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文档简介

第二部分方程(组)与不等式(组)

专题05不等式(组)及不等式的应用

核心考点一不等式的基本性质

核心考点二一元一次不等式(组)的解法

核心考点核心考点三含参不等式(组)问题

核心考点四不等式的实际应用

核心考点五方程与不等式结合的实际应用

新题速递

核心考点一不等式的基本性质

例1(2022·内蒙古包头·中考真题)若mn,则下列不等式中正确的是()

11

A.m2n2B.mnC.nm0D.12m12n

22

11

例2(2022·江苏常州·中考真题)如图,数轴上的点A、B分别表示实数a、b,则______.(填“>”、

ab

“=”或“<”)

3x1

例3(2020·江苏淮安·中考真题)解不等式2x1.

2

解:去分母,得2(2x1)3x1.

……

(1)请完成上述解不等式的余下步骤:

(2)解题回顾:本题“去分母”这一步的变形依据是(填“A”或“B”)

A.不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;

B.不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

第1页共18页.

知识点1:不等式及其基本性质

1、定义:用不等号(>,≥,<,≤或≠)表示不等关系的式子叫做不等式。

2、基本性质

性质1不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方

向不变,即如果ab,那么ac

性质2不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即

ab

如果ab,c0,那么acbc,

cc

性质3不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即

ab

如果ab,c0,那么acbc,

cc

性质4如果ab,那么ba

性质5如果ab,bc,那么ac

112

【变式1】.(2022·安徽·合肥市五十中学西校三模)已知实数a,b,c满足ac2b,.则下列结

acb

论正确的是()

A.若ab0,则cb0B.若ac1,则b1

C.a,b,c不可能同时相等D.若a2,则b28c

【变式2】(2022·江苏南通·一模)若关于x的不等式mx﹣n>0的解集为x<2,则关于x的不等式(m+n)

x>m﹣n的解集是()

A.x<13B.x>13C.x<-13D.x>-13

【变式3】(2022·江苏宿迁·三模)若不等式mx3m,两边同除以m,得x3,则m的取值范围为__________.

2

【变式4】(2022·安徽·模拟预测)已知关于x的不等式(1﹣a)x>2的解集为x<,化简:|1﹣a|﹣a

1a

=_____.

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【变式5】(2022·浙江杭州·一模)已知Mx22x4,Nx24x4,请比较M和N的大小.

以下是小明的解答:

22

∵Mx133,Nx20,

∴MN.

小明的解答过程是否有错误?如果有错误,请写出正确的解答.

核心考点二一元一次不等式(组)的解法

例1(2022·辽宁大连·中考真题)不等式4x3x2的解集是()

A.x2B.x<2C.x2D.x2

例2(2022·北京·中考真题)若x8在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是___________.

3x12x2,①

例3(2022·山东菏泽·中考真题)解不等式组x3x2并将其解集在数轴上表示出来.

1,②

32

第3页共18页.

知识点:一元一次不等式及其解法

含有一个未知数,未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等

式叫做一元一次不等式。

定义一般地,能够使不等式成立的未知数的值,叫做这个不等式的解,所

有这些解的全体称为这个不等式的解集。

求不等式解集的过程叫做解不等式。

一般步骤:去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。

解法步

一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法类似,不同的是当不等

式的两边都乘以或除以同一个负数时,不等号方向要改变。

xa

解集在xa“两定”

数轴上定边界

表示xa定方向

xa

2x13x2

例题:解不等式1,并在数轴上表示解集。

34

解:42x133x212

8x49x612

8x9x6124

x2

x2

解集在数轴上表示为

知识点:一元一次不等式组及其解法

1、定义

由几个含有同一个未知的一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组。

这几个一元一次不等式解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。

求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组。

2、解法步骤

(1)分别求出每个不等式的解集;

(2)在同一数轴上表示出各个解集,找出所有解集的公共部分;

(3)写出不等式组的解集。

第4页共18页.

3、解集表示(假设ab)

不等式组在数轴上的表示不等式组的解集口诀

xa

xb同大取大

xb

xa

xa同小取小

xb

xa大小小大,

axb

xb中间找.

xa大大小小,

无解

xb找不到.

【变式1】(2022·江苏·建湖县汇杰初级中学三模)若x3是关于x的不等式2xm4的一个整数解,而x2

不是其整数解,则m的取值范围为()

A.0m2B.0m2C.0m2D.0m2

xa0

【变式2】(2021·河南·模拟预测)关于x的不等式组的整数解有4个,则a的取值范围是()

72x1

A.6<a<7B.6<a7C.6a7D.6a<7

2xb

【变式3】(2022·安徽·三模)若关于x的分式方程4的解是非负数,则b的取值范围是______.

x3

2xa1

【变式4】(2020·河南·模拟预测)已知不等式组的解集为﹣1<x<1,则(a+b)(b﹣1)的值为

x4b3

_____.

第5页共18页.

【变式5】(2022·贵州·德江县教育局教研室模拟预测)小明在学习一元二次不等式的解法时发现,可以应

用初中所学知识,“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解.方法如下:

解不等式:x240.

解:∵x24x2x2,

∴原不等式可化为x2x20.

∵两数相乘,同号为正,

x20x20

∴①或②

x20x20

由①得x2,由②得x<2,

∴原不等式的解集为x2或x<2.

请用以上方法解下列不等式:

(1)x290;

x1

(2)0

x1

核心考点三含参不等式(组)问题

例1(2020·甘肃天水·中考真题)若关于x的不等式3xa2只有2个正整数解,则a的取值范围为()

A.7a4B.7a4C.7a4D.7a4

例2(2021·四川眉山·中考真题)若关于x的不等式xm1只有3个正整数解,则m的取值范围是______.

例3(2021·湖北荆州·中考真题)已知:a是不等式5a286a17的最小整数解,请用配方法解

关于x的方程x22axa10.

第6页共18页.

1、给出不等式解的情况,求出参数取值范围

总结:给出不等式组解集的情况,只能确定参数的取值范围。记住大小小大有解,大大小小无解;端点值

格外考虑;

2、给出不等式解集,求参数的值

总结:给出不等式组确切的解集,可以求出参数的值。方法:先解出含参的不等式组中每个不等式的解集,

再利用解集与所求解集之间的对应关系,建立方程;

xa0,

【变式1】(2022·江苏南通·二模)已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解,则整数a

2x30

的最小值为()

A.2B.3C.4D.5

x1x1

【变式2】(2022·重庆八中三模)若数a使关于x的不等式组23有且只有四个整数解,且使关于

5x2ax

ya2a

y的方程2的解为非负数,则符合条件的所有整数之和为()

y11y

A.3B.1C.1D.2

2x1x

【变式3】(2022·山东菏泽·二模)满足不等式组x5的最小整数解是______.

x1

2

xa0,

【变式4】(2022·山东烟台·一模)已知关于x的不等式组至少有两个整数解,且存在以3,a,7

2x17

为边的三角形,则a的整数解有______个.

21xx8

【变式5】(2022·山东聊城·一模)不等式组3x2x1

63

第7页共18页.

(1)解此不等式组;

(2)若m是此不等式组的最大整数解,求1mm2m2021m2022的值.

核心考点四不等式的实际应用

例1(2022·浙江丽水·中考真题)已知电灯电路两端的电压U为220V,通过灯泡的电流强度I(A)的最大

限度不得超过0.11A.设选用灯泡的电阻为R(Ω),下列说法正确的是()

A.R至少2000ΩB.R至多2000ΩC.R至少24.2ΩD.R至多24.2Ω

例2(2022·北京·中考真题)甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹,编号分别为

A,B,C,D,E,每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下:

包裹编号I号产品重量/吨II号产品重量/吨包裹的重量/吨

A516

B325

C235

D437

E358

甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.

(1)如果装运的I号产品不少于9吨,且不多于11吨,写出一种满足条件的装运方案________(写出要装

运包裹的编号);

(2)如果装运的I号产品不少于9吨,且不多于11吨,同时装运的II号产品最多,写出满足条件的装运

方案________(写出要装运包裹的编号).

第8页共18页.

例3(2022·浙江衢州·中考真题)金师傅近期准备换车,看中了价格相同的两款国产车.

(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.

(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.

①分别求出这两款车的每千米行驶费用.

②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元.问:每年行驶里程为多少千米时,买新

能源车的年费用更低?(年费用=年行驶费用+年其它费用)

知识点:一元一次不等式的应用

1、列不等式解应用题的一般步骤

审:审清题意,分清题中的已知量、未知量。

设:设出未知数。

列:根据题目中的不等关系,列出不等式。

解:解不等式。

答:写出符合题意的答案。

2、不等式的实际问题中,常见关键词与不等号的关系

常见关键词符号

大于,多于,超过,高于>

小于,少于,不足,低于<

至少,不低于,不小于,不少于≥

至多,不超过,不高于,不大于≤

第9页共18页.

【变式1】(2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学一模)在某校举行的冬季篮球赛中,选手王娜在第六、第七、

第八、第九场比赛中分别得了23分、14分、11分和20分.她的前九场的平均成绩高于前五场的平均成绩,

如果她的前十场的平均成绩高于18分,那么她的第十场的成绩至少为()

A.27分B.29分C.31分D.33分

【变式2】(2021·浙江绍兴·模拟预测)随看科技的进步,我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况.小

明想乘公交车,可又不想静静地等在A站.他从A站往B站走了一段路,发现他与公交车的距离为720m

(如图),此时有两种选择:

(1)与公交车相向而行,到A公交站去乘车;

(2)与公交车同向而行,到B公交站去乘车.

1

假设小明的速度是公交车速度的,若要保证小明不会错过这辆公交车,则A、B两公交站之间的距离最大

5

为()

A.240mB.300mC.320mD.360m

【变式3】(2022·北京北京·二模)某甜品店会员购买本店甜品可享受八折优惠.“五一”期间该店又推出购物

满200元减20元的“满减”活动.

说明:①“满减”是指购买的甜品标价总额达到或超过200元时减20元.“满减”活动只享受一次;

②会员可按先享“满减”优惠再享八折优惠的方式付款,也可按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款

小红是该店会员.若购买标价总额为220元的甜品,则最少需支付_____________元;

若购买标价总额为x元的甜品,按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算,则x的取值范围是

__________.

【变式4】(2022·黑龙江·肇东市第十一中学校一模)某学校计划为“建党百年,铭记党史”演讲比赛购买奖

第10页共18页.

品.已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元;购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元.学

2

校准备购买A,B两种奖品共20个,且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的,则在购买方案中最少费用

5

是_____元.

【变式5】(2022·广西·博白县龙潭中学模拟预测)小颖在完成一项“社会调查”作业时,需要调查城市送餐员

的收入情况,他了解到劳务公司为了鼓励送餐员的工作积极性,实行“月总收入=基本工资(固定)+送餐

单数奖励”的方法计算薪资,调查中获得如下信息:

送餐员小李小杨

月送餐单数/单292273

月总收入/元33843346

送餐每单奖金为a元,送餐员月基本工资为b元.

(1)列方程组求a、b的值;

(2)若月送餐单数超过300单时,超过部分每单奖金增加1元,假设月送餐单数为x单,月总收入为y元,

请写出y与x之间的函数关系式,并求出送餐员小李计划月总收入不低于5200元时,他每月至少要送餐多

少单?

第11页共18页.

核心考点五方程与不等式结合的实际应用

3xax1

例1(2022·重庆·中考真题)关于x的分式方程1的解为正数,且关于y的不等式组

x33x

y92(y2)

2ya的解集为y≥5,则所有满足条件的整数a的值之和是()

1

3

A.13B.15C.18D.20

例2(2021·黑龙江绥化·中考真题)某学校计划为“建党百年,铭记党史”演讲比赛购买奖品.已知购买2

个A种奖品和4个B种奖品共需100元;购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元.学校准备购买A,B

2

两种奖品共20个,且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的,则在购买方案中最少费用是_____元.

5

例3(2022·内蒙古内蒙古·中考真题)某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品.若购进A种纪念品

10件,B种纪念品5件,需要1000元;若购进A种纪念品5件,B种纪念品3件,需要550元.

(1)求购进A、B两种纪念品的单价;

(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品,考虑市场需求,要求购进A种纪念品的数量不少

于B种纪念品数量的6倍,且购进B种纪念品数量不少于20件,那么该商店共有几种进货方案?

(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元,每件B种纪念品可获利润30元,在第(2)问的各种进货方案中,

哪一种方案获利最大?求出最大利润.

第12页共18页.

方程和不等式是中学数学的重要组成部分,也是函数学习的基础,在各地中考试题中,方程和方程组、不等式和不等式组往往作为填空题、

选择题和解答题出现,重点都是要求学生掌握方程的概念和解法,不等式解集概念和解集在数轴上表示出来。这个版块作为考试的重点,往

往导致很多考生丢分,还有很多考生看见不等式的题目就望而却步。

技巧与方法:

一、能根据实际问题列出不等式组,通过求解不等式而解决实际问题;用转化思想将实际问题中的不等关系抽象出来,用不等式组的知识解

答应用题和方案设计型试题

二、一方面注重不等式组解法和与其它知识点联系的考查,另一方面更注重对其与现实生活的联系,加强对解决简单实际问题的数学考查

重难点:利用不等式、方程解决实际问题中,在解题过程中审题要细致,题中所求的未知量的特定意义要全部挖掘出来,增设辅助未知数,

给我们利用等量、不等量关系带来很大的便利,能起到沟通数量关系,架起连接已知量和未知量的桥梁作用。

【变式1】(2020·安徽·合肥38中二模)对于实数x,我们规定x表示不大于x的最大整数,例如1.21,

x4

33,2.53,若5,则x的取值可以是()

10

A.56B.51C.45D.40

【变式2】(2022·黑龙江·齐齐哈尔市富拉尔基区教师进修学校二模)某校组织10名党员教师和38名优秀

学生团干部去某地参观学习.学校准备租用汽车,学校可选择的车辆(除司机外)分别可以乘坐4人或6

人,为了安全每辆车上至少有1名教师,且没有空座,那么可以选择的方案有()

A.2种B.3种C.4种D.5种

【变式3】(2022·重庆·模拟预测)我国过年历史悠久,在传承发展中已形成了一些较为固定的习俗,有许

多还相传至今,如买年货、扫尘、贴对联、吃年夜饭、守岁、拜岁、拜年、舞龙舞狮、拜神祭祖、祈福攘

灾、游神、押舟、庙会、游锣鼓、游标旗、上灯酒、赏花灯等.某商店新进一批“福”字贴画和数对灯笼(灯

1

笼一对为2件),共超过250件但不超过300件,灯笼的对数正好是“福”字贴画数量的,每张“福”字贴画

5

第13页共18页.

3

进价是4元,每对灯笼的进价是50元(灯笼成对出售),商店将“福”字贴画以高出进价的售出,将灯笼每

4

对按高出进价的40%售出,最后留下了35件物品未卖出,并把这批物品免费送给了自己的亲戚朋友,最后

商店经过计算总利润率为20%,则最初购进灯笼___________对.

【变式4】(2021·重庆市开州区文峰初级中学一模)为响应教育部《大中小学劳动教育指导纲要》,充分发

挥劳动育人的功能,北关中学启动甜甜圈农场计划,每个班级分配一块专属农场用地,学生通过种植各种

花卉、农作物,亲历实际的劳动过程.家委会配合统一采购所需种子,包括花卉风信子、雏菊,蔬菜土豆、

菠菜,供各个班级自行选择品种.经过市场调查发现,雏菊和菠菜每袋种子单价一样,每种植物单价均为

整数,若购买风信子、雏菊、土豆、菠菜各3袋,2袋,4袋,2袋需要104元;若分别购买3袋,5袋,8

袋,4袋共需180元;现为节约经费,家委会与商家商讨打折购买事宜,经商定,风信子打6折,雏菊打9

折,土豆打8折,经过统计学校共需采购风信子和土豆各18袋,雏菊17袋,菠菜20袋,为了使买种子的

总花费不超过500元,菠菜至少打______折.

【变式5】(2020·贵州·仁怀市教育研究室二模)某商场受疫情影响,决定调整进货数量,下表是该商城在

疫情期间购进甲、乙两种品牌服装的进价和售价:已知:用10200元购进甲种品牌服装的数量与用9600元

购进乙种品牌服装的数量相同.

品牌服装价格甲乙

进价(元/件)mm50

售价(元/件)12001000

(1)求m的值;

(2)要使购进的甲、乙两种品牌服装共5件的总利润(利润=售价进价)不少于1435元,则商城最少应购

进多少甲种品牌衣服?

(3)若购进的甲、乙两种品牌服装共20件,且规定甲种品牌服装数量不超过乙种品牌服装数量的4倍.应怎

样进货才能使商场在销售完这批品牌服装时获利最多?此时利润为多少?

第14页共18页.

【新题速递】

1.(2022·四川泸州·八年级期末)直线ykxb的图象经过点1,0,0,2,则不等式kxb0的解集是

()

A.x<2B.x1C.x2D.x1

2.(2022·北京·测试·编辑教研五七年级阶段练习)已知ab,下列不等式变形不正确的是()

A.a2b2B.3a3bC.2a2bD.2a12b1

x23x6,

3.(2022·四川泸州·七年级期末)若不等式组有两个整数解,则m的取值范围是()

xm.

A.3m4B.3m4C.4m5D.4m5

m3

4.(2022·重庆市万州第二高级中学九年级期中)已知关于x的分式方程1的解为整数,且关

22x2x2

m5y3

于y的不等式组恰好有2个整数解,则符合条件的整数m的和为()

3y22y1

A.15B.12C.8D.5

5.(2022·湖南永州·八年级期末)若关于x的不等式3x+a5只有2个正整数解,则a的取值范围为()

A.4<a<1B.4<a1C.4a<1D.4a1

6.(2022·吉林·长春力旺实验初级中学九年级阶段练习)某校40名同学去工厂进行暑假实践活动,每名同

学每天可以加工甲种零件10个或乙种零件8个,已知每加工一个甲种零件可获利16元,每加工一个乙种

零件可获利24元,若要使车间每天获利不低于7000元,加工乙种零件的同学至少为()

A.18B.19C.20D.21

2x3x3

7.(2021·浙江·宁波市江北区实验中学八年级期中)若关于x的不等式组只有5个整数解,则a

3xa5

的取值范围是_____.

8.(2022·浙江·杭州北苑实验中学模拟预测)某班要奖励学习进步者,班委决定购买A、B、C三档奖品共

20件,预算费用不超过200元,奖品价格如下表所示:

奖品ABC

售价(单位:元/件)20126

若A档奖品购买3件,则B档至多能买____________件.

第15页共18页.

xm0

9.(2021·四川·成都外国语学校八年级期中)若关于x的不等式组的所有整数解的和是15,则m

132x1

的取值范围是___________.

4x2y3a

10.(2022·黑龙江大庆·八年级期中)若关于x,y的二元一次方程组的解满足2xy5,则

3y2x1

a的取值范围是_____.

11.(2021·重庆市大学城第一中学校八年级期中)一个三角形的三边长均为整数.已知其中两边长为4和7,

2

x3x2

第三边长x是不等式组3的正整数解.则第三边的长为___________.

5x162x13

12.(2022·北京·首都师范大学附属中学八年级期中)将五个1,五个2,五个3,五个4,五个5共25个数

填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2.每次填满

表后,考察每行中五个数之和,记这五个和的最小值为m.

(1)下表所示为符合题意的一种填表方式,则此表的m值等于______;

42244

54533

21311

55354

13212

(2)在所有的填表可能中,m的最大值为_______.

4x2(x1)4

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