专题21 与圆有关的计算（6大考点）（原卷版）

第五部分圆

专题21与圆有关的计算（6大考点）

核心考点一弧长与扇形面积的相关计算

核心考点二与扇形有关的阴影部分面积计算

核心考点三圆切线与阴影部分求面积结合

核心考点

核心考点四圆锥、圆柱的相关计算

核心考点五圆与正多边形的相关计算

核心考点六圆的其他计算问题

新题速递

核心考点一弧长与扇形面积的相关计算

例1（2021·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，ABC是O的内接三角形，AB23，ACB60，连接

OA，OB，则AB的长是（）

24

A．B．C．D．

333

例2（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD＝23，DC＝43，将线段DC绕点D

按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是_____．

第1页共27页.

例3（2022·山东东营·统考中考真题）如图，AB为O的直径，点C为O上一点，BDCE于点D，BC

平分ABD．

(1)求证：直线CE是O的切线；

(2)若ABC30,O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

知识点一、弧长及扇形的面积

设⊙O的半径为R，n圆心角所对弧长为l，

（一）弧长的计算

nR

（1）弧长公式：l.

180

（2）公式推导：在半径为R的圆中，因为360的圆心角所对的弧长就是圆周长C2R，所以1的圆心

角所

2RRnR

对的弧长是,即,于是n的圆心角所对的弧长为l.

360180180

注意：（1）在弧长公式中，n表示1的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径R6cm，计算20的圆

心角

206

所对弧长l时，不要错写成lcm.

180

（2）在弧长公式中，已知，l,n,R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

（二）扇形面积的计算

第2页共27页.

（1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。

2

（）扇形的面积：nR1为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。

2S扇形=lR,Rl

3602

（3）公式推导：

①在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积SR2，所以圆心角是1的扇

22

形面积是R于是圆心角为的扇形面积是nR

,nS扇形.

360360

21

②nRnR11即其中为扇形的弧长，为半径。

S扇形=RlR,S扇形lR,lR

360180222

1

点拨：（1）扇形面积公式SlR与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧

2

长l看成底，半径R看成高即可。

21

（）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式nR还是

2S扇形S扇形lR.

3602

（3）已知S扇形,l,R,n四个量中任意两个，都可以求出另外两个。

（4）公式中的“n”与弧长公式中的“n”的意义是一样的，表示“1”的圆心角的倍数，计算时不带单

位。

【变式1】（2022·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，⊙O的半径为10，ABC为⊙O的内接三

1

角形，ABAC，连接CO并延长，交⊙O于点D，连接AD，BD，若DBADAB，则劣弧BD的长

3

度为（）

A．4B．5C．6D．7

【变式2】（2023·山西吕梁·统考一模）如图所示的网格中小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上，点

C是以AB为直径的圆与网格线的交点，O为圆心，点D是AC的中点，A，则图中阴影部分的的面积

为（）（用含的式子表示）

2525525

A．B．C．D．

360720360180

第3页共27页.

【变式3】1（2023·安徽合肥·校考一模）如图，四边形ABCD内接于O，DABABC80，AOB90，

AB4，则劣弧DC的长度为______．

【变式4】（2023·河北邢台·统考一模）如图，从一个边长为2的铁皮正六边形ABCDEF上，剪出一个扇形CAE．

(1)ACE的度数为______．

(2)若将剪下来的扇形CAE围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为______．

【变式5】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，点D在O的直径AB的延长线上，点C在O上，AC平分

DAE，AECD于点E．

(1)求证：CD是O的切线．

(2)DF是O的切线，F为切点，若BD2，ADE30，求AF的长．

第4页共27页.

核心考点二与扇形有关的阴影部分面积计算

例1（2022·宁夏·中考真题）把量角器和含30角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，

移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即

OC2cm，BOF120）．则阴影部分的面积为（）

2222

A．23cmB．83cm

33

8282

C．83cmD．163cm

33

例2（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，等腰RtABC中，ABAC2，以A为圆心，以AB为半

¼

径作BDC﹔以BC为直径作CAB．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）

例3（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，CABDBA，连

结BC，CD．

(1)求证：CD∥AB．

(2)若AB4，ACD30，求阴影部分的面积．

第5页共27页.

【变式1】（2023·山东枣庄·校考一模）如图，将半径为4，圆心角为90的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在

旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC的点B′处，点C的对应点为点C，则阴影部分的面积为（）

243

A．23B．43C．3D．3

332

【变式2】（2023·山西临汾·统考一模）如图，ABC内接于圆O，已知ACB90，ACBC，顶点A，B，

C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是1cm，则图中阴影部分的面积

为（）

2550252525502525

A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2

2442

【变式3】（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，以AB为直径作半圆O，C为AB的中点，连接BC，以OB

为直径作半圆P，交BC于点D．若AB4，则图中阴影部分的面积为_____．

【变式4】（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，曲线AMNB和MON是两个半圆，MN∥AB，大半圆半径

为4，则阴影部分的面积是______．

第6页共27页.

【变式5】（2022·广东梅州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，ACB90，O与BC，AC分别相切于点E，

F，BO平分ABC，连接OA．

(1)求证：AB是O的切线；

(2)若BEAC6，O的半径是2，求图中阴影部分的面积．

核心考点三圆切线与阴影部分求面积结合

例1（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，边长为2的正方形ABCD内接于O，PA，PD分别与O

相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为（）

55

A．5B．5C．D．

22224

第7页共27页.

例2（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，AB是O的切线，B为切点，OA与O交于点C，以点A

为圆心、以OC的长为半径作EF，分别交AB,AC于点E，F．若OC2,AB4，则图中阴影部分的面积为

__________．

例3（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切

线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．

(1)求证：∠ACO＝∠BCP；

(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；

(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

第8页共27页.

【变式1】5．（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）如图，一个较大的圆内有15个半径

为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为（）

22163201632214320143

A．B．C．D．

3333

【变式2】（2022·吉林长春·模拟预测）如图，A与B外切于点P，它们的半径分别为6和2，直线CD与

它们都相切，切点分别为C，D，则图中阴影部分的面积是（）

422

A．163B．1636C．163D．163

33

【变式3】（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E为AB的中

点，以E为圆心，3为半径作圆，分别交AD、BC于M、N两点，与DC切于P点．则图中阴影部分的面

积是______．

【变式4】（2023·安徽池州·校联考一模）如图，A90，O与A的一边相切于点P，与另一边相交于

B，C两点，且AB1，BC2，则扇形BC的面积为____________

第9页共27页.

【变式5】（2022·湖北武汉·武汉第三寄宿中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∠A＝90°，

△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．

(1)求∠EOD的度数；

(2)若r＝2，求阴影部分的面积．

核心考点四圆锥、圆柱的相关计算

例1（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下

两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标

浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（）

A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000

第10页共27页.

例2（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这

个扇形的面积为_______（用含的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径

为_______．

例3（2022·山东潍坊·中考真题）在数学实验课上，小莹将含30角的直角三角尺分别以两个直角边为轴

旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图

小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等．”

你认同小亮的说法吗？请说明理由．

知识点、圆锥的侧面积与全面积

（1）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体（如图所示）。连接圆锥顶点和底面圆

周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心

的线段叫作圆锥的高。

圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，故圆锥的母线l、

高h、底面半径r恰好构成一个直角三角形，满足r2h2l2。已知任意两个量，可以求出第三个量。

第11页共27页.

（2）圆锥的侧面展开图（如图1-49-4所示）：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面展开图是

扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。

（3）圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积，

1

计算公式为：S扇形l2rrl;

2

2

圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为S全S侧+S底=rl+rrlr。

【变式1】（2022·四川遂宁·模拟预测）如图，工人师傅准备从一块斜边AB长为40cm的等腰直角AOB材

料上裁出一块以直角顶点O为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥(接缝处忽略)，

则圆锥的底面半径为（）

A．5cmB．32cmC．4cmD．22cm

【变式2】（2020·四川绵阳·统考二模）如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上

底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB12cm，高BC8cm，

则这个零件的表面积是（）

A．192cm2B．196cm2C．228cm2D．232cm2

第12页共27页.

【变式3】（2022·广东珠海·统考二模）如图，圆雉的高AO4，底面圆半径为3，则圆雉的侧面积为

___________．

【变式4】（2022·广东中山·校联考三模）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半

径画弧，得EC，连接AC、AE，用图中阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．

【变式5】（2022·广东深圳·统考二模）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧

恰好经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：

(1)利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点的坐标为_______；

(2)连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为_______；

(3)连接AB，将线段AB绕点D旋转一周，求线段AB扫过的面积．

第13页共27页.

核心考点五圆与正多边形的相关计算

例1（2021·山西·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画

弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）

323

A．2B．4C．D．

33

例2（2021·山东青岛·统考中考真题）如图，正方形ABCD内接于O，PA，PD分别与O相切于点A

和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E．已知AB2，则图中阴影部分的面积为___________．

例3（2021·湖北随州·统考中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个

图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形

面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，

解题过程简便快捷．

第14页共27页.

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半

径长为______；

（2）①如图1，P是边长为a的正ABC内任意一点，点O为ABC的中心，设点P到ABC各边距离分别

1

为h，h，h，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知ahhhS3S，可得hhh_____；

1232123△ABC△OAB123

（结果用含a的式子表示）

②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为h1，h2，h3，

8

h，h5，参照①的探索过程，试用含a的式子表示hhhhh的值．（参考数据：tan36°，

41234511

11

tan54°）

8

（3）①如图3，已知O的半径为2，点A为O外一点，OA4，AB切O于点B，弦BC//OA，连接AC，

则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）

②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形

ABCDG，其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理

由．

第15页共27页.

知识点、正多边形的有关计算

n2180360

（1）正n边形的每个内角都等于180.

nn

360

（2）正n边形的每个中心角都等于.

n

（3）正n边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示，

2

18022a

设正n边形的半径为R,一边ABa，边心距OMr，则有BOM,Rr,正n边

n2

形

1

的周长lna,面积SnSAOB2nSBOMlr.

2

【变式1】（2023·四川成都·模拟预测）如图，多边形A1A2A3An是O的内接正n边形，已知O的半径为

r，A1OA2的度数为，点O到A1A2的距离为d，A1OA2的面积为S．下面三个推断中．

①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系；

②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；

③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．

其中正确的是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

第16页共27页.

【变式2】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）如图，将边长为6的正六边形铁丝框

ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为

（）

33=32

A．S1S2B．SSC．S1S2D．SS

3142142

【变式3】（2022·内蒙古包头·包头市第三十五中学校考三模）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A

为圆心，AC的长为半径画弧，得弧EC，连结AC，AE，则图中阴影部分的面积为______．

【变式4】（2022·四川绵阳·校考二模）如图，O内切于正方形ABCD中，与BC、CD边相切的点分别为E、F，

对角线BD交O于点M,N，连接EM,EF，则tanMEF的值是______．

【变式5】（2022·浙江宁波·统考二模）项目化学习：车轮的形状．

【问题提出】车轮为什么要做成圆形,这里面有什么数学原理?

【合作探究】

(1)探究A组：如图1，圆形车轮半径为4cm，其车轮轴心O到地面的距离始终为______cm．

(2)探究B组：如图2，正方形车轮的轴心为O，若正方形的边长为4cm，求车轮轴心O最高点与最低点的

第17页共27页.

高度差．

(3)探究C组：如图3,有一个破损的圆形车轮,半径为4cm，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为90，

其车轮轴心为O，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点O经过的路程．

探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定．

【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点A，B，C为圆心，以正三角形的边长为半径作60圆弧，

这个曲线图形叫做“莱洛三角形”．

(4)探究D组：使“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有“最高点”，“中心

点”也在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大

致是______．

延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车

轴中心O并不稳定．

第18页共27页.

核心考点六圆的其他计算问题

例1（2022·贵州遵义·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF

交AB于点E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若

AB1，则图中阴影部分的面积为（）

π1π1π1π1

A．B．C．D．

88842824

例2（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径

的扇形的圆心角∠FOH90．则图中阴影部分面积是_____．

例3（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．

(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；

(2)在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与弧AB只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB

的内切圆，试求⊙O1的面积S1．

第19页共27页.

【变式1】（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半

圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为（）

51513151

A．B．C．D．

24242422

【变式2】（2020·贵州遵义·统考二模）如图，在YABCD中，A60，AD2，AB23，以B为圆心BC

为半径画弧交平行四边形的对边CD、AB分别于F、E，再以C为圆心CD为半径画弧恰好交AB边于E点，

则图中阴影部分的面积为（）

12

A．B．C．D．3

363

【变式3】（2023·山东泰安·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知D经过原点O，与x轴、y轴分

别交于A、B两点，点B坐标为(0,23)，OC与D交于点C，OCA30，则圆中阴影部分的面积为

_____．

【变式4】（2023·辽宁大连·统考一模）如图，在RtABC中，CAB90，以点B为圆心、BC为半径作

4

弧交射线BA于点D，若BC4，S扇，则sinB的值为__________．

BCD3

第20页共27页.

【变式5】（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，星海湾大桥是大连壮观秀丽的景点之一，主桥面(AB)是水平

且笔直的，此时一个高1.6m的人(CD)站在C点望该桥的主塔BF，此时测得点D关于点F的俯角为35，

关于点E的俯角为75，已知主塔AEBF114.3m，EF为该桥的主缆，与线段DF交于EF的中点G．

(1)请在图中作出关于EF所对应圆的圆心O并补全EF所对应的圆（尺规作图，保留作图痕迹且无需说明作

图过程）；

(2)若关于EF所对应圆的半径为R，求EF的长（用含有，R的代数式表示）；

(3)求星海湾大桥两座主塔之间的距离（结果取整数）．

（参考数据：sin550.82,cos550.57,tan551.43,sin150.26,cos150.97,tan150.27）

第21页共27页.

【新题速递】

1．（2023·浙江舟山·校考一模）一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（）

A．3B．3.5C．4D．4.5

2．（2023·安徽淮北·淮北一中校联考一模）如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交

BC于点E，将扇形ADE剪下来做成圆锥，若ABBE3，则该圆锥底面半径为（）

3232

A．B．C．3D．32

48

△

3．（2022·广东东莞·校考一模）如图，ABC中，AB3，将ABC绕点A逆时针旋转60得到AB1C1，AB1

恰好经过点C．则阴影部分的面积为（）

2343

A．B．C．D．

3234

4．（2022·广东云浮·校联考三模）如图，矩形ABCD中，AB=6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径

的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是()

A．42B．43C．8D．9

5．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割

下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，

C是半圆O的中点，欲求阴影部分面积，只需把弓形BC割下来，补在弓形AC处，则S阴影S△ACD．

第22页共27页.

【拓展应用】如图2，以AB为直径作半圆O，C为AB的中点，连接BC，以OB为直径作半圆P，交BC于

点D．若AB4，则图中阴影部分的面积为（）

A．2B．1C．21D．21

6．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在半径为2，圆心角为90的扇形内，以BC为直径作半圆，

交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）

11

A．1B．2C．1D．＋1

22

7．（2022·宁夏银川·银川九中校考二模）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC1，以点B为圆心，BC为

半径画弧交矩形的边AB于点E，交对角线AC于点F，则图中阴影部分的面积为（）

1111

A．B．C．D．

34612

8．（2022·福建·福建省福州外国语学校校考模拟预测）如图，ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以点O

△

为圆心，OA为半径的半圆O与直角边BC相切于点F，分别交AC、AB于点D、E．已知CD=1，CF3，

则图中阴影部分的面积是（）

534734732532

A．B．C．D．

23232323

第23页共27页.

9．（2023·江苏徐州·校考一模）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则该圆锥的侧面积为______．

10．（2022·河南焦作·统考一模）如图，扇形OAB的圆心角AOB60，将扇形OAB沿射线AO平移得到扇

形O´A´B´，弧A´B´与OB交于点C．若OA23，O'O2，则阴影部分的面积为_______．

11．（2023·河南新乡·统考一模）如图，在菱形ABCD中，B=60，AB6，扇形AEF的半径为6，圆心

角为60，则阴影部分的面积是______．

12．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在ABC中，ACB90，B