人教A版高中数学选择性必修第一册第二章2.1.2两条直线平行和垂直的判定课件

2.1.2两条直线平行和垂直的判定第二章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率整体感知[学习目标]

1．理解两条直线平行和垂直的条件．(数学抽象)2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(逻辑推理)3．能利用两直线平行或垂直的条件解决问题．(数学运算)(教师用书)过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？[讨论交流]

问题1．是否总有l1∥l2⇔k1＝k2?问题2．是否总有l1⊥l2⇔k1k2＝－1?问题3．解决直线平行或垂直问题时，需注意什么？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1两条直线平行的判定探究问题1在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？[提示]

两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．探究问题2平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？[提示]

两直线平行，倾斜角相等．[新知生成]两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔______l1∥l2⇔两直线斜率都______图示k1＝k2不存在【教用·微提醒】

(1)若没有指明l1，l2不重合，那么k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合，用斜率证明三点共线时，常用到这一结论．(2)用“l1∥l2⇔k1＝k2”时，要明确两个前提条件：①l1与l2是不重合的两条直线；②斜率都存在．【链接·教材例题】例2已知A(2，3)，B(－4，0)，P(－3，1)，Q(－1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论．

反思领悟

判断两条不重合的直线是否平行的两种方法(1)利用直线的斜率判断：(2)利用直线的方向向量判断：求出两直线的方向向量，通过判断两向量是否共线，得到两条直线是否平行．[学以致用]

1．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是(

)①l1的斜率为2，l2过点A(1，2)，B(4，8)；②l1经过点P(3，3)，Q(－5，3)，l2平行于x轴，但不经过P点；③l1经过点M(－1，0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)，S(0，5)．A．①②

B．②③

C．①③

D．①②③√

探究2两条直线垂直的判定探究问题3平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？[提示]

k1·k2＝－1．[新知生成]两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系l1⊥l2(两直线斜率都存在，且都不为零)⇔k1·k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒______l1⊥l2【教用·微提醒】

(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在．(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2．(3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率．【链接·教材例题】例4已知A(－6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ的位置关系．

[典例讲评]

2．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．[解]

∵A，B两点纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，∴－m≠3，即m≠－3．(1)当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1．当m＝－1时，C，D两点的纵坐标均为－1．∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．

反思领悟

判断两条直线是否垂直的方法在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可．若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．[学以致用]

2．判断下列各题中l1与l2是否垂直．(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)；(2)l1的斜率为－10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)；(3)l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40)．

探究3平行与垂直的综合应用【链接·教材例题】例3已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．

[典例讲评]

3．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．

[母题探究]将本例中B点坐标改为(5，6)，其他点不变，此时四边形ABCD是什么图形？

反思领悟利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤[学以致用]

3．已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．[解]

设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0，所以kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．

(2)当AB∥CD，AB⊥AD时，由图a可知，A(2，－1)，∴m＝2，n＝－1．

【链接·教材例题】例5已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断△ABC的形状．[分析]

如图2.1-10，猜想AB⊥BC，△ABC是直角三角形．

应用迁移23题号411．(多选)已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是(

)A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2√√√BCD

[根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行；当直线的倾斜角相等，则直线平行，当直线平行，则倾斜角必相等．故选BCD．]23题号4123题号41

√

23题号41

√

23题号414．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，则AB边上的高所在直线的斜率为________．

1．知识链：(1)两条直线平行的判定．(2)两条直线垂直的判定．2．方法链：分类讨论、数形结合．3．警示牌：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．两条直线平行和斜率有怎样的关系？[提示]

两条平行直线的斜率相等或斜率均不存在．2．两条直线垂直和斜率有怎样的关系？[提示]

两条直线垂直，则它们的斜率之积为－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．3．经过A，B两点的直线其斜率不存在，则A，B两点的坐标有什么特点？[提示]

A，B两点横坐标相同，纵坐标不相同．课时分层作业(十三)两条直线平行和垂直的判定题号135246879101112131415一、选择题1．(多选)已知两条直线l1，l2，有如下说法，其中正确的是(

)A．直线l1，l2的斜率都存在，分别为k1，k2，且k1·k2＝－1，则l1⊥l2B．直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在且为0，则l1⊥l2C．若直线l1与l2相交，则必有k1≠k2D．直线l1，l2的斜率存在，分别为k1，k2，若k1≠k2，则l1与l2一定相交√√√ABD

[l1，l2的斜率都存在，且斜率之积为－1，则l1⊥l2，A正确；直线l1的斜率不存在，直线l1与x轴垂直，直线l2的斜率存在且为0，直线l2与x轴平行或重合，B正确；直线l1与l2相交，但斜率不一定存在，C错误；直线l1，l2的斜率存在，若k1≠k2，则l1与l2一定相交，D正确．故选ABD．]题号135246879101112131415题号1352468791011121314152．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(

)A．平行

B．重合C．相交但不垂直

D．垂直√D

[设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．∵直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2．故选D．]题号3524687910111213141513．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则直线l的倾斜角为(

)A．135°

B．45°C．30°

D．60°√

题号3524687910111213141514．已知A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(

)A．1

B．0C．0或2

D．0或1√D

[当AB与CD的斜率均不存在时，m＝0，此时AB∥CD；当kAB＝kCD时，m＝1，此时AB∥CD．故选D．]题号352468791011121314151

√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151二、填空题6．设动直线l经过定点A(－1，1)，则当点B(2，－1)与直线l的距离最大时，直线l的斜率为________．

题号352468791011121314151

－10

题号352468791011121314151

6

题号352468791011121314151三、解答题9．已知直线l1经过A(m，3)，B(1，m)两点，l2经过P(2，1)，Q(4，2)两点．(1)若l1∥l2，求m的值；(2)若l1，l2的倾斜角互余，求m的值．

题号35246879101112131415110．如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(

)A．(－3，1)

B．(4，1)C．(－2，1)

D．(2，－1)√A

[如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B．

根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标．]题号352468791011121314151题号352468791011121314151

√题号352468791011121314151

题号35246879101112131415112．在直角梯形ABCD中，已知点A(－5，－10)，B(15，0)