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文档简介
第二部分方程(组)与不等式(组)
专题05不等式(组)及不等式的应用
核心考点一不等式的基本性质
核心考点二一元一次不等式(组)的解法
核心考点核心考点三含参不等式(组)问题
核心考点四不等式的实际应用
核心考点五方程与不等式结合的实际应用
新题速递
核心考点一不等式的基本性质
例1(2022·内蒙古包头·中考真题)若mn,则下列不等式中正确的是()
11
A.m2n2B.mnC.nm0D.12m12n
22
11
例2(2022·江苏常州·中考真题)如图,数轴上的点A、B分别表示实数a、b,则______.(填“>”、
ab
“=”或“<”)
3x1
例3(2020·江苏淮安·中考真题)解不等式2x1.
2
解:去分母,得2(2x1)3x1.
……
(1)请完成上述解不等式的余下步骤:
(2)解题回顾:本题“去分母”这一步的变形依据是(填“A”或“B”)
A.不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
B.不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
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知识点1:不等式及其基本性质
1、定义:用不等号(>,≥,<,≤或≠)表示不等关系的式子叫做不等式。
2、基本性质
性质1不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方
向不变,即如果ab,那么ac
性质2不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即
ab
如果ab,c0,那么acbc,
cc
性质3不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即
ab
如果ab,c0,那么acbc,
cc
性质4如果ab,那么ba
性质5如果ab,bc,那么ac
112
【变式1】.(2022·安徽·合肥市五十中学西校三模)已知实数a,b,c满足ac2b,.则下列结
acb
论正确的是()
A.若ab0,则cb0B.若ac1,则b1
C.a,b,c不可能同时相等D.若a2,则b28c
【变式2】(2022·江苏南通·一模)若关于x的不等式mx﹣n>0的解集为x<2,则关于x的不等式(m+n)
x>m﹣n的解集是()
A.x<13B.x>13C.x<-13D.x>-13
【变式3】(2022·江苏宿迁·三模)若不等式mx3m,两边同除以m,得x3,则m的取值范围为__________.
2
【变式4】(2022·安徽·模拟预测)已知关于x的不等式(1﹣a)x>2的解集为x<,化简:|1﹣a|﹣a
1a
=_____.
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【变式5】(2022·浙江杭州·一模)已知Mx22x4,Nx24x4,请比较M和N的大小.
以下是小明的解答:
22
∵Mx133,Nx20,
∴MN.
小明的解答过程是否有错误?如果有错误,请写出正确的解答.
核心考点二一元一次不等式(组)的解法
例1(2022·辽宁大连·中考真题)不等式4x3x2的解集是()
A.x2B.x<2C.x2D.x2
例2(2022·北京·中考真题)若x8在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是___________.
3x12x2,①
例3(2022·山东菏泽·中考真题)解不等式组x3x2并将其解集在数轴上表示出来.
1,②
32
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知识点:一元一次不等式及其解法
含有一个未知数,未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等
式叫做一元一次不等式。
定义一般地,能够使不等式成立的未知数的值,叫做这个不等式的解,所
有这些解的全体称为这个不等式的解集。
求不等式解集的过程叫做解不等式。
一般步骤:去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。
解法步
一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法类似,不同的是当不等
骤
式的两边都乘以或除以同一个负数时,不等号方向要改变。
xa
解集在xa“两定”
数轴上定边界
表示xa定方向
xa
2x13x2
例题:解不等式1,并在数轴上表示解集。
34
解:42x133x212
8x49x612
8x9x6124
x2
x2
解集在数轴上表示为
知识点:一元一次不等式组及其解法
1、定义
由几个含有同一个未知的一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组。
这几个一元一次不等式解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。
求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组。
2、解法步骤
(1)分别求出每个不等式的解集;
(2)在同一数轴上表示出各个解集,找出所有解集的公共部分;
(3)写出不等式组的解集。
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3、解集表示(假设ab)
不等式组在数轴上的表示不等式组的解集口诀
xa
xb同大取大
xb
xa
xa同小取小
xb
xa大小小大,
axb
xb中间找.
xa大大小小,
无解
xb找不到.
【变式1】(2022·江苏·建湖县汇杰初级中学三模)若x3是关于x的不等式2xm4的一个整数解,而x2
不是其整数解,则m的取值范围为()
A.0m2B.0m2C.0m2D.0m2
xa0
【变式2】(2021·河南·模拟预测)关于x的不等式组的整数解有4个,则a的取值范围是()
72x1
A.6<a<7B.6<a7C.6a7D.6a<7
2xb
【变式3】(2022·安徽·三模)若关于x的分式方程4的解是非负数,则b的取值范围是______.
x3
2xa1
【变式4】(2020·河南·模拟预测)已知不等式组的解集为﹣1<x<1,则(a+b)(b﹣1)的值为
x4b3
_____.
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【变式5】(2022·贵州·德江县教育局教研室模拟预测)小明在学习一元二次不等式的解法时发现,可以应
用初中所学知识,“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解.方法如下:
解不等式:x240.
解:∵x24x2x2,
∴原不等式可化为x2x20.
∵两数相乘,同号为正,
x20x20
∴①或②
x20x20
由①得x2,由②得x<2,
∴原不等式的解集为x2或x<2.
请用以上方法解下列不等式:
(1)x290;
x1
(2)0
x1
核心考点三含参不等式(组)问题
例1(2020·甘肃天水·中考真题)若关于x的不等式3xa2只有2个正整数解,则a的取值范围为()
A.7a4B.7a4C.7a4D.7a4
例2(2021·四川眉山·中考真题)若关于x的不等式xm1只有3个正整数解,则m的取值范围是______.
例3(2021·湖北荆州·中考真题)已知:a是不等式5a286a17的最小整数解,请用配方法解
关于x的方程x22axa10.
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1、给出不等式解的情况,求出参数取值范围
总结:给出不等式组解集的情况,只能确定参数的取值范围。记住大小小大有解,大大小小无解;端点值
格外考虑;
2、给出不等式解集,求参数的值
总结:给出不等式组确切的解集,可以求出参数的值。方法:先解出含参的不等式组中每个不等式的解集,
再利用解集与所求解集之间的对应关系,建立方程;
xa0,
【变式1】(2022·江苏南通·二模)已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解,则整数a
2x30
的最小值为()
A.2B.3C.4D.5
x1x1
【变式2】(2022·重庆八中三模)若数a使关于x的不等式组23有且只有四个整数解,且使关于
5x2ax
ya2a
y的方程2的解为非负数,则符合条件的所有整数之和为()
y11y
A.3B.1C.1D.2
2x1x
【变式3】(2022·山东菏泽·二模)满足不等式组x5的最小整数解是______.
x1
2
xa0,
【变式4】(2022·山东烟台·一模)已知关于x的不等式组至少有两个整数解,且存在以3,a,7
2x17
为边的三角形,则a的整数解有______个.
21xx8
【变式5】(2022·山东聊城·一模)不等式组3x2x1
63
第7页共18页.
(1)解此不等式组;
(2)若m是此不等式组的最大整数解,求1mm2m2021m2022的值.
核心考点四不等式的实际应用
例1(2022·浙江丽水·中考真题)已知电灯电路两端的电压U为220V,通过灯泡的电流强度I(A)的最大
限度不得超过0.11A.设选用灯泡的电阻为R(Ω),下列说法正确的是()
A.R至少2000ΩB.R至多2000ΩC.R至少24.2ΩD.R至多24.2Ω
例2(2022·北京·中考真题)甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹,编号分别为
A,B,C,D,E,每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下:
包裹编号I号产品重量/吨II号产品重量/吨包裹的重量/吨
A516
B325
C235
D437
E358
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.
(1)如果装运的I号产品不少于9吨,且不多于11吨,写出一种满足条件的装运方案________(写出要装
运包裹的编号);
(2)如果装运的I号产品不少于9吨,且不多于11吨,同时装运的II号产品最多,写出满足条件的装运
方案________(写出要装运包裹的编号).
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例3(2022·浙江衢州·中考真题)金师傅近期准备换车,看中了价格相同的两款国产车.
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用.
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元.问:每年行驶里程为多少千米时,买新
能源车的年费用更低?(年费用=年行驶费用+年其它费用)
知识点:一元一次不等式的应用
1、列不等式解应用题的一般步骤
审:审清题意,分清题中的已知量、未知量。
设:设出未知数。
列:根据题目中的不等关系,列出不等式。
解:解不等式。
答:写出符合题意的答案。
2、不等式的实际问题中,常见关键词与不等号的关系
常见关键词符号
大于,多于,超过,高于>
小于,少于,不足,低于<
至少,不低于,不小于,不少于≥
至多,不超过,不高于,不大于≤
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【变式1】(2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学一模)在某校举行的冬季篮球赛中,选手王娜在第六、第七、
第八、第九场比赛中分别得了23分、14分、11分和20分.她的前九场的平均成绩高于前五场的平均成绩,
如果她的前十场的平均成绩高于18分,那么她的第十场的成绩至少为()
A.27分B.29分C.31分D.33分
【变式2】(2021·浙江绍兴·模拟预测)随看科技的进步,我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况.小
明想乘公交车,可又不想静静地等在A站.他从A站往B站走了一段路,发现他与公交车的距离为720m
(如图),此时有两种选择:
(1)与公交车相向而行,到A公交站去乘车;
(2)与公交车同向而行,到B公交站去乘车.
1
假设小明的速度是公交车速度的,若要保证小明不会错过这辆公交车,则A、B两公交站之间的距离最大
5
为()
A.240mB.300mC.320mD.360m
【变式3】(2022·北京北京·二模)某甜品店会员购买本店甜品可享受八折优惠.“五一”期间该店又推出购物
满200元减20元的“满减”活动.
说明:①“满减”是指购买的甜品标价总额达到或超过200元时减20元.“满减”活动只享受一次;
②会员可按先享“满减”优惠再享八折优惠的方式付款,也可按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款
小红是该店会员.若购买标价总额为220元的甜品,则最少需支付_____________元;
若购买标价总额为x元的甜品,按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算,则x的取值范围是
__________.
【变式4】(2022·黑龙江·肇东市第十一中学校一模)某学校计划为“建党百年,铭记党史”演讲比赛购买奖
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品.已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元;购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元.学
2
校准备购买A,B两种奖品共20个,且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的,则在购买方案中最少费用
5
是_____元.
【变式5】(2022·广西·博白县龙潭中学模拟预测)小颖在完成一项“社会调查”作业时,需要调查城市送餐员
的收入情况,他了解到劳务公司为了鼓励送餐员的工作积极性,实行“月总收入=基本工资(固定)+送餐
单数奖励”的方法计算薪资,调查中获得如下信息:
送餐员小李小杨
月送餐单数/单292273
月总收入/元33843346
送餐每单奖金为a元,送餐员月基本工资为b元.
(1)列方程组求a、b的值;
(2)若月送餐单数超过300单时,超过部分每单奖金增加1元,假设月送餐单数为x单,月总收入为y元,
请写出y与x之间的函数关系式,并求出送餐员小李计划月总收入不低于5200元时,他每月至少要送餐多
少单?
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核心考点五方程与不等式结合的实际应用
3xax1
例1(2022·重庆·中考真题)关于x的分式方程1的解为正数,且关于y的不等式组
x33x
y92(y2)
2ya的解集为y≥5,则所有满足条件的整数a的值之和是()
1
3
A.13B.15C.18D.20
例2(2021·黑龙江绥化·中考真题)某学校计划为“建党百年,铭记党史”演讲比赛购买奖品.已知购买2
个A种奖品和4个B种奖品共需100元;购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元.学校准备购买A,B
2
两种奖品共20个,且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的,则在购买方案中最少费用是_____元.
5
例3(2022·内蒙古内蒙古·中考真题)某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品.若购进A种纪念品
10件,B种纪念品5件,需要1000元;若购进A种纪念品5件,B种纪念品3件,需要550元.
(1)求购进A、B两种纪念品的单价;
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品,考虑市场需求,要求购进A种纪念品的数量不少
于B种纪念品数量的6倍,且购进B种纪念品数量不少于20件,那么该商店共有几种进货方案?
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元,每件B种纪念品可获利润30元,在第(2)问的各种进货方案中,
哪一种方案获利最大?求出最大利润.
第12页共18页.
方程和不等式是中学数学的重要组成部分,也是函数学习的基础,在各地中考试题中,方程和方程组、不等式和不等式组往往作为填空题、
选择题和解答题出现,重点都是要求学生掌握方程的概念和解法,不等式解集概念和解集在数轴上表示出来。这个版块作为考试的重点,往
往导致很多考生丢分,还有很多考生看见不等式的题目就望而却步。
技巧与方法:
一、能根据实际问题列出不等式组,通过求解不等式而解决实际问题;用转化思想将实际问题中的不等关系抽象出来,用不等式组的知识解
答应用题和方案设计型试题
二、一方面注重不等式组解法和与其它知识点联系的考查,另一方面更注重对其与现实生活的联系,加强对解决简单实际问题的数学考查
重难点:利用不等式、方程解决实际问题中,在解题过程中审题要细致,题中所求的未知量的特定意义要全部挖掘出来,增设辅助未知数,
给我们利用等量、不等量关系带来很大的便利,能起到沟通数量关系,架起连接已知量和未知量的桥梁作用。
【变式1】(2020·安徽·合肥38中二模)对于实数x,我们规定x表示不大于x的最大整数,例如1.21,
x4
33,2.53,若5,则x的取值可以是()
10
A.56B.51C.45D.40
【变式2】(2022·黑龙江·齐齐哈尔市富拉尔基区教师进修学校二模)某校组织10名党员教师和38名优秀
学生团干部去某地参观学习.学校准备租用汽车,学校可选择的车辆(除司机外)分别可以乘坐4人或6
人,为了安全每辆车上至少有1名教师,且没有空座,那么可以选择的方案有()
A.2种B.3种C.4种D.5种
【变式3】(2022·重庆·模拟预测)我国过年历史悠久,在传承发展中已形成了一些较为固定的习俗,有许
多还相传至今,如买年货、扫尘、贴对联、吃年夜饭、守岁、拜岁、拜年、舞龙舞狮、拜神祭祖、祈福攘
灾、游神、押舟、庙会、游锣鼓、游标旗、上灯酒、赏花灯等.某商店新进一批“福”字贴画和数对灯笼(灯
1
笼一对为2件),共超过250件但不超过300件,灯笼的对数正好是“福”字贴画数量的,每张“福”字贴画
5
第13页共18页.
3
进价是4元,每对灯笼的进价是50元(灯笼成对出售),商店将“福”字贴画以高出进价的售出,将灯笼每
4
对按高出进价的40%售出,最后留下了35件物品未卖出,并把这批物品免费送给了自己的亲戚朋友,最后
商店经过计算总利润率为20%,则最初购进灯笼___________对.
【变式4】(2021·重庆市开州区文峰初级中学一模)为响应教育部《大中小学劳动教育指导纲要》,充分发
挥劳动育人的功能,北关中学启动甜甜圈农场计划,每个班级分配一块专属农场用地,学生通过种植各种
花卉、农作物,亲历实际的劳动过程.家委会配合统一采购所需种子,包括花卉风信子、雏菊,蔬菜土豆、
菠菜,供各个班级自行选择品种.经过市场调查发现,雏菊和菠菜每袋种子单价一样,每种植物单价均为
整数,若购买风信子、雏菊、土豆、菠菜各3袋,2袋,4袋,2袋需要104元;若分别购买3袋,5袋,8
袋,4袋共需180元;现为节约经费,家委会与商家商讨打折购买事宜,经商定,风信子打6折,雏菊打9
折,土豆打8折,经过统计学校共需采购风信子和土豆各18袋,雏菊17袋,菠菜20袋,为了使买种子的
总花费不超过500元,菠菜至少打______折.
【变式5】(2020·贵州·仁怀市教育研究室二模)某商场受疫情影响,决定调整进货数量,下表是该商城在
疫情期间购进甲、乙两种品牌服装的进价和售价:已知:用10200元购进甲种品牌服装的数量与用9600元
购进乙种品牌服装的数量相同.
品牌服装价格甲乙
进价(元/件)mm50
售价(元/件)12001000
(1)求m的值;
(2)要使购进的甲、乙两种品牌服装共5件的总利润(利润=售价进价)不少于1435元,则商城最少应购
进多少甲种品牌衣服?
(3)若购进的甲、乙两种品牌服装共20件,且规定甲种品牌服装数量不超过乙种品牌服装数量的4倍.应怎
样进货才能使商场在销售完这批品牌服装时获利最多?此时利润为多少?
第14页共18页.
【新题速递】
1.(2022·四川泸州·八年级期末)直线ykxb的图象经过点1,0,0,2,则不等式kxb0的解集是
()
A.x<2B.x1C.x2D.x1
2.(2022·北京·测试·编辑教研五七年级阶段练习)已知ab,下列不等式变形不正确的是()
A.a2b2B.3a3bC.2a2bD.2a12b1
x23x6,
3.(2022·四川泸州·七年级期末)若不等式组有两个整数解,则m的取值范围是()
xm.
A.3m4B.3m4C.4m5D.4m5
m3
4.(2022·重庆市万州第二高级中学九年级期中)已知关于x的分式方程1的解为整数,且关
22x2x2
m5y3
于y的不等式组恰好有2个整数解,则符合条件的整数m的和为()
3y22y1
A.15B.12C.8D.5
5.(2022·湖南永州·八年级期末)若关于x的不等式3x+a5只有2个正整数解,则a的取值范围为()
A.4<a<1B.4<a1C.4a<1D.4a1
6.(2022·吉林·长春力旺实验初级中学九年级阶段练习)某校40名同学去工厂进行暑假实践活动,每名同
学每天可以加工甲种零件10个或乙种零件8个,已知每加工一个甲种零件可获利16元,每加工一个乙种
零件可获利24元,若要使车间每天获利不低于7000元,加工乙种零件的同学至少为()
A.18B.19C.20D.21
2x3x3
7.(2021·浙江·宁波市江北区实验中学八年级期中)若关于x的不等式组只有5个整数解,则a
3xa5
的取值范围是_____.
8.(2022·浙江·杭州北苑实验中学模拟预测)某班要奖励学习进步者,班委决定购买A、B、C三档奖品共
20件,预算费用不超过200元,奖品价格如下表所示:
奖品ABC
售价(单位:元/件)20126
若A档奖品购买3件,则B档至多能买____________件.
第15页共18页.
xm0
9.(2021·四川·成都外国语学校八年级期中)若关于x的不等式组的所有整数解的和是15,则m
132x1
的取值范围是___________.
4x2y3a
10.(2022·黑龙江大庆·八年级期中)若关于x,y的二元一次方程组的解满足2xy5,则
3y2x1
a的取值范围是_____.
11.(2021·重庆市大学城第一中学校八年级期中)一个三角形的三边长均为整数.已知其中两边长为4和7,
2
x3x2
第三边长x是不等式组3的正整数解.则第三边的长为___________.
5x162x13
12.(2022·北京·首都师范大学附属中学八年级期中)将五个1,五个2,五个3,五个4,五个5共25个数
填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2.每次填满
表后,考察每行中五个数之和,记这五个和的最小值为m.
(1)下表所示为符合题意的一种填表方式,则此表的m值等于______;
42244
54533
21311
55354
13212
(2)在所有的填表可能中,m的最大值为_______.
4x2(x1)4
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