专题28 截长补短模型（解析版）

模块二常见模型专练

专题28截长补短模型

例1（2021年·四川广安·中考真题）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问

题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD，若AC5cm，求四边

形ABCD的面积．

解：延长线段CB到E，使得BECD，连接AE，我们可以证明BAE≌DAC，根据全等三角形的性质得

AEAC5，EABCAD，则EACEABBACDACBACBAD90，得

S四边形ABCDSABCSADCSABCSABESAEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面

积．

(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2．

(2)如图2，在ABC中，ACB90，且ACBC4，求线段AB的最小值．

(3)如图3，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且BOC60；AC+BD=10，则AD是否

为定值？若是，求出定值；若不是，求出AD的最小值及此时平行四边形ABCD的面积．

【答案】(1)12.5

(2)22

5253

(3)不是，，

24

【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形AEC的面积，从而可以得到四边形ABCD的面积；

（2）由勾股定理可得AB2(AC2)28，由配方法可求解；

第1页共63页.

2

525

（3）由平行四边形的性质可得BOCO5，ADBC，由勾股定理可求BC3BO，由配方

24

法可求BC的最小值，即可求解．

【详解】（1）解：由题意可得，AEAC5，EAC90，

11

则EAC的面积AEAC5512.5(cm2)，

22

即四边形ABCD的面积为12.5cm2，

故答案为：12.5；

（2）解：ACBC4，

BC4AC，

ACB90，

ABAC2BC2AC2(4AC)22(AC2)28，

当AC2时，AB取最小值，最小值为22；

（3）解：如图，过点B作BHAC于H，

四边形ABCD是平行四边形，

AOCO，BODO，ADBC，

AC+BD=10，

BOCO5，

CO5BO，

BOC60，BHAC，

OBH30，

13

HOBO，BH3HOBO，

22

3

CHCOHO5BO，

2

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222

2233525，

BCBHCHBO5BO3BO

2224

555

当BO时，BC有最小值，即AD的最小值为，

222

5

此时：BOBC，BOC60，

2

BOC是等边三角形，

2

35253．

SABCD4SBOC4

424

5253

综上可知，AD不是定值，AD的最小值为，此时平行四边形ABCD的面积为．

24

【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运

用这些性质是解题的关键．

例2（2021年·湖北襄阳·中考真题）如图，四边形ABCD是O内正方形，P是圆上一点（点P与点A，

B，C，D不重合），连接PA，PB，PC．

(1)若点P是弧AD上一点，

①∠BPC度数为___________；

②求证：PAPC2PB；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完

成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．证明：在PC的延长线上截取点E．使CEPA，连接BE．

(2)探究当点P分别在AB，BC，CD上，求PA，PB，PC的数量关系，直接写出答案，不需要证明．

【答案】(1)①45，②见解析

(2)PCPA2PB；PAPC2PB；PAPC2PB；证明见解析

【分析】（1）①理由正方形的性质和圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半解答即可；

②在PC的延长线上截取点E．使CEPA，连接BE，利用全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判

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定与性质解答即可；

（2）利用截长补短法，依题意画出相应图形，按小明思路完成解答即可．

【详解】（1）①解：BPC45，理由：

∵四边形ABCD是正方形，

∴ABBCCDDA，

∴BC的度数为90，

1

∴BPC9045，

2

故答案为：45；

②证明：在PC的延长线上截取点E，使CEPA．连接BE，如图，

∵四边形ABCD是O内接正方形，

∴ABBC，

又∵点P在AD上，

∴四边形ABCP为O内接四边形

∴PABBCE．

在PAB和ECB中，

PAEC

PABECB，

ABCB

∴PAB≌ECBSAS，

∴PBPE，ABPCBE，

∵ABPPBC90，

∴PBCCBE90，

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∴PBE90，

∴△PBE为等腰直角三角形，

∴PE2PB，

∴PAPCCEPCPE2PB；

（2）当点P在AB上时，PCPA2PB；

在PC上取点E，使CEPA，连接BE，如图，

∵四边形ABCD是O内接正方形，

∴ABBC，

在PAB和ECB中，

PAEC

PABECB，

ABCB

∴PAB≌ECBSAS，

∴PBPE，ABPCBE，

∵ABEEBC90，

∴PBAABE90，

∴PBE90，

∴△PBE为等腰直角三角形，

∴PE2PB，

∴PCPAPCECPE2PB；

当点P在BC上时，PAPC2PB，

在PA上取点E，使AEPC，连接BE，如图，

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∵四边形ABCD是O内接正方形，

∴ABBC，

在ABE和BCP中，

ABBC

BAEBCP，

AECP

∴ABE≌BCPSAS，

∴BEBP，ABECBP，

∵∠ABE∠CBE90，

∴CBECBP90，

∴EBP90，

∴△EBP为等腰直角三角形，

∴PE2PB，

∴PAPCPAAEPE2PB；

当点P在CD上时，PAPC2PB，理由：

在PA的延长线上截取点E，使AEPC，连接BE，如图，

∵四边形ABCD是O内接正方形，

∴ABBC，

又∵点P在CD上，

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∴四边形ABCP为O内接四边形

∴EABBCP．

在EAB和PCB中，

ABBC

EABPCB，

AECP

∴EAB≌PCBSAS，

∴BEBP，ABEPBC．

∵ABPPBC90，

∴ABPABE90，

∴EBP90．

∴△EBP为等腰直角三角形，

∴PE2PB，

∴PAPCPAAEPE2PB．

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，

等腰直角三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用截长补短法，构造恰当的辅助线解答

是解题的关键．

模型截长补短

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。截长

就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边。

如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在

EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。

截长法：如图②，在EF上截取EG=AB，再证明

GF=CD即可。

补短法：如图③，延长AB至H点，使BH=CD，

再证明AH=EF即可。

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模型分析

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，

指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证

明过程。

概述图：

【变式1】（2021秋·河北沧州·八年级统考期中）【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，

再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两

段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线

段相等．

【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，CADCBD90，组成一个四边形ACBD，以D为顶

点作MDN，交边AC、BC于M、N．

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(1)若ACD30，MDN60，证明：AMBNMN；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补

短法，延长CB到点E，使BEAM，连接DE，先证明DAM≌DBE，再证明△MDN≌△EDN，即可

求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；

(2)当ACDMDN90时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证

明）

(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图③，其余条件不变，则AM、MN、BN

之间有何数量关系？证明你的结论．

【答案】(1)证明见解析

(2)AMBNMN

(3)BNAMMN，证明见解析

【分析】（1）根据题意得AD=BD，延长CB到E，使BEAM，连接DE，利用全等三角形的判定得出

△DAM≌△DBESAS，△MDN≌△EDNSAS，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明；

（2）证明方法与（1）一致，证明即可；

（3）在CB截取BEAM，连接DE，利用全等三角形的判定得出△DAM≌△DBESAS，

△MDN≌△EDNSAS再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果．

（1）

证明：根据题意得：AD=BD，

延长CB到E，使BEAM，连接DE

∵ACBD90，

∴AEBD90，

在△DAM和DBE中

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AMBE

ADBE，

ADBD

∴△DAM≌△DBESAS，

∴BDEMDA，DMDE，

∵MDNADC60，

∴ADMNDC，

∴BDENDC，

∵NDCNDB60

∴BDENDBNDE60

∴MDNNDE，

在△MDN和△EDN中

DMDE

MDNNDE

DNDN

∴△MDN≌△EDNSAS，

∴MNNE，

∵NEBEBNAMBN，

∴AMBNMN．

（2）

由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°，

证明方法同（1）类似，

∴AMBNMN；

（3）

BNAMMN，

证明：在CB截取BEAM，连接DE，

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∵BCAD90，

∴BDAM90，

在△DAM和DBE中

AMDE

DAMDBE，

ADBD

∴△DAM≌△DBESAS，

∴BDEADM，DMDE，

∵CDAACD90，MDNACD90，

∴MDNCDA，

∴MDNADNCDAADN，

即MDACDN，

∴BDECDN，

∵ADCBDC

∴ADCCDNBDCBDE

即NDAEDC

∴NDAMDAEDCCDN

即MDNEDN，

在△MDN和△EDN中

DMDE

MDNNDE，

DNDN

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∴△MDN≌△EDNSAS，

∴MNNE，

∵NEBNBEBNAM，

∴BNAMMN．

【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，找出各角之间的关系是解

题关键．

【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题

复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：延长较短线段和较长线段相等．

这两种方法统称截长补短法．

请用这两种方法分别解决下列问题：

已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC

【答案】见解析

【分析】截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，可证得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，利

用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，证明△ABP≌△AMP，

可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三边关系，即可求证．

【详解】解：截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，

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在△APN和△APC中

∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP，

∴△APN≌△APC，

∴PC=PN，

∵△BPN中有PB－PN＜BN，

即PB－PC＜AB－AC；

补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，

在△ABP和△AMP中，

∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP，

∴△ABP≌△AMP，

∴PB=PM，

又∵在△PCM中有CM＞PM－PC，

即AB－AC＞PB－PC．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键．

【变式3】（2022·贵州遵义·统考三模）（1）问题发现：学完垂径定理后，小红对弧的中点与弦的关系再

次做了研究，如图甲，O中，点C是劣弧AB的中点，D点在BC弧之间，过点C作CEAD，垂足为点

E，小红在电脑上用几何画板的度量功能度量了线段ED、DB、AE的长度如下表所示，小红发现了一个数

量关系，这个关系是______（用ED、DB、AE的式子表示）

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EDDBAE

1.372.233.60

1.512.073.58

1.631.933.56

1.911.603.51

（2）探索结论：

怎么完成（1）中关系的证明呢？小红根据学习经验想到了“截长补短”中的“截长”思想，如图乙，在线段AE

上截取点F，使得FEDE，连接CF、CD．小红试图构造关于AF、DB所在的三角形，通过全等完成证

明，请接着小红的想法完成证明．

（3）结论应用：

如图丙，等边三角形ABC内接于O，点D在O上，连接BD、CD，过点C作CEAD，垂足为点E，

若BD31，CBD45，求O的半径．

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【答案】（1）AE=DE+BD；

（2）证明见解析；

（3）2．

【分析】（1）由AE、DE、BD的取值可得结论AE=DE+BD；

（2）如图1，在线段AE上取一点F，使得EF=DE，连接CD、BC、CF、AC，先证明AFCCBACAE，

BCDBADCABCAE，从而得出BCDAFC，进而证明△BCD≌△AFC得AFBD，即可

证明结论成立；

（3）如图2，作直径AF，连接CF，由等边三角形ABC内接于O，得ABCADCF60，ACBC，

进而得CEDEtanADCDEtan603DE，AE=CE，从而求得DE=1，AE=3，最后求得AF22，

即可求得O的半径．

【详解】（1）解：由表格可得：当AE=3.60，DE=1.37，BD=2.23时，有3.60=1.37+2.23，即AE=DE+BD；

当AE=3.58，DE=1.51，BD=2.07时，有3.58=1.51+2.07，即AE=DE+BD；

当AE=3.56，DE=1.63，BD=1.93时，有3.56=1.63+1.93，即AE=DE+BD；

当AE=3.51，DE=1.91，BD=1.60时，有3.56=1.91+1.60，即AE=DE+BD；

因此，线段ED、DB、AE的关系为AE=DE+BD，

故答案为AE=DE+BD；

（2）证明：如图1，在线段AE上取一点F，使得EF=DE，连接CD、BC、CF、AC，

CEAD，EF=DE，

CF=CD，

CFECDE，

ACFCFECAECDECAECBACAE，

O中，点C是劣弧AB的中点，

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ACBC，

ACBC，

CABCBA，

CAFCABCAE，

BCDBADCABCAE，

BCDCAF，

BCD≌ACF，

AFBD，

AE=AF+EF=DE+BD；

（3）解：如图2，作直径AF，连接CF，

等边三角形ABC内接于O，

ABCADCF60，ACBC，

CEAD，

CEDEtanADCDEtan603DE，

CEAD，CAECBD45，

第16页共63页.

ACE90CAE45CAE，

AE=CE，

CEAD，ACBC，BD31，

AECEDEBDDE313DE，

DE=1，AE=3，

AE3

AC6，

cosCAEcos45

AF是O的直径，

ACF90，

AC6

AF22，

sinFsin60

1

O的半径为AF2．

2

【点睛】本题主要考查了圆与等边三角形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定及性质以及等腰三角形

的性质，做辅助线构造全等三角形及直角三角形是解题的关键．

【变式4】（2022·全国·九年级专题练习）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添

加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一

短边相等，从而解决问题．

(1)如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的

数量关系．

解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE易证

得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关

系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是______；

【拓展延伸】

(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、

DB、DC之间的数量关系，并说明理由；

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【知识应用】

(3)如图3，两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离

PQ的长为______cm．

【答案】(1)DA=DB+DC

(2)2DA=DB+DC；理由见解析

(3)PQ26cm

【分析】（1）延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°，

知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ABD=∠ACE，证得△ABD≅△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证明△ADE

是等边三角形，等量代换可得结论；

（2）同理可证△ABD△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，由勾股定理得DA2AE2DE2，等量代换即

得结论；≅

（3）由直角三角形的性质可得QN的长，由勾股定理可得MQ的长，由（2）知2PQQNQM，由此可

求得PQ长．

（1）

（1）延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BDC=120°，

∴∠BAC+∠BDC=180°，

∴∠ABD+∠ACD=180°，

又∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

∴△ABD△ACE(SAS)，

∴AD=AE≅，∠BAD=∠CAE，

∵∠BAC=60°，

∴∠BAD+∠DAC=60°，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°，

∴△ADE是等边三角形，

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∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，

（2）

2DA=DB+DC，

理由如下：延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，

∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，

∴∠ABD+∠ACD=180°

又∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，CE=BD，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴∠DAE=∠BAC=90°，

∴DA2AE2DE2，

2

∴2DA2DBDC，

∴2DADBDC，

（3）

如图所示：连接PQ，

第19页共63页.

∵MN4cm，∠QMN=30°，

1

∴QNMN2cm，

2

根据勾股定理得QMMN2QN2422223cm，

由（2）知2PQQNQM，

QNQM223

∴PQ26cm，

22

【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，

熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

【培优练习】

1．（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）阅读材料：

“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截

取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，

使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段．

依据上述材料，解答下列问题：

如图，在等边ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边DEF，连

接CF．

(1)如图，若点D在边BC上，试说明CECFCD；（提示：在线段CD上截取CGCE，连接EG．）

(2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由．

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【答案】(1)证明见解析

(2)FC＝CD+CE

【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易证△CEG是等边三角形，得出EG＝EC＝CG，证明△DEG≌△FEC

（SAS），得出DG＝CF，即可得出结论；

（2）过D作DGAB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD

为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．

（1）

证明：在CD上截取CG＝CE，如图1所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ECG＝60°，

∴△CEG是等边三角形，

∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°，

∵△DEF是等边三角形，

∴DE＝FE，∠DEF＝60°，

∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°，

∴∠DEG＝∠FEC，

在△DEG和△FEC中，

第21页共63页.

DEFE

DEGFEC，

EGEC

∴△DEG≌△FEC（SAS），

∴DG＝CF，

∴CD＝CG+DG＝CE+CF，

∴CE+CF＝CD；

（2）

解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝60°，

过D作DGAB，交AC的延长线于点G，如图2所示：

∵GDAB，

∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，

∴∠GDC＝∠DGC＝60°，

∴△GCD为等边三角形，

∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，

∵△EDF为等边三角形，

∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，

∴∠EDG＝∠FDC，

在△EGD和△FCD中，

EDDF

EDGFDC，

DGCD

∴△EGD≌△FCD（SAS），

第22页共63页.

∴EG＝FC，

∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．

【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质等知识，

作辅助线构建等边三角形是解题的关键．

2．（2022秋·全国·九年级专题练习）问题：如图1，O中，AB是直径，ACBC，点D是劣弧BC上任

ADBD

一点（不与点B、C重合），求证：为定值．

CD

思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明ACE≌BCD．按思路完成下列证明过程．

证明：在AD上截取点E，使AEBD，连接CE．

运用：如图2，在平面直角坐标系中，O1与x轴相切于点A3,0，与y轴相交于B、C两点，且BC8，

连接AB、O1B．

(1)OB的长为___________．

(2)如图3，过A、B两点作O2与y轴的负半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，连接AM、MN，当O2

的大小变化时，问BMBN的值是否变化，为什么?如果不变，请求出BMBN的值．

【答案】(1)1

(2)不变，理由见解析

【分析】问题：在AD上截取AE=BD，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠CBD，然后证明

△ACE≌△BCD，然后根据角的等量代换得出∠ECD=90°，进而得出△ECD为等腰直角三角形，用ED表

示CD，因为ED=AD-BD最后即可得出结论；

（1）连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H，根据垂径定理和勾股定理求出O1B的长度，根据切线的性质得

第23页共63页.

出O1A⊥x轴，得到OH=5，进而即可得出结果；

（2）在图2中先根据平行和O1A=O1B得出∠ABO1=∠ABO，然后在MB上取一点G，使MG=BN构造全等，

证明△AMG≌△ANB，得到AG=AB，然后根据等腰三角形三线合一得出BG=2，再根据等量代换即可得到

结论．

【问题详解】证明：如图1，在AD上截AE=BD，

在△ACE和△BCD中，

ACBC

CAECBD，

AEBD

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴∠ACE=∠BCD，CE=CD，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ECD=90°，

∴△ECD是等腰直角三角形，

2

∴CD=ED，

2

∵ED=AD-AE=AD-BD，

ADBDADBD

∴=2，即为定值；

CDCD

【详解】（1）解：如图2，连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H，

∴CH=BH=4，O1H=3，O1A⊥x轴，

∴22，

O1B=O1HHB=5

∴O1A=O1B=5，

第24页共63页.

∴HO=5，

∴OB=HO-HB=5-4=1，

故答案为：1；

（2）解：BM-BN的值不变，

如图2，

由（1）得，O1A⊥OA，

∵OB⊥AO，

∴O1A∥OB，

∴∠O1BA=∠OBA，

∵O1A=O1B，

∴∠O1BA=∠O1AB，

∴∠ABO1=∠ABO，

如图3，在MB上取一点G，使MG=BN，连接AN，AG，

∵∠ABO1=∠ABO，∠ABO1=∠AMN，

∴∠ABO=∠AMN，

∵∠ABO=∠ANM，

∴∠AMN=∠ANM，

∴AM=AN，

在AMG和ANB中，

△△

第25页共63页.

AMAN

AMGANB，

MGBN

∴△AMG≌△ANB（SAS），

∴AG=AB，

∵AO⊥BG，

∴BG=2BO=2，

∴BM-BN=BM-MG=BG=2，即BM-BN的值不变．

【点睛】本题考查圆的综合题，同弧所对的圆周角相等，两条半径所形成的三角形是等腰三角形，等腰三

角形三线合一，垂径定理是解本题的必备知识，利用“截长补短”法证明全等是解本题的关键．

3．（2022秋·北京·八年级统考期末）如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝（30°＜

＜60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE．

（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数；

（2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明．

分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……

②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．

请根据上述分析过程，完成解答过程．

【答案】（1）图见解析，∠AEB＝60°；（2）AE＝BE＋CE，证明见解析

【分析】（1）依题意补全图形，如图所示：然后连接AD，先求出CAP60，然后根据轴对称的性

质得到∠PAD=∠BAP=，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，求出∠CAD=260，即可求出

1

∠ACD=∠ADC=180∠CAD=120，再由∠EAC∠AEC=∠ACD=120进行求解即可；

2

（2）如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG．先证明△BGE是等边三角形，得到BG＝BE＝EG，∠GBE

＝60°．再证明∠ABG＝∠CBE，即可证明△ABG≌△CBE得到AG＝CE，则AE＝EG＋AG＝BE＋CE．

第26页共63页.

【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接AD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∵BAP，

∴CAP60，

∵B、D关于AP对称，

∴∠PAD=∠BAP=，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，

∴∠CAD=∠PAD∠CAP=60=260，

1

∴∠ACD=∠ADC=180∠CAD=120，

2

∴∠EAC∠AEC=∠ACD=120，

∴AEC60

∴∠AEB＝60°．

（2）AE＝BE＋CE．

证明：如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG．

∵∠AEB＝60°，

∴△BGE是等边三角形，

∴BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝60°，

∴∠ABG＋∠GBC＝∠GBC＋∠CBE＝60°，

∴∠ABG＝∠CBE．

在△ABG和△CBE中，

第27页共63页.

AB＝CB，

ABG＝CBE，

BG＝BE，

∴△ABG≌△CBE（SAS），

∴AG＝CE，

∴AE＝EG＋AG＝BE＋CE．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性

质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键

4．（2021秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线

的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与

另一短边相等，从而解决问题．

（1）如图1，ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，BDC120，探索线段DA、DB、DC之

间的数量关系．

解题思路：延长DC到点E，使CEBD，连接AE，根据BACBDC180，可证ABDACE，易

证得ABD≌ACE，得出ADE是等边三角形，所以ADDE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数

量关系．

根据上述解题思路，请写出DA、DB、DC之间的数量关系是______，并写出证明过程；

【拓展延伸】

第28页共63页.

（2）如图2，在RtABC中，BAC90，ABAC，若点D是边BC下方一点，BDC90，探索线段

DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

（3）如图3，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距

离PQ的平方为多少？

2

【答案】（1）DA=DC+BD，见解析；（2）2AD2DCBD；见解析；（3）23

【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由

∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边

三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．

（2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得

∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2AD2=（DC+BD）2；

1

（3）由直角三角形的性质知QN=MN=1，MQ=22，利用（2）中的结论知

2MNQN3

2

2PQ2QNMQ，据此可得答案．

【详解】解：（1）DA=DC+BD，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BDC=120°，

∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°，

又∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

在△ABD和△ACE中，

ABAC

ABDACE，

BDCE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，

∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°，

∴△ADE是等边三角形，

第29页共63页.

∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，

故答案为：DA=DC+BD；

2

（2）2AD2DCBD，如图2，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，

∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，

∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°，

∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，CE=BD，

在△ABD和△ACE中，

ABAC

ABDACE，

BDCE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴∠DAE=∠BAC=90°，

∴DA2+AE2=DE2，

2

∴2AD2DCBD；

（3）如图3，连接PQ，

∵MN=2，∠QMN=30°，∠MQN=90°，

第30页共63页.

1

∴QN=MN=1，

2

∴MQMN2QN222123，

2

由（2）知2PQ2QNMQ．

2

2

QNMQ13

∴PQ2=23．

22

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的

性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

5．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的

添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另

一长边相等，从而解决问题．

（1）如图①，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，连结DA、DB、DC，且BDC120，探

索线段DA、DB、DC之间的数量关系．

解题思路：延长DC到点E，使CEBD，连接AE，根据BACBDC180，则ABDACD180，

因为ACDACE180可证ABDACE，易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所

以ADDE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC

之间的数量关系是；

【拓展延伸】

（2）如图②，在Rt△ABC中，BAC90，ABAC．若点D是边BC下方一点，BDC=90，探索线

段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

（3）如图③，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知30所对直角边等于斜边一半，

则PQ的长为_____________cm．（结果无需化简）

第31页共63页.

13

【答案】（1）DADBDC；（2）猜想：2ADDCDB证明见解析；（3）．

2

【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由

∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证ADE是等边

三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．△△

（2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得

∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，△继而可得2DA2=（DB+DC）2；

1

（3）由直角三角形的性质知QN=MN=1，MQ=22，利用（2）中的结论知

2MNQN3

2PQ=QN+QM=1+3，据此可得答案．

【详解】解：（1）DA=DC+DB，理由：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BDC=120°，

∴∠ABD+∠ACD=180°，

又∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

在△ABD和△ACE中，

ABAC

ABDACE，

BDCE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，

∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，

故答案为：DA=DC+DB；

（2）2DA=DB+DC如图2，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，

第32页共63页.

∵∠BAC=90°，∠BDC=90°∴∠ABD+∠ACD=180°，

∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，CE=BD，

在△ABD和△ACE中，

ABAC

ABDACE，

BDCE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴∠DAE=∠BAC=90°，

∴DA2+AE2=DE2，

∴2DA2=（DB+DC）2，

∴2DA=DB+DC；

（3）如图3，连接PQ，

∵MN=2，∠QMN=30°，

1

∴QN=MN=1，

2

第33页共63页.

∴MQ=MN2QN222123，

由（2）知2PQ=QN+QM=1+3，

13

∴PQ=，

2

故答案为：13．

2

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形

的判定定理和性质定理是解题的关键．

6．（2021秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）阅读下面文字并填空：

数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC中，AD平分BAC，B2C．求证：

ABBDAC．

李老师给出了如下简要分析：“要证ABBDAC就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截

长法’如图2，在AC上截取AEAB，连接DE，只要证BD__________即可，这就将证明线段和差问题

__________为证明线段相等问题，只要证出__________≌△__________，得出BAED及

BD_________，再证出_____________________，进而得出EDEC，则结论成立．此种证法的基

础是‘已知AD平分BAC，将△ABD沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处’成为可能．

方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F，使BFBD．只要证AFAC即可．此时先证__________C，

再证出_________≌△_________，则结论成立．”

“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．

第34页共63页.

【答案】方法一：CE；转化；ABD；AED；DE；EDC；C；方法二：F；AFD；ACD

【分析】方法一：在AC上截取AEAB，由SAS可证ABDAED可得BAED，BD=DE，根据等角

对等边得到CE=DE，即可求证；

方法二：延长AB至点F，使BFBD，由AAS可证AFDACD，可得AC=AF，即可证明．

【详解】方法一：在AC上截取AEAB，连接DE，如图2

∵AD平分BAC，

∴BADDAC，

在ABD和AED中

AEAB

BADDAC，

ADAD

∴ABDAED，

∴BAED，BD=DE，

∵B2C，

∴AED2C

而AEDCEDC2C，

∴EDCC，

∴DE=CE，

∴AB+BD=AE+CE=AC，

故答案为：CE；转化；ABD；AED；DE；EDC；C；

方法二：如图3，延长AB至点F，使BFBD，

∴FBDF

∴ABDFBDF2F

∴ABD2C

∴FC

在AFD和ACD中

FADCAD

FC，

ADAD

∴AFDACD，

第35页共63页.

∴AC=AF，

∴AC=AB+BF=AB+BD，

故答案为：F；AFD；ACD．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，

此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式．

7．（2022秋·浙江·八年级专题练习）阅读材料并完成习题：

在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD

中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．

解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得

AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形

ABCD=SABC+SADC=SABC+SABE=SAEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．

△△△△△

（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2．

（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．

如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．

【答案】（1）2；（2）4

【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC的面积即可；

（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，由（1）易证FGH≌FNK，