专题07 解题技巧专题：与绝对值化简的有关问题压轴题五种模型全攻略(原卷版)

专题07解题技巧专题：与绝对值化简的有关问题压轴题五种模型全攻略

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目录

【典型例题】....................................................................................................................................................1

【考点一绝对值非负性的应用】......................................................................................................................1

【考点二利用数轴化简绝对值】......................................................................................................................1

【考点三分类讨论化简绝对值】......................................................................................................................3

【考点三利用几何意义化简绝对值】..............................................................................................................4

【考点四解含绝对值的方程】..........................................................................................................................7

【典型例题】

【考点一绝对值非负性的应用】

例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）若x5y80，则xy．

【变式训练】

1．（2023秋·全国·七年级专题练习）若(a1)2|ab4|0，则a，b．

2

2．（2023秋·七年级课时练习）若（a2）＋b3＝0，则ab的值是．

3．（2023·河北秦皇岛·校考一模）已知a，b都是实数．若|a1|(b2)20，则ab．

4．（2023秋·全国·七年级专题练习）若有理数a，b满足a20b190，则ab.

【考点二利用数轴化简绝对值】

例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：

abbcac．

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【变式训练】

1．（2023·全国·七年级假期作业）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简ab的结果是（）

A．abB．abC．abD．ab

2．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）有理数a，b，c在数轴上位置如图，则化简caabbc的

值为（）

A．2cB．2bC．0D．2c

3．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）有理数x在数轴上的位置如图听示，化简：

|2x2023||x|．

4．（2023秋·四川巴中·七年级统考期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简bbaa1的结

果为．

5．（2023春·黑龙江大庆·六年级校考阶段练习）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简

|ac||a2b||c2b|的结果是．

6．（2023春·上海·六年级专题练习）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．

a

（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）

c

a

（2）如果a、c互为相反数，求＝．

c

（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．

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【考点三分类讨论化简绝对值】

例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知a、b、c均为不等式0的有理数，则

abc

的值为．

abc

【变式训练】

|a||b|

1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）若有理数a，b满足ab0，则的值为．

ab

abc

2．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）若n，abc0，则n的值为．

abc

3．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：

ab

(1)已知a，b是有理数，当a0时，则_______；当b0时，则_______．

|a||b|

bcacab

(2)已知a，b，c是有理数，abc0，abc<0，求的值．

|a||b||c|

|a||b||c|

(3)已知a，b，c是有理数，当abc0时，求的值．

abc

4．（2023秋·全国·七年级专题练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简|x|，当x0时，|x|x；当x0

时，|x|0；当x0时，|x|x．求解下列问题：

xxx

(1)当x3时，值为______，当x3时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为

|x||x||x|

______；

yzxzxy

(2)已知xyz0，xyz0，求的值；

|x||y||z|

(3)已知：x1,x2,,x2021,x2022,x2023，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，

x1x2x2021x2022x2023

m，则m的值为______（请用含n的式子表示）

x1x2x2021x2022x2023

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【考点四利用几何意义化简绝对值】

例题：（2023秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示2和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表

示数m和数n的两点之间的距离等于mn．

(2)如果x12，那么x______；

(3)若a34，b23，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，

最小距离是_____．

(4)若数轴上表示数a的点位于3与5之间，则a3a5_____．

(5)当a_____时，a1a5a4的值最小，最小值是_____．

【变式训练】

1．（2022秋·福建泉州·七年级统考期中）阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，则A、B

两点之间的距离可以表示为ab．

根据阅读材料与你的理解回答下列问题：

(1)数轴上表示8与2的两点之间的距离是______；

(2)若x53，则x______；若x1x3，则x______；

(3)x1x3表示数轴上有理数x所对的点到1和-3所对的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合

条件的整数x，使得x1x34．

(4)若x表示一个有理数，则x1010x504x1011有最小值吗？若有，请直接写出最小值．若没有，

说出理由．

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2．（2022秋·河北保定·七年级校联考期中）阅读下列材料：我们知道，x的几何意义是在数轴上数x对应的

点与原点的距离：xx0，也就是说，x表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推

广为：ab表示在数轴上数a，b对应点之间的距离．

如：数轴上数2，5对应点之间的距离为253；

数轴上数2，7对应点之间的距离为2(7)9；

又如：已知x12，求x的值．意为：数轴上数x与数1对应点之间的距离为2，观察数轴可知x的值为1

或3．

请运用上述的几何方法解决下列问题：

(1)若x3，则x________；

(2)若x32，则x________；

(3)41表示数轴上数________与________对应点之间的距离；

(4)若x24，则x________；

(5)若x3x25，则满足条件的所有整数x为________________；

(6)若x1x45，则x的取值范围为________________________．

3．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期中）【问题提出】a1a2a3a2021的最小值是多少？

【阅读理解】

为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．a的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距

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离，那么a1可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；a1a2就可以看作a这个数在数轴上

对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究a1a2的最小值．

我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：

如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．

如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．

如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：

当a在1，2之间（包括在1，2上）时，a1a2有最小值1．

【问题解决】

(1)a4a7的几何意义是，请你结合数轴研究：a4a7的最小值是；

(2)请你结合图④探究a1a2a3的最小值是，由此可以得出a为；

(3)a1a2a3a4a5的最小值是；

(4)a1a2a3a2021的最小值为；

(5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是．

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【考点五解含绝对值的方程】

例题：（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值

的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路

是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．

【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．

解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．

解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．

根据以上材料解决下列问题：

(1)解方程：|3x﹣2|＝4；

(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．

【变式训练】

1．（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：

13

(1)x53(2)2x17(3)x41(4)x524

24

2．（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）同学们都知道，42表示4与2的差的绝对值，实际上

也可以理解为4与2两数在数轴上所对应两点之间的距离：同理x3也可以理解为x与3两数在数轴上所

对应的两点之间的距离，