专题05 不等式（组）及不等式的应用（5大考点）（原卷版）

第二部分方程（组）与不等式（组）

专题05不等式（组）及不等式的应用

核心考点一不等式的基本性质

核心考点二一元一次不等式（组）的解法

核心考点核心考点三含参不等式（组）问题

核心考点四不等式的实际应用

核心考点五方程与不等式结合的实际应用

新题速递

核心考点一不等式的基本性质

例1（2022·内蒙古包头·中考真题）若mn，则下列不等式中正确的是（）

11

A．m2n2B．mnC．nm0D．12m12n

22

11

例2（2022·江苏常州·中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则______．（填“>”、

ab

“=”或“<”）

3x1

例3（2020·江苏淮安·中考真题）解不等式2x1．

2

解：去分母，得2(2x1)3x1．

……

（1）请完成上述解不等式的余下步骤：

（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是（填“A”或“B”）

A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

第1页共18页.

知识点1：不等式及其基本性质

1、定义：用不等号（>,≥,<,≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式。

2、基本性质

性质1不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方

向不变，即如果ab，那么ac

性质2不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即

ab

如果ab，c0，那么acbc，

cc

性质3不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即

ab

如果ab，c0，那么acbc，

cc

性质4如果ab，那么ba

性质5如果ab，bc，那么ac

112

【变式1】．（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）已知实数a，b，c满足ac2b，．则下列结

acb

论正确的是（）

A．若ab0，则cb0B．若ac1，则b1

C．a，b，c不可能同时相等D．若a2，则b28c

【变式2】（2022·江苏南通·一模）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集为x＜2，则关于x的不等式（m+n）

x＞m﹣n的解集是（）

A．x<13B．x>13C．x<-13D．x>-13

【变式3】（2022·江苏宿迁·三模）若不等式mx3m，两边同除以m，得x3，则m的取值范围为__________．

2

【变式4】（2022·安徽·模拟预测）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，化简：|1﹣a|﹣a

1a

＝_____．

第2页共18页.

【变式5】（2022·浙江杭州·一模）已知Mx22x4，Nx24x4，请比较M和N的大小．

以下是小明的解答：

22

∵Mx133，Nx20，

∴MN．

小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答．

核心考点二一元一次不等式（组）的解法

例1（2022·辽宁大连·中考真题）不等式4x3x2的解集是（）

A．x2B．x<2C．x2D．x2

例2（2022·北京·中考真题）若x8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．

3x12x2,①

例3（2022·山东菏泽·中考真题）解不等式组x3x2并将其解集在数轴上表示出来．

1,②

32

第3页共18页.

知识点：一元一次不等式及其解法

含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等

式叫做一元一次不等式。

定义一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解，所

有这些解的全体称为这个不等式的解集。

求不等式解集的过程叫做解不等式。

一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。

解法步

一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法类似，不同的是当不等

骤

式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变。

xa

解集在xa“两定”

数轴上定边界

表示xa定方向

xa

2x13x2

例题：解不等式1，并在数轴上表示解集。

34

解：42x133x212

8x49x612

8x9x6124

x2

x2

解集在数轴上表示为

知识点：一元一次不等式组及其解法

1、定义

由几个含有同一个未知的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

这几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组。

2、解法步骤

（1）分别求出每个不等式的解集；

（2）在同一数轴上表示出各个解集，找出所有解集的公共部分；

（3）写出不等式组的解集。

第4页共18页.

3、解集表示（假设ab）

不等式组在数轴上的表示不等式组的解集口诀

xa

xb同大取大

xb

xa

xa同小取小

xb

xa大小小大，

axb

xb中间找.

xa大大小小，

无解

xb找不到.

【变式1】（2022·江苏·建湖县汇杰初级中学三模）若x3是关于x的不等式2xm4的一个整数解，而x2

不是其整数解，则m的取值范围为（）

A．0m2B．0m2C．0m2D．0m2

xa0

【变式2】（2021·河南·模拟预测）关于x的不等式组的整数解有4个，则a的取值范围是（）

72x1

A．6＜a＜7B．6＜a7C．6a7D．6a＜7

2xb

【变式3】（2022·安徽·三模）若关于x的分式方程4的解是非负数，则b的取值范围是______．

x3

2xa1

【变式4】（2020·河南·模拟预测）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+b）（b﹣1）的值为

x4b3

_____．

第5页共18页.

【变式5】（2022·贵州·德江县教育局教研室模拟预测）小明在学习一元二次不等式的解法时发现，可以应

用初中所学知识，“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解．方法如下：

解不等式：x240．

解：∵x24x2x2，

∴原不等式可化为x2x20．

∵两数相乘，同号为正，

x20x20

∴①或②

x20x20

由①得x2，由②得x<2，

∴原不等式的解集为x2或x<2．

请用以上方法解下列不等式：

(1)x290；

x1

(2)0

x1

核心考点三含参不等式（组）问题

例1（2020·甘肃天水·中考真题）若关于x的不等式3xa2只有2个正整数解，则a的取值范围为()

A．7a4B．7a4C．7a4D．7a4

例2（2021·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式xm1只有3个正整数解，则m的取值范围是______．

例3（2021·湖北荆州·中考真题）已知：a是不等式5a286a17的最小整数解，请用配方法解

关于x的方程x22axa10．

第6页共18页.

1、给出不等式解的情况，求出参数取值范围

总结：给出不等式组解集的情况，只能确定参数的取值范围。记住大小小大有解，大大小小无解；端点值

格外考虑；

2、给出不等式解集，求参数的值

总结：给出不等式组确切的解集，可以求出参数的值。方法：先解出含参的不等式组中每个不等式的解集，

再利用解集与所求解集之间的对应关系，建立方程；

xa0,

【变式1】（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a

2x30

的最小值为（）

A．2B．3C．4D．5

x1x1

【变式2】（2022·重庆八中三模）若数a使关于x的不等式组23有且只有四个整数解，且使关于

5x2ax

ya2a

y的方程2的解为非负数，则符合条件的所有整数之和为（）

y11y

A．3B．1C．1D．2

2x1x

【变式3】（2022·山东菏泽·二模）满足不等式组x5的最小整数解是______．

x1

2

xa0,

【变式4】（2022·山东烟台·一模）已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7

2x17

为边的三角形，则a的整数解有______个．

21xx8

【变式5】（2022·山东聊城·一模）不等式组3x2x1

63

第7页共18页.

(1)解此不等式组；

(2)若m是此不等式组的最大整数解，求1mm2m2021m2022的值．

核心考点四不等式的实际应用

例1（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I(A)的最大

限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R(Ω)，下列说法正确的是（）

A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2Ω

例2（2022·北京·中考真题）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为

A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：

包裹编号I号产品重量/吨II号产品重量/吨包裹的重量/吨

A516

B325

C235

D437

E358

甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．

（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案________（写出要装

运包裹的编号）；

（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运

方案________（写出要装运包裹的编号）．

第8页共18页.

例3（2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．

(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．

(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．

①分别求出这两款车的每千米行驶费用．

②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新

能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）

知识点：一元一次不等式的应用

1、列不等式解应用题的一般步骤

审：审清题意，分清题中的已知量、未知量。

设：设出未知数。

列：根据题目中的不等关系，列出不等式。

解：解不等式。

答：写出符合题意的答案。

2、不等式的实际问题中，常见关键词与不等号的关系

常见关键词符号

大于，多于，超过，高于＞

小于，少于，不足，低于＜

至少，不低于，不小于，不少于≥

至多，不超过，不高于，不大于≤

第9页共18页.

【变式1】（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学一模）在某校举行的冬季篮球赛中，选手王娜在第六、第七、

第八、第九场比赛中分别得了23分、14分、11分和20分．她的前九场的平均成绩高于前五场的平均成绩，

如果她的前十场的平均成绩高于18分，那么她的第十场的成绩至少为（）

A．27分B．29分C．31分D．33分

【变式2】（2021·浙江绍兴·模拟预测）随看科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小

明想乘公交车，可又不想静静地等在A站．他从A站往B站走了一段路，发现他与公交车的距离为720m

（如图），此时有两种选择：

（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；

（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．

1

假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则A、B两公交站之间的距离最大

5

为（）

A．240mB．300mC．320mD．360m

【变式3】（2022·北京北京·二模）某甜品店会员购买本店甜品可享受八折优惠．“五一”期间该店又推出购物

满200元减20元的“满减”活动．

说明：①“满减”是指购买的甜品标价总额达到或超过200元时减20元．“满减”活动只享受一次；

②会员可按先享“满减”优惠再享八折优惠的方式付款，也可按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款

小红是该店会员．若购买标价总额为220元的甜品，则最少需支付_____________元；

若购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算，则x的取值范围是

__________．

【变式4】（2022·黑龙江·肇东市第十一中学校一模）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖

第10页共18页.

品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元．学

2

校准备购买A,B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的，则在购买方案中最少费用

5

是_____元．

【变式5】（2022·广西·博白县龙潭中学模拟预测）小颖在完成一项“社会调查”作业时，需要调查城市送餐员

的收入情况，他了解到劳务公司为了鼓励送餐员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资（固定）＋送餐

单数奖励”的方法计算薪资，调查中获得如下信息：

送餐员小李小杨

月送餐单数/单292273

月总收入/元33843346

送餐每单奖金为a元，送餐员月基本工资为b元．

(1)列方程组求a、b的值；

(2)若月送餐单数超过300单时，超过部分每单奖金增加1元，假设月送餐单数为x单，月总收入为y元，

请写出y与x之间的函数关系式，并求出送餐员小李计划月总收入不低于5200元时，他每月至少要送餐多

少单？

第11页共18页.

核心考点五方程与不等式结合的实际应用

3xax1

例1（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程1的解为正数，且关于y的不等式组

x33x

y92(y2)

2ya的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（）

1

3

A．13B．15C．18D．20

例2（2021·黑龙江绥化·中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2

个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元．学校准备购买A,B

2

两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是_____元．

5

例3（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品

10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．

(1)求购进A、B两种纪念品的单价；

(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少

于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？

(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，

哪一种方案获利最大？求出最大利润．

第12页共18页.

方程和不等式是中学数学的重要组成部分，也是函数学习的基础，在各地中考试题中，方程和方程组、不等式和不等式组往往作为填空题、

选择题和解答题出现，重点都是要求学生掌握方程的概念和解法，不等式解集概念和解集在数轴上表示出来。这个版块作为考试的重点，往

往导致很多考生丢分，还有很多考生看见不等式的题目就望而却步。

技巧与方法：

一、能根据实际问题列出不等式组，通过求解不等式而解决实际问题；用转化思想将实际问题中的不等关系抽象出来，用不等式组的知识解

答应用题和方案设计型试题

二、一方面注重不等式组解法和与其它知识点联系的考查，另一方面更注重对其与现实生活的联系，加强对解决简单实际问题的数学考查

重难点：利用不等式、方程解决实际问题中，在解题过程中审题要细致，题中所求的未知量的特定意义要全部挖掘出来，增设辅助未知数，

给我们利用等量、不等量关系带来很大的便利，能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用。

【变式1】（2020·安徽·合肥38中二模）对于实数x，我们规定x表示不大于x的最大整数，例如1.21，

x4

33，2.53，若5，则x的取值可以是（）

10

A．56B．51C．45D．40

【变式2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市富拉尔基区教师进修学校二模）某校组织10名党员教师和38名优秀

学生团干部去某地参观学习．学校准备租用汽车，学校可选择的车辆（除司机外）分别可以乘坐4人或6

人，为了安全每辆车上至少有1名教师，且没有空座，那么可以选择的方案有（）

A．2种B．3种C．4种D．5种

【变式3】（2022·重庆·模拟预测）我国过年历史悠久，在传承发展中已形成了一些较为固定的习俗，有许

多还相传至今，如买年货、扫尘、贴对联、吃年夜饭、守岁、拜岁、拜年、舞龙舞狮、拜神祭祖、祈福攘

灾、游神、押舟、庙会、游锣鼓、游标旗、上灯酒、赏花灯等．某商店新进一批“福”字贴画和数对灯笼（灯

1

笼一对为2件），共超过250件但不超过300件，灯笼的对数正好是“福”字贴画数量的，每张“福”字贴画

5

第13页共18页.

3

进价是4元，每对灯笼的进价是50元（灯笼成对出售），商店将“福”字贴画以高出进价的售出，将灯笼每

4

对按高出进价的40%售出，最后留下了35件物品未卖出，并把这批物品免费送给了自己的亲戚朋友，最后

商店经过计算总利润率为20%，则最初购进灯笼___________对．

【变式4】（2021·重庆市开州区文峰初级中学一模）为响应教育部《大中小学劳动教育指导纲要》，充分发

挥劳动育人的功能，北关中学启动甜甜圈农场计划，每个班级分配一块专属农场用地，学生通过种植各种

花卉、农作物，亲历实际的劳动过程．家委会配合统一采购所需种子，包括花卉风信子、雏菊，蔬菜土豆、

菠菜，供各个班级自行选择品种．经过市场调查发现，雏菊和菠菜每袋种子单价一样，每种植物单价均为

整数，若购买风信子、雏菊、土豆、菠菜各3袋，2袋，4袋，2袋需要104元；若分别购买3袋，5袋，8

袋，4袋共需180元；现为节约经费，家委会与商家商讨打折购买事宜，经商定，风信子打6折，雏菊打9

折，土豆打8折，经过统计学校共需采购风信子和土豆各18袋，雏菊17袋，菠菜20袋，为了使买种子的

总花费不超过500元，菠菜至少打______折．

【变式5】（2020·贵州·仁怀市教育研究室二模）某商场受疫情影响，决定调整进货数量，下表是该商城在

疫情期间购进甲、乙两种品牌服装的进价和售价：已知：用10200元购进甲种品牌服装的数量与用9600元

购进乙种品牌服装的数量相同．

品牌服装价格甲乙

进价（元/件）mm50

售价（元/件）12001000

(1)求m的值；

(2)要使购进的甲、乙两种品牌服装共5件的总利润（利润=售价进价）不少于1435元，则商城最少应购

进多少甲种品牌衣服？

(3)若购进的甲、乙两种品牌服装共20件，且规定甲种品牌服装数量不超过乙种品牌服装数量的4倍．应怎

样进货才能使商场在销售完这批品牌服装时获利最多？此时利润为多少？

第14页共18页.

【新题速递】

1．（2022·四川泸州·八年级期末）直线ykxb的图象经过点1,0，0,2，则不等式kxb0的解集是

（）

A．x<2B．x1C．x2D．x1

2．（2022·北京·测试·编辑教研五七年级阶段练习）已知ab，下列不等式变形不正确的是（）

A．a2b2B．3a3bC．2a2bD．2a12b1

x23x6,

3．（2022·四川泸州·七年级期末）若不等式组有两个整数解，则m的取值范围是（）

xm.

A．3m4B．3m4C．4m5D．4m5

m3

4．（2022·重庆市万州第二高级中学九年级期中）已知关于x的分式方程1的解为整数，且关

22x2x2

m5y3

于y的不等式组恰好有2个整数解，则符合条件的整数m的和为（）

3y22y1

A．15B．12C．8D．5

5．（2022·湖南永州·八年级期末）若关于x的不等式3x＋a5只有2个正整数解，则a的取值范围为（）

A．4＜a＜1B．4＜a1C．4a＜1D．4a1

6．（2022·吉林·长春力旺实验初级中学九年级阶段练习）某校40名同学去工厂进行暑假实践活动，每名同

学每天可以加工甲种零件10个或乙种零件8个，已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种

零件可获利24元，若要使车间每天获利不低于7000元，加工乙种零件的同学至少为（）

A．18B．19C．20D．21

2x3x3

7．（2021·浙江·宁波市江北区实验中学八年级期中）若关于x的不等式组只有5个整数解，则a

3xa5

的取值范围是_____．

8．（2022·浙江·杭州北苑实验中学模拟预测）某班要奖励学习进步者，班委决定购买A、B、C三档奖品共

20件，预算费用不超过200元，奖品价格如下表所示：

奖品ABC

售价（单位：元/件）20126

若A档奖品购买3件，则B档至多能买____________件．

第15页共18页.

xm0

9．（2021·四川·成都外国语学校八年级期中）若关于x的不等式组的所有整数解的和是15，则m

132x1

的取值范围是___________．

4x2y3a

10．（2022·黑龙江大庆·八年级期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足2xy5，则

3y2x1

a的取值范围是_____．

11．（2021·重庆市大学城第一中学校八年级期中）一个三角形的三边长均为整数．已知其中两边长为4和7，

2

x3x2

第三边长x是不等式组3的正整数解．则第三边的长为___________．

5x162x13

12．（2022·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数

填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2．每次填满

表后，考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m．

（1）下表所示为符合题意的一种填表方式，则此表的m值等于______；

42244

54533

21311

55354

13212

（2）在所有的填表可能中，m的最大值为_______．

4x2(x1)4