

∵AB∥CD，

∴四边形AECF是矩形，

∵∠BCD＝60°，

∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，

在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，

∴BEBC＝4，CEBC＝4，

13

∵∠A=D2C＝135°，=23

∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，

∴△ADF是等腰直角三角形，

∴DF＝AF＝CE＝4，

由于FC＝AE，即432＝AB+4，

∴AB＝42，3+

3−

∴S梯形ABCD（2+42）×424，

1

答：垂尾模=型2ABCD的3面−积为24．3=

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总结提升：本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造矩形、

直角三角形是解决问题的关键．

23．（2022•通辽）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点后一位，

1.7）．

3≈

思路引领：在Rt△BDE中求出ED，再在Rt△ACM中求出AM，最后根据线段的和差关系进行计算即可．

解：如图，过点C、D分别作BE的平行线交BA的延长线于点M、N，

在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣45°＝45°，

∴DE＝BE＝14m，

在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14m，

∴AMCM＝14（m），

∴AB＝=BM3﹣AM3

＝CE﹣AM

＝20+14﹣14

≈10.2（m），3

答：AB的长约为10.2m．

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总结提升：本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三

角形是解决问题的关键．

24．（2022•张家界）阅读下列材料：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：．

��

=

证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：𝑠��𝑠��

在Rt△BCD中，CD＝asinB

在Rt△ACD中，CD＝bsinA

∴asinB＝bsinA

∴

��

=

根据𝑠�上�面的𝑠材��料解决下列问题：

（1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：；

��

=

（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，𝑠�规�划中𝑠的𝐴一片三角形区

域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：

sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）

思路引领：（1）根据题目提供的方法进行证明即可；

（2）根据（1）的结论，直接进行计算即可．

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（1）证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，

在Rt△ABD中，AD＝csinB，

在Rt△ACD中，AD＝bsinC，

∴csinB＝bsinC，

∴；

��

=

（�2�）��解：�如��图�3，过点A作AE⊥BC于点E，

∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，

∴∠C＝60°，

在Rt△ACE中，AE＝AC•sin60°＝8040（m），

3

×=3

又∵，2

𝐴