专题16 锐角三角函数及其应用（5大考点）（原卷版）

第四部分三角形

专题16锐角三角函数及其应用（5大考点）

核心考点一特殊角的三角函数值及其计算

核心考点二由三角函数值求锐角

核心考点核心考点三锐角三角函数的增减性

核心考点四解直角三角形及其应用

核心考点五三角函数的综合

新题速递

核心考点一特殊角的三角函数值及其运算

例1（2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋

转60，使点B落在点B的位置，连接BB，过点D作DE⊥BB，交BB'的延长线于点E，则BE的长为

（）

24

A．31B．232C．3D．3

33

例2．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；sin()sincoscossin，

sin()sincoscossin．例如：当45，30时，

232162

sin4530，则sin15的值为_______．

22224

第1页共23页.

22(1)10|6|33

例3（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：

3tan30364(2)2(2)0

22(1)10|6|33

解：

3tan30364(2)2(2)0

4(1)627

334220

41627

316

2

小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，

并依次标注序号：

10

①224；②(1)1；③66；

____________________________________________________________________________．

请写出正确的计算过程．

21x23x

（2）先化简，再求值：，其中x是方程x22x30的根．

x3xx26x9

知识点：特殊角的三角函数值

1.图表记忆

三角函数图形记忆

30°45°60°

123

sin

222

1

cos32

222

3

tan13

3

2.规律记忆

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30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，2，3；

30°，45°，60°角的余弦值分别是60°，45°，30°角的正弦值。

【变式1】（2022·湖南邵阳·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AB＞BC，以点A为圆心、AB

长为半径的弧BE与DC相交于点E，点E为DC的中点，则由BC、CE和弧BE围成的阴影部分图形的面

积是（）

88

A．63B．83C．633D．833

33

【变式2】（2022·河南洛阳·统考二模）如图1，在ABC中，ABC60，点D是BC边上的中点，点P

从ABC的顶点A出发，沿ABD的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．线段DP的长度

y随时间x变化的关系图象如图2所示，点N是曲线部分的最低点，则ABC的面积为（）

163

A．4B．43C．8D．

3

2

31

【变式3】（2020·四川自贡·校考一模）在ABC中，若sinAcosB0，A，B都是锐角，

22

则ABC是______三角形．

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【变式4】（2022·贵州铜仁·统考二模）如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，

点B(23，2)．D是边BC上一点(不与点B重合)，过点D作DE∥OB交OC于点E．将该纸片沿DE折叠，

得点C的对应点C′．当点C′落在OB上时，点C′的坐标为________．

1

【变式5】．（2021·新疆乌鲁木齐·校考三模）计算：()2tan452cos30|13|(20212021)0.

2

核心考点二由三角函数值求锐角

例1（2021·山东泰安·统考中考真题）如图，在ABC中，AB6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC

相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，CDE18，则GFE的度数是

（）

A．50°B．48°C．45°D．36°

例2．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB1，BC2，以B为圆心，BC的长为

半径画弧，交AD于点E．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留π）

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例3（2021·山东菏泽·统考中考真题）在矩形ABCD中，BC3CD，点E，F分别是边AD、BC上的

动点，且AECF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．

（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PEPF；

（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；

（3）当AB5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．

【变式1】（2022·山东滨州·统考一模）如图，在半径为6的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC

1

上一点，sinD=,则BC的长为（）

2

79

A．63B．43C．3D．3

32

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【变式2】（2022·山东·统考二模）如图，已知在矩形ABCD中，AB1,BC3，点P是AD边上的一个动

点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，

则线段CC1扫过的区域的面积是（）

3333

A．B．C．D．2

42

【变式3】（2021·贵州遵义·统考一模）在综合实践课上，某学习小组要测量塔的高度，在测量过程中，结

合图形进行了操作（如图所示）．在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30°，从C点向塔底B

走80m到达D点，测出塔顶的仰角为45°，那么塔AB的高为____________m（计算结果精确到0.1m，参

考数据：21.41，31.73）．

【变式4】．（2022·吉林长春·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连结AO，过点A作

ABx轴于点B，AB3，OB1，把ABO绕点O逆时针旋转120后，得到A1B1O，则点A1的坐标为

______．

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【变式5】（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30方向，距离小岛20

千米的点A处，它沿着点A的南偏东15的方向航行．

(1)渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？

(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行106千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛

B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少．（结

果精确到1千米，参考数据21.41,31.73,62.45）

核心考点三锐角三角函数的增减性

例1（2020·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1Lcos，阻力臂L2lcos，

如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）

A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定

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例2（2022·陕西西安·交大附中分校校考三模）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，E为AD

上一点，若AC45，OE2，则AB的最大值为__________．

例3（2021·浙江宁波·统考一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC4m．

（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，

求滑梯的高AC；

（2）若规定滑梯的倾斜角（ABC）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符

合安全要求？

1.三角函数值的变化规律

①当角度A在0°—90°间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

②当角度A在0°—90°间变化时，余弦值和余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

【变式1】（2020·甘肃张掖·统考模拟预测）若090，则下列说法不正确的是（）

A．sin随的增大而增大B．cos随的减小而减小C．tan随的增大而增大

D．0<sin<1

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【变式2】．（2022·上海·校考模拟预测）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（）

13

A．0sinAB．0cosA

22

3

C．tanA1D．1cotA3

3

【变式3】（2020·内蒙古·统考二模）在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为_____，

写出sin70º、cos40º、cos50º的大小关系__________．

【变式4】（2022·江苏宿迁·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A0,3，点O平分BC，BC23，

点E、D分别在BA、CA上运动，且AECD，连接CE、BD交于点P，点F23,1，连接PF，则PFC

度数的最大值为__________．

【变式5】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，已知ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），

且点P到BA、BC的距离为PE、PF．

(1)若EBP40，FBP20，PBm，试比较PE、PF的大小；

(2)若EBP，FBP，，都是锐角，且．试判断PE、PF的大小，并给出证明．

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核心考点四解直角三角形及其应用

例1（2022·湖北黄石·统考中考真题）我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割

之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每

次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形

的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图

l

1中圆内接正六边形的周长l6R，则63．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为

62R

（）

A．12sin15B．12cos15C．12sin30D．12cos30

例2（2022·湖北黄石·统考中考真题）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高

度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部

的俯角为60°，则旗杆的高度约为________m．（参考数据：31.732，结果按四舍五八保留一位小数）

例3（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民

4

楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD15m，斜坡的倾斜角为，cos．小文在C点处测

5

得楼顶端A的仰角为60，在D点处测得楼顶端A的仰角为30（点A，B，C，D在同一平面内）．

(1)求C，D两点的高度差；

(2)求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：31.7）

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在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已

知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

1.灵活运用边角关系求边与角;

2.若所求解的直角三角形“不可直接解”,应注意设元,借助方程来解决;

3.如果图形中没有直角时,要添加垂线将其转化为直角三角形求解.

【变式1】（2023·浙江温州·校联考模拟预测）如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长

为1m时，ABC45．当梯子底端点B沿水平方向向左移动到点B，端点A沿墙竖直向上移动到点A，

设ABC，则AA的长可以表示为（）

A．2sinB．2sin1C．2cos1D．2tan1

【变式2】（2022·河北唐山·统考三模）如图，点O为ABC的内心，B=60，BMBN，点M，N分别

为AB，BC上的点，且OMON．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：MON120；乙：四边形OMBN的

面积为定值；丙：当MNBC时，△MON的周长有最小值．则下列说法正确的是（）

A．只有甲正确B．只有乙错误

C．乙、丙都正确D．只有丙错误

【变式3】（2023·浙江温州·校联考模拟预测）甲、乙两幢完全一样的房子如图1，小聪与弟弟住在甲幢，为

测量对面的乙幢屋顶斜坡M，N之间的距离，制定如下方案：两幢房子截面图如图2，AB12m，小聪在

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离屋檐A处3m的点G处水平放置平面镜（平面镜的大小忽略不计），弟弟在离点G水平距离3m的点H处

恰好在镜子中看到乙幢屋顶N，此时测得弟弟眼睛与镜面的竖直距离IH0.6m．下楼后，弟弟直立站在DE

处，测得地面点F与E，M，N在一条直线上，DE1.2m，FD2m，BF5m，则甲、乙两幢间距

BC_________m，乙幢屋顶斜坡M，N之间的距离为_____________m．

【变式4】（2023·浙江金华·校考一模）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的

效果图．2022年4月13日开始主塔吊装作业．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段OP为

主塔，在离塔顶10米处有一个固定点Q(PQ10米)．在东西各拉一根钢索QN和QM，已知MO等于214

米．吊装时，通过钢索QM牵拉，主塔OP由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置．中午休息

时PON60，此时一名工作人员在离M6.4米的B处，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗．AB正

好是他的身高1.6米．

（1）主塔OP的高度为_____米，（精确到整数米）

（2）吊装过程中，钢索QN也始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要，QN与水平桥面的最大张角

在37到53之间(即37QNM53)，ON的取值范围是_____．（注：tan370.75，31.73）．

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【变式5】（2023·广西河池·校考一模）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30方向，距离小岛40nmile的

点A处，它沿着点A的南偏东15的方向航行．

(1)渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？

(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行206nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小

岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发到达事故地点的最短航程BC是多少nmile（结果保留根号）？

核心考点五三角函数的综合

例1（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC

的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE4，OF6．则下列

185

结论：①GF2；②OD2OG；③tanCDE；④ODFOCF90；⑤点D到CF的距离为．其

25

中正确的结论是（）

A．①②③④B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤

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例2．（2021·四川眉山·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，ABAC10，对角线AC、BD相交于

1

点O，点M在线段AC上，且AM3，点P为线段BD上的一个动点，则MPPB的最小值是______．

2

例3（2022·山东济宁·统考中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的

对边分别为a，b，c．

ab

∵sinA，sinB

cc

ab

∴c，c

sinAsinB

ab

∴

sinAsinB

abc

(1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，

sinAsinBsinC

之间的关系，并写出探究过程．

(2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，

∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．

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【变式1】（2022·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，

3

若CF4，tanEFC，则折痕AE（）

4

A．45B．55C．8D．10

【变式2】（2022·河南南阳·统考三模）如图，射线OM,ON互相垂直，OA8，点B位于射线OM的上方，

且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段AB，

若点B恰好落在射线ON上，则点A到射线ON的距离是（）

2413

A．B．C．4D．17

53

【变式3】（2022·江苏扬州·统考一模）如图，在RtABC中，C90，ACBC4．矩形DEFG的顶点

3

D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若tanDEC，则矩形EDFG面积的最大值=______．

4

【变式4】（2022·江苏苏州·校考一模）【理解概念】

定义：如果三角形有两个内角的差为90，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．

(1)已知ABC是“准直角三角形”，且C90．

①若A△60，则B______；

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②若A40，则B______；

【巩固新知】

(2)如图①，在Rt△ABC中，ACB90，AB6，BC2，点D在AC边上，若△ABD是“准直角三角形”，

求CD的长；

【解决问题】

(3)如图②，在四边形ABCD中，CDCB，ABDBCD，AB5，BD8，且ABC是“准直角三角形”，

求△BCD的面积．

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【新题速递】

1．（2023·上海松江·统考一模）已知Rt△ABC中，C90，AC2，BC3，那么下列结论正确的是（）

2222

A．tanAB．cotAC．sinAD．cosA

3333

2．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期中）已知为锐角，则msincos的值（）

A．m1​B．m1​C．m1​D．m1​

3．（2023春·九年级课时练习）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合

度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，若O

的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（）

A．12B．62C．63D．123

4．（2023秋·河北邯郸·九年级校考期末）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得

用高1m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30，然后向楼前进20m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60，

楼AB的高为（）

A．1031B．2031C．531D．1531

5．（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格

点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tanADC的值为()

325213

A．B．C．D．

23313

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6．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，在ABC中，AD,BE是ABC的角平分线，如果

ABAC10,BC12，那么tanABE的值是（）

166

A．B．C．D．2

234

7．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，在等边ABC中，CDAB，垂足为D，以AD，CD为邻

边作矩形ADCE，连接BE交CD边于点F，则cosCBE的值为（）

5211

A．7B．7C．21D．21

147147

8．（2023秋·湖北鄂州·九年级统考期末）正三角形ABC的边长为6，E是边AC上一动点，A,D两点关于直

线BE对称，连接DC并延长交直线BE于F，连接AF，在点E运动过程中，AFCF的最大值是（）

A．6B．63C．43D．431

9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，直线MN与O相切于点M，MEEF且EF∥MN，则

cosE________．

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10．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanBAC的值为

__________．

11．（2023秋·江苏·九年级统考期末）如图，Rt△ABC中，C90，ACBC，点D为AC的中点，连接

BD，tanABD的值为______．

12．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，

3

若CF4，tanEFC，则折痕AE______．

4

13．（2023秋·贵州铜仁·九年级统考期末）如图所示，某施工方计划把一座山的C，D两点用隧道打通，并

利用北斗卫星定位技术确定A，C，D三点在东西方向的同一条直线上．在隧道没有打通之前，技术监督

员李工每天需要驾车先从隧道口C点向正西行驶1km到达A点，然后再沿南偏东60方向行驶4km到达B点，

接着再沿北偏东45方向行驶一段路程才能到达隧道口D，则隧道CD的长度为______km．

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14．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，AB8，A60，点E为边AD的

中点，点F为边AB上一动点，连接EF，把△AEF沿EF所在直线折叠，得到△AEF，连接AB，AC，

当ABC为直角三角形时，线段AF的长为______．

15．（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级校联考阶段练习）计算：33tan30382008．

16．（2023春·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）某校安装了红外线体温检测仪（如图1），该

设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地

面的支杆OP上下调节（如图2），探测最大角（OBC）为58，探测最小角（OAC）为26.6，已知该

设备在支杆OP上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．若要求测温区域的宽度AB为2.53米，请

你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.01米，参考数据：sin580.85，cos580.53，

tan581.60，sin26.60.45，cos26.60.89，tan26.60.50）

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17．（2023秋·湖北随州·九年级统考期末）如图，ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD切⊙O于点B，

E为AB上一点，且AEAC，延长CE交BD于点D．

(1)求证：BCBD；

1

(2)若⊙O的半径为5，tanBCE，求BD的长．

3

18．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，梯形ABCD是某水坝的横截面示意图，其中ABCD，坝顶BC2m，

坝高CH5m，迎水坡AB的坡度为i1:1．

(1)求坝底AD的长；

(2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽0.5m，背水坡坡角改

为30．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？（参考数据：3.14,21.41,31.73；结果精确

到0.1m3）

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19．（2023春·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考开学考试）某校“趣味数学”社团开展了测量本

校旗杆高度的实践活