专题03 分式及其运算（4大考点）（原卷版）

第一部分数与式

专题03分式及其运算

核心考点一分式的概念

核心考点二分式的基本性质

核心考点

核心考点三分式的运算

核心考点四分式的化简求值

新题速递

核心考点一分式的概念

21221x1

例1（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）

5x243xx2

A．2个B．3个C．4个D．5个

1

例2（2022·内蒙古包头·中考真题）若代数式x1在实数范围内有意义，则x的取值范围是

x

___________．

2a26a9

例3（2022·湖北黄石·中考真题）先化简，再求值：1，从-3，-1，2中选择合适的a

a1a1

的值代入求值．

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知识点：分式的概念

一般地,如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母,那么式子A叫做分式，其中A叫做分式

B

的分子，B叫做分式的分母。

注意

A

（1）分式有意义的条件:分母不为零，即B01.分式可以表示两个整式相除，其中分子为

B被除式，分母为除式，分数线起除号和括号

的作用。

（2）分式值为零：分子为零，且分母不为零。即A

B2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含

（A0且B0）字母，但分母中必须含有字母，这是区别分

式和整式的重要依据。

3.在任何情况下，分式的分母的值都不为0，

否则分式无意义。

xx2－1

【变式1】（2022·河北石家庄·一模）关于代数式M=1－，下列说法正确的是（）

x＋1x2＋2x＋1

1

A．当x=1时，M的值为0B．当x=﹣1时，M的值为﹣

2

C．当M=1时，x的值为0D．当M=﹣1时，x的值为0

2

【变式2】（2022·广东珠海·模拟预测）若a（m为正整数），且a、b互为相反数，b、c互为倒

1(1)m

数，则abbm(bc)2m的值为（）

A．0B．1C．2D．0或2

【变式3】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式3x36x2y3xy2分解因式，结果正确的是___________；

x12

若分式的值为零，则x的值为___________；若代数式x26xb可化为xa1，则ba的值是

x1

___________．

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【变式4】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式3x36x2y3xy2分解因式，结果正确的是___________；

x12

若分式的值为零，则x的值为___________；若代数式x26xb可化为xa1，则ba的值是

x1

___________．

【变式5】（2022·广东佛山·二模）平面直角坐标系中有两个一次函数y1，y2，其中y1的图象与x轴交点的

横坐标为2且经过点1,2，y2mx2．

(1)求函数y1的关系式；

1122

(2)当y2的图象经过两点,n和n,1时，求的值；

22nm

(3)当x1时，对于x的每一个值，都有y1y2，求m的取值范围．

核心考点二分式的基本性质

例1（2020·河北·中考真题）若a¹b，则下列分式化简正确的是（）

1

a

a2aa2aa2aa

A．B．C．D．2

21

b2bb2bbbbb

2

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2x8

例2（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式与的最简公分母是_______，方程

x2x22x

2x8

1的解是____________．

x2x22x

x34x2

例3（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．

x2

知识点：分式的基本性质

分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

AACAAC

,（C0），其中A、B、C是整式。利用分式的基本性质可以进行约分、

BBCBBC

通分。

根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的约去，叫做分式的约分，约

分通常是把分式化成最简分式或整式。

利用分式的基本性质，把异分母分式化成分式，叫做分式的通分。

符号法则：改变分子、分母及整个分式三者中任意两个的符号，分式的值不变，即

AAAA

BBBB

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a

【变式1】（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）实数ba1．则下列各式中比的值大的是（）

b

2aa2a1a1

A．B．C．D．

2bb2b1b1

2a

【变式2】（2022·河北·一模）如果要使分式的值保持不变，那么分式应（）

a3b

A．a扩大2倍，b扩大3倍B．a，b同时扩大3倍

C．a扩大2倍，b缩小3倍D．a缩小2倍，b缩小3倍

112x3xy2y

【变式3】（2022·湖北襄阳·一模）已知4，则分式的值为______．

yxx2xyy

【变式4】（2021·湖南·一模）已知实数a，b，c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：

11

①若c≠0，则＝1；

ab

②若a＝3，则b＋c＝9；

③若a＝b＝c，则abc＝0；

④若a，b，c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8.

其中正确的是____．(把所有正确结论的序号都选上)

【变式5】（2020·浙江杭州·模拟预测）（1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正

4n2

数________．

n32

x0.2y

（2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数_______．

0.5x0.3y

2x3

（3）若分式的值是整数，求整数x的值．

x1

2

1x

（4）已知x2，求的值．

xx4x21

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核心考点三分式的运算

m2n22m

例1（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式的值是（）

mmn

A．－2B．2C．－4D．4

4a4a2

例2（2022·山东菏泽·中考真题）若a22a150，则代数式a的值是________．

aa2

a10

4a2

例（内蒙古通辽中考真题）先化简，再求值：，请从不等式组的整

32022··a24a5

aa1

3

数解中选择一个合适的数求值．

知识点：分式的运算

1、分式的运算法则

acac

分式乘法分子的积作积的，用分母的积作积的分母

bdbd

acadad

分式除法将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式

bdbcbc

aan

分式乘方分子、分母分别()n

bbn

abab

同分母分式加减分母不变,分子

ccc

acadbcadbc

异分母分式加减先，变为同分母的分式后再相加减。bdbdbdbd

分式的混合运算：

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分式的混合运算，有多项式的，一般先因式分解，能约分的进行约分；有括号的先算括号，

有乘方的先算乘方；先乘除后加减。异分母相加减，先通分，化为同分母，再加减。

a35

例：a2分式化简中的误区

a22aa2

a3a2a25

1.注意分式混合运算顺序

aa2a2a2

a3a292.分式化简不同于解分式方程,化简过程中不能去分

aa2a2母.

a3a2

aa2a3a33.分数线有除号和括号两重作用,同分母分式相加减

1(分子是多项式),分子应整体加括号.

aa3

2mnn2m2n2

【变式1】（2022·云南·开远市教育科学研究所二模）化简m2的正确结果是（）

mmmn

11

A．m－nB．m+nC．D．

mnmn

3a41

【变式2】（2022·河北保定·一模）已知分式：(a)(■)的某一项被污染，但化简的结果等于a2，

a3a2

被污染的项应为（）

a2a3

A．0B．1C．D．

a3a2

4aa2a1

【变式3】（2022·贵州遵义·模拟预测）已知a为2a4范围的整数，则的值

aa22aa24a4

是______．

AB2x6

【变式4】（2022·山东·临清市教育和体育局教科研中心一模）已知，则

x12xx1x2

AB______．

【变式5】（2022·浙江舟山·二模）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能

看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：

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(1)接力中，自己负责的一步出现错误的是

A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁

(2)请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，-2”中选择一个合适的数求值．

核心考点四分式的化简求值

x3xy2

例1（2020·湖北孝感·中考真题）已知x51，y51，那么代数式的值是（）

xxy

A．2B．5C．4D．25

例2（2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN，已知①

和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.AEa,DEb，且ab．

（1）若a，b是整数，则PQ的长是___________；

S四边形ABCD

（2）若代数式a22abb2的值为零，则的值是___________．

S矩形PQMN

22(1)10|6|33

例3（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：

3tan30364(2)2(2)0

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22(1)10|6|33

解：

3tan30364(2)2(2)0

4(1)627

334220

41627

316

2

小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，

并依次标注序号：

10

①224；②(1)1；③66；

____________________________________________________________________________．

请写出正确的计算过程．

21x23x

（2）先化简，再求值：，其中x是方程x22x30的根．

x3xx26x9

知识点：分式化简求值的一般步骤

(1)按运算顺序对所给分式进行化简，化为最简分式或整式；

(2)代入求值(代入求值时要注意使原分式及化简过程中出现的分式均有意义)。

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b2ab

【变式1】（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室模拟预测）若ab2，则代数式a的值为（）

aa

11

A．B．C．2D．－2

22

2abb2b2a2

【变式2】（2022·山东·昌乐县教学研究室一模）如果a3b0，那么代数式a的值是

aa

（）

1111

A．B．C．D．

4242

aba3ab

【变式3】（2023·福建莆田·二模）已知非零实数a，b满足b，则的值等于__________．

2a12ab

【变式4】（2022·湖北黄冈·模拟预测）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三

角”，它具有一定规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，…，分别记为a11，a23，a36，a410，…，

1111

那么的值是______．

a1a2a3a10

【变式5】．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）某同学在解分式的化简求值题时，发现所得

答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程：

2x1

先化简（1），再将x＝5代入求值．

x2xx2x

2x12

解：原式1……第1步

x2xx2xx2x

22

第2步

x1x2x

2x2

第3步

xx1xx1

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2x2

第4步

xx1

2x1

第5步

xx1

2

第6步

x

2

当x＝5时，原式第7步

5

(1)以上步骤中，第步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是；

(2)请你把正确的解答过程写出来；

(3)请你提出一条解答这类题目的建议．

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【新题速递】

x24

1．（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心一模）化简的结果是（）

x22x

12

A．x2B．x-2C．D．

x2x+2

2x1

2．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如果yx3，且xy，那么代数式的值为（）

x2y2yx

11

A．B．C．3D．3

33

ab

3．（2022·北京昌平·二模）若ab1，则代数式1的值为（）

ba2b2

A．2B．1C．1D．2

x21x1

4．（2022·广东深圳·二模）化简的结果是（）

2xx

2x1

A．x1B．x1C．D．

x12

2xx1

5．（2022·河北·育华中学三模）要比较A与B中的大小（x是正数），知道AB的正负就可以

x12

判断，则下列说法正确的是（）

A．ABB．A＞BC．ABD．A＜B

11

6．（2021·云南普洱·一模）若x＜0，x5，则x的值为（）

xx

A．﹣3B．﹣1C．1D．3

MN5x8

7．（2022·山东济南·一模）若，则M，N的值分别为（）

2x13x26x2x2

1111

A．M2，N3B．M，NC．M3，N2D．M，N

2332

2

8．（2021·河南周口·二模）已知函数y，其中f(a)表示xa时的函数值，则

1x

111

ffff1f2f2020f2021的值为（）

202120202

A．2020B．2021C．4040D．4041

x2xy

9．（2022·贵州黔西·二模）已知，则______.

y3y

3xm

10．（2022·湖北黄石·模拟预测）关于x的方程4的解是负数，则m的取值范围是______．

x3

1aabb

11．（2022·江苏镇江·二模）已知：a与b互为相反数，且ab，则______．

2a2ab1

11a1

12．（2022·北京密云·二模）已知a22a20，则代数式的值为______．

a1a21a22a1

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x22

13．（2022·湖北·广水市教学研究室二模）对于实数x0，规定fx，例如f2，

x1213

1

111111

f2，那么计算fffff(1)f(2)f(3)f(2020)的

1

2132020201920182

2

结果是______．

14．（2022·重庆市育才中学二模）临近端午，某粽子销售商向市场推出白粽、豆沙粽和蛋黄粽三种粽子套餐．推

1

出市场的第一周，白粽套餐的销量等于蛋黄粽套餐的销量，豆沙粽套餐的销量占白粽套餐销量的，三种

9

粽子套餐的销量之和不少于380份，不多于475份．每份蛋黄粽套餐的成本是每份白粽套餐与每份豆沙粽

套餐的成本之和，粽子销售商准备这三种套餐成本一共6132元，且准备的套餐全部售出三种粽子套餐在第

一周推出后，广受大众欢迎，在第一周销量的基础上第二周三种粽子套餐销量都有所增加，其中豆沙粽套

56

餐增加的销量占总增加销量的，豆沙粽套餐的总销量达到三种粽子套餐总量的，此时白粽与豆沙粽总

1231

销量之比为5：2，已知第二周每份白粽套餐的成本不变，白粽套餐每份售价为10元，而每份豆沙粽套餐的

8

成本下降了3元，每份蛋黄粽套餐的成本是第一周的倍，且准备的套餐全部卖完，最后三种粽子套餐的

11

总利润率为20%．则第二周销售时豆沙粽套餐销售额与蛋黄粽套餐的销售额之和为_________元．（三种粽

子套餐的成本和售价均为正整数，售价大于成本）

a22a1a2a2

15．（2022·福建省泉州实验中学三模）先化简后求值，其中a3．

a21a1a

9a23a1

16．（2022·山东·济南育英中学模拟预测）先化简，再求值：，其中a52

a2